专题7 解直角三角形常见的模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第24章　解直角三角形 专题7　解直角三角形常见的模型 3 目 录 模型1 “背靠背”型 模型2 “母抱子”型 模型3 “拥抱”型 4 模型1 “背靠背”型 1. （广西贵港中考）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、B、D三点在同一直线上，若AB=16 m，则这棵树CD的高度是 （　　） A. 8（3-） m B. 8(3+) m C. 6(3-) m D. 6(3+) m A 【解析】设AD=x m，∴BD=AB-AD=（16-x）m. 在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD·tan 45°=x m. 在Rt△CDB中，∠B=60°，∴tan 60°===， ∴x=24-8，经检验，x=24-8是原方程的根， ∴CD=24-8=8（3-）m. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 5 2. （山西临汾浮山期末）为加强防汛工作，某市对一水库大坝进行了加固. 如图，加固前水库大坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB=12 m，背水坡面CD=12 m，∠B=60°，加固后水库大坝背水坡面为DE，tan E=，则CE的长为　　　　m． 8 【解析】如图，分别过点A、D作AF⊥BC，DG⊥BC， 垂足分别为F、G．在Rt△ABF中，AB=12 m，∠B=60°， ∴AF=AB·sin B=12×sin 60°=6（m），∴DG=6 m． 在Rt△DGC中，CD=12 m，DG=6 m， ∴GC==18 m． 在Rt△DEG中，tan E==，即=， ∴GE=26 m，∴CE=GE-CG=26-18=8（m）． F G 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 6 3. （辽宁抚顺中考）小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40米（图中点A、B、C、D均在同一平面内）. （1）求两楼之间的距离AC（结果保留根号）； （2）求大厦的高度CD（结果取整数）. （参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73） 【解析】在（1）如图，过点B作BE⊥CD，垂足为E，由题意，得AB=CE=40米，BE=AC， 在Rt△BEC中，∠CBE=30°，∴BE===40（米），∴AC=BE=40米. 答：两楼之间的距离AC为40米. （2）在Rt△BED中，∠DBE=37°，∴DE=BE·tan 37°≈400.75≈51.9（米）. ∵CE=40米，∴DC=DE+CE≈51.9+40≈92（米）. 答：大厦的高度CD约为92米. E 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 7 4. （江苏泰州靖江模拟）如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比）为1∶2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为　　　　. 【解析】设CD=x米，∵斜面AC的坡度为1∶2，∴AD=2x米， 由勾股定理可得AC==5x（米）. ∵AC=3米，∴x=3， ∴x=3，∴CD=3米，∴AD=2×3=6（米）， 在Rt△ABD中，BD==8（米)， ∴BC=8-3=5（米）. 5米 模型2 “母抱子”型 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 8 5. （山东济宁中考）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30 m，用高1 m（AC=1 m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是　　　　　　m. 【解析】如图，延长CD交EF于点G， 由题意，得DB=AC=FG=1 m，CG⊥EF，DC=AB=30 m， ∠EDG=60°，∠ECG=30°， ∵∠EDG是△EDC的一个外角， ∴∠DEC=∠EDG-∠ECG=30°， ∴∠DEC=∠ECD=30°，∴ED=CD=30 m， 在Rt△EGD中，EG=ED·sin 60°=30×=15（m）， ∴EF=EG+FG=（15+1）m， ∴该建筑物的高是（15+1）m. （15） G F 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 9 6. 【新情境 人文景观】（新疆生产建设兵团中考）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）.某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度. （参考数据：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1） 解：如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，则BE=AD=31.5米，在Rt△ABE中，BE=31.5米， ∠AEB=90°，∠BAE=65°，tan∠BAE=， ∴AE=≈=15（米）. 在Rt△ACE中，∠CAE=50°，tan∠CAE=， ∴CE=AE·tan 50°≈15×1.2=18（米）， ∴BC=BE-CE≈31.5-18=13.5（米）. 答：烽燧BC的高度约为13.5米. E 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 7. （浙江温州瓯海一模）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1 m时，∠ABC=45°. 当梯子底端点B水平向左移动到点B′时，端点A沿墙竖直向上移动到点A′，设∠A′B′C=α，则AA′的长可以表示为（　　） A. sin α m B. （sin α−1）m C. （cos α−1）m D. （tan α−1）m 模型3 “拥抱”型 【解析】由题意，得∠ACB=90°，AB=A′B′，在Rt△ACB中，AC=1 m，∠ABC=45°，∴AB===（m），∴A′B′=AB= m. 在Rt△A′CB′中，∠A′B′C=α，∴A′C=A′B′· sin α=sin α（m），∴AA′=A′C-AC=（sin α-1）m. 故选B. B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 11 【解析】如图，过点Q作QE⊥AD，垂足为E， 由题意，得EQ=AB， 在Rt△APM中， ∴AM=PM·sin 45°=15 m. ∵M为AB的中点，∴AB=EQ=2AM=30 m. 在Rt△EPQ中，PQ==20 m. 8. （江苏淮安淮阴校级阶段练习）红和爸爸绕着小区广场锻炼，如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM=30 m，则小红与爸爸的距离PQ=　　　　.（结果保留根号） E 20 m 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 12 9. （河南南阳西峡二模）如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF=30°，在B处测得∠HEF=50°，点A、B、C共线，AC⊥CP于点C，DF⊥CP于点F，AB=20米，BC=30米，测角仪的高度(AD、BE)为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 解：由题意，得EF=BC=30米，DF=AC=AB+BC=50米， 在Rt△EHF中，∠HEF=50°， ∴HF=EF·tan 50°≈30×1.19=35.7（米）. 在Rt△DFG中，∠GDF=30°， ∴FG=DF·tan 30°=50×=（米）， ∴GH=HF-FG≈35.7- ≈6.9（米）. 答：GH的值约为6.9米. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 13 绿卡图书—走向成功的通行证 14 $