第24章 解直角三角形（复习讲义）数学华东师大版九年级上册

第24章 解直角三角形（复习讲义） 1、理解并掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质解决问题． 2、理解锐角三角函数的概念 · 掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，能根据直角三角形边长正确写出三角函数值. · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能快速计算或推导. 3、掌握解直角三角形的方法 · 利用勾股定理、三角函数关系（如sin²A + cos²A = 1）或边角关系，已知两边或一边一角时，求解其他未知边或角. 4、应用三角函数解决实际问题 · 能将实际问题转化为直角三角形问题，如测量高度、坡度、方位角等，并运用三角函数求解. ●一、测量 ★1、利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例. ★2、利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. ★3、构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等. ●二、直角三角形的性质 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ★2、几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ★3、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半. ●三、锐角三角函数 1、正切、正弦、余弦 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A. 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 余弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= ●二、30°、45°、60°的三角函数值 1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. ●四、用计算器求锐角三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. ●五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． 3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. ●六、直角三角形的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 题型一 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 【例1】（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝2，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解． 【详解】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE， ∴BC＝2DE＝2， ∵AB＝4，AC＝2， ∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 【变式1-1】（2024秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．30 C．27 D．32 【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26， ∴DF＝CFAB26＝13， ∴△CDF是等腰三角形． ∵点E是CD的中点，CD＝24， ∴EF⊥CD，DECD＝12． 在Rt△DEF中，DE5， ∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30． 故选：B． 【点睛评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式1-2】（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：∠AEC＝∠C； （2）求证：BD＝2AC； （3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE＝BE，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明； （2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明； （3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵AD⊥AB， ∴△ABD为直角三角形． 又∵点E是BD的中点， ∴， 又∵， ∴AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE． 又∵∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B． 又∵∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠C． （2）证明：由（1）可得AE＝AC， 又∵， ∴， ∴BD＝2AC． （3）解：在Rt△ABD中， ∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13， ∴AB， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 题型二 30°角所对的直角边等于斜边的一半 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝12cm，则AC的长是（　　） A．12cm B．6cm C．4cm D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD＝BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝12cm，再利用外角的性质得∠ADC＝30°，解直角三角形即可得AC的值． 【详解】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）， ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）， ∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝12cm（等腰三角形的性质）， ∴∠ADC＝30°（外角的性质）， ∴ACAD＝6cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC＝30°是正确解答本题的关键． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ． 【分析】根据等腰三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°． ∴∠B＝∠C＝30°， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝30°， ∴∠AEF＝60°，∠F＝30°， ∴∠BAE＝∠EAF＝90°， ∵∠B＝∠F＝30°， ∴BE＝EF， ∴BF＝2AF＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，再求出∠DAE＝∠EAB＝30°，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，再根据等角对等边求出AD＝DF，然后求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC120°＝60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB∠BAD60°＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°， ∴∠DAE＝∠F＝30°， ∴AD＝DF， ∵∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴ADAB9＝4.5， ∴DF＝4.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 题型三 求角的正弦值 【例3】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可． 【详解】解：由勾股定理，得 ABBC， ∴sinA， 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-2】（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用，在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 故答案为：． 题型四 由正弦值求边长 【例4】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 【变式4-1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若 ，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝8，结合CD的长度，即可得出BC的长． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AB＝10，sinB， ∴， ∴AD＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝（2）2﹣62＝16， ∴CD＝4， ∴tanC； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴由勾股定理得BD＝8， 由（1）得CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝12． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系． 题型五 求角的余弦值 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理；先由勾股定理求出，再由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解： ，， ， 故选A． 【变式5-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值． 【详解】解：如图： ∵， ∴可以假设，， ∴ ∴， 故选：B． 题型六 由角的余弦值求边长 【例6】（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用余弦求边长，根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式求解即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型七 求角的正切值 【例7】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 【变式7-1】（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A． 【分析】根据正切函数的定义求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， ∴tanB． 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义． 【变式7-2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴AC∥DE ∴∠A=∠EDB ∴△ACB∽△DEB（AA） ∵， ∴ 又∵AB=3，BC=1 ∴，， ∵Rt△BDE ∴ ∵BC=1 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点． 题型八 由正切值求边长 【例8】（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型九 由定义判断多结论 【例9】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式9-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式9-2】（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A错误，不符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 题型十 特殊锐角三角函数的计算 【例10】（2025·云南玉溪·二模）计算：． 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． 首先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，求立方根，然后计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 【变式10-1】（2025·云南昆明·三模）计算：． 【答案】6 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数次幂、二次根式等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先根据有理数乘方、零次幂、负整数次幂、二次根式、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式10-2】（2024秋•西岗区期末）计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 【答案】（1）21； （2）． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【详解】解：（1）原式＝31+2 1 ＝21； （2）原式＝1 ． 【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 题型十一 由特殊锐角三角函数值求角度 【例11】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 由“为锐角，且”可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：为锐角，且， ， ， 故选：． 【变式11-1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查学生对特殊的三角函数值以及三角形的内角和的掌握，由，，且，知，；接下来由特殊的三角函数值得出，，至此利用三角形内角和定理即可得出答案，关键是求出与的值． 【详解】解：，，且， ，， ，， ，， ． 故选：C． 【变式11-2】 （2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出和的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 题型十二 利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状 【例12】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式12-1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式12-2】 （23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 题型十三 已知角度比较三角函数值的大小 【例13】 （24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 【变式13-1】（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 【变式13-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 题型十四 由三角函数值判断锐角的取值范围 【例12】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解： 是锐角，且， ， 故选：A． 【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 题型十五 由同角三角函数求值 【例13】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 【变式13-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式13-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十六 互余两角三角函数的关系 【例14】 （2024·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答． 【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴sin2A+sin2B=1，sinB>0， ∵sinA=， ∴sinB==. 故选C. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 【变式14-1】（20224·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据：若，则cosα=sinβ. 【详解】由锐角三角函数性质可知：sin(90°－α)= cosα＝ 故选B 【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，利用已知条件对角进行分解是解题关键． 【变式8-2】（2024全国·九年级专题练习）已知，都是锐角，且，，则________． 【答案】 【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ∴锐角. 故答案为：. 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出的值． 题型十七 锐角三角函数与网格问题 【例15】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 【变式15-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查网格中的三角函数值，作，勾股定理，求出的长，再利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：作， 由网格特点和勾股定理，得：，， ∴； 故选D． 【变式15-2】18． 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 【变式15-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】2 【分析】解法一：标注正方形，连结．由网格用勾股定理可得，，从而得到，则，． 解法二：标注正方形，连结．由网格可得，，可得，则，进而可得，． 【详解】解：标注正方形，连接．由网格可知： 解法一： 在中，， ． 在中，， ． 在中，， ． ． ，． 解法二： 在与中，，， ． ， ，． 【点睛】网格中，求格点生成的角的三角函数值问题的通解为：先利用勾股定理求出格点线段长，再用割补法求出格点三角形的面积，然后作格点生成角的一边上的高，利用面积法求出格点三角形的高，最后利用锐角三角函数求得结论． 题型十八 解直角三角形 【例16】（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，解直角三角形．作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点F，过点E作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 【变式16-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型十九 解非直角三角形 【例17】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式17-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式17-2】（23-24九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 题型二十 利用解直角三角形求图形的面积 【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ） A． B．24 C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可. 【详解】根据题意作△ABC如图所示，过A作AD⊥BC于D， ∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6， ∴sin∠B=， ∴AD=， ∴S△ABC= 故选D. 【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键. 【变式18-1】如图，，，AC＝10，则的面积是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】A 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， ∵sinC＝ ， ∴AD＝AC•sinC＝6， ∴由勾股定理可知：BC＝8， ∵cosB＝ ， ∴∠B＝45°， ∴BD＝AD＝6， ∴BC＝14， ∴△ABC的面积为BC•AD＝×6×14＝42． 故选A． 【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度. 【变式18-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型二十一 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 【例19】（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式19-1】（2025·河南驻马店·三模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 【变式19-2】（2025·河南南阳·三模）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下： 方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点、、在同一水平线上）． 数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为，在点处测得铜像头顶的仰角为． 问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】老子铜像（含底座）的高度约为 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质、正切函数值定义及解方程等知识，连接交于点，如图所示，由矩形的判定得到四边形为矩形，再由矩形性质得到，，，在中，在中，由正切函数值定义列式求解得到，再由，代值解方程即可得到答案，熟练掌握三角函数测高的解法是解决问题的关键． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 则四边形为矩形， ，，， 在中，， 在中，， 又， ， 即， ， 解得， ， 答：老子铜像（含底座）的高度约为． 题型二十二 解直角三角形的应用---方位角问题 【例20】（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，某货船以28海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，得：，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即货船在航行中离小岛C的最短距离是海里． 故选：B． 【变式20-1】（2025·湖南·模拟预测）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（   ）（参考数据：）． A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点P到赛道的距离约为86.6米， 故选：B． 【变式20-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 【答案】25米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点，由题意，得四边形是矩形，，，则米．在中，，所以， （米），设米，则米．在中，，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点． 则四边形是矩形，，，米，米， （米）， 在中，， ， 在中，（米）， 设米， 在中，，即， 解得， 则（米）， 楼的高度为25米． 题型二十三 解直角三角形的应用---坡度问题 【例20】27．（24-25九年级上·海南海口·期中）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据正确的定义求出，进而求出． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H， 则，， ∵斜坡的坡度，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式20-1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长交延长线于D点，作于M，求出（米），（米），在中，，（米），（米），即可得到． 【详解】解：延长交延长线于D点，作于M， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米）． 题型二十四 解直角三角形的应用---其它问题 【例22】34．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，作，先解直角三角形求出，再根据求出答案． 【详解】解：过点B作，垂足为E， 在中，， ∴（米）． ∵米， ∴（米）， 握手点B离水平地面的竖直高度约为米． 故选：B． 【变式22-1】（2025·内蒙古包头·三模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为．则座板距地面的最大高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，为， ， ， 座板距地面的最大高度为， 故答案为：． 【变式22-2】（2025·四川成都·模拟预测）笔记本电脑的发展趋势是体积越来越小，重量越来越轻，功能越来越强，它在人们的办公和生活上有着巨大的贡献．如图1，王先生正在使用笔记本电脑办公，此时他的身体与地面垂直，眼睛B在笔记本底座边沿正上方，视线与电脑屏幕中心C垂直，其结构示意图如图2所示．已知笔记本电脑屏幕与笔记本电脑底座（笔记本电脑水平放于桌面上）长度相等，即，笔记本开合角度 求笔记本电脑屏幕中心C到王先生的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】笔记本电脑屏幕中心C到王先生的距离约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ， ， 点C是的中点， ， 在中，， ， 笔记本电脑屏幕中心C到王先生的距离约为 题型二十五 用计算器求锐角的三角函数值 【例23】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由图可知，的正切值是， ∴的度数为． 故选A． 【变式23-1】（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 【变式23-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据，，，得出，然后用计算器计算即可． 【详解】解：由，得， 故按键顺序为， 故选：A． 题型二十六 锐角三角函数的综合运用 【例24】（2025·北京延庆·模拟预测）如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合直角三角形的性质，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，解答即可． 【详解】（1）证明：， ． 即， 中，，D为中点， ． ，． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． （2）∵菱形， ∴O为中点，． ∴是的中位线． ． 又， ． ∵在中，， ． ． ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的应用，平行四边形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式24-1】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 【变式24-2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即． 基础巩固通关测 1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 5．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（　　） A．16 B．12 C．9 D．10 【分析】先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到AB的长． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC， ∴AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△DEC中，CD＝2CE＝2×3＝6， ∴AC＝2CD＝12， ∴AB＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分．也考查了等边三角形的性质． 6．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键．由矩形的性质得，，由翻折得，，由，，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 把△沿折叠，点落在边上的点处， ，， ，， ， ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键． 10．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜(定日镜)反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电．如图2，下午某时刻，一条与水平方向成角的太阳光线，以的入射角射向定日镜上的点处，点到吸热塔垂直于水平面的距离为米，定日镜支撑柱的高米，则估计吸热塔的高为 米．(参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解三角函数关系是解题的关键．根据题意，结合图形，在中，利用三角函数求出的长，结合已知条件中的长，得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意，，，米， ， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 能力提升进阶练 11．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题． （2）根据特殊角的三角函数值解决此题． 【解答】解：（1）6sin30°tan60°+cos245 ． （2）tan45° ． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 13．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 14．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的和差关系即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可得，解方程并根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 15．（2025·河南信阳·三模）我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： 【答案】河流的宽度约为45米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．延长交直线于点．设米，得到米，米，由米得到米，列方程即可求出答案． 【详解】解：延长交直线于点． 由题意得：米，直线． 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， 米， 即． 解得， （米）． 答：河流的宽度约为45米． 16．（24-25八年级下·重庆江津·期末）暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)最快到达目的地 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． （1）解，得到(米)，在中，根据等腰三角形的判定得到(米)，然后由求解； （2）解，得米，又因为米，从而求出送餐路线：的距离为(米)，送餐路线：的距离为(米)，根据速度一样，比较两种路线的长度即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，，， ∴在中，(米)， 在中， ∴， ∴(米)， ∴ (米)， 答：C、D两地的距离为米． （2）解：在中，∵(米) ∴(米) ∵(米) ∴送餐路线：的距离为(米)， 送餐路线：的距离为(米)， ∵外卖员小津的速度为5米/秒，， ∴最快到达目的地． 17．（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MEBC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN． 【详解】（1）证明：连接EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点， ∴DMBC，EMBC， ∴DM＝EM， ∵N是DE的中点， ∴MN⊥ED； （2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点， ∴DMBC＝BM， ∴∠DBM＝∠BDM， 同理∠MEC＝∠MCE， ∵∠ECB+∠DBC＝45°， ∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵N是DE的中点，DE＝10， ∴MNDE＝5． 18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值． 【详解】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t ∵，∠B＝30°，AC＝6cm ∴BC＝2AC＝12cm， ∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形， ∴CD＝CE， 6﹣t＝2t， t＝2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形； （2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°， ∴CE， 2t（6﹣t）， t； ②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°， CDCE， 6﹣t•2t， t＝3． ∴当t为或3时，△DEC为直角三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 解直角三角形（复习讲义） 1、理解并掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质解决问题． 2、理解锐角三角函数的概念 · 掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，能根据直角三角形边长正确写出三角函数值. · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能快速计算或推导. 3、掌握解直角三角形的方法 · 利用勾股定理、三角函数关系（如sin²A + cos²A = 1）或边角关系，已知两边或一边一角时，求解其他未知边或角. 4、应用三角函数解决实际问题 · 能将实际问题转化为直角三角形问题，如测量高度、坡度、方位角等，并运用三角函数求解. ●一、测量 ★1、利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例. ★2、利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. ★3、构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等. ●二、直角三角形的性质 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ★2、几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ★3、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半. ●三、锐角三角函数 1、正切、正弦、余弦 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A. 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 余弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= ●二、30°、45°、60°的三角函数值 1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. ●四、用计算器求锐角三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. ●五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． 3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. ●六、直角三角形的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 题型一 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 【例1】（2024•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 【变式1-1】（2024秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．30 C．27 D．32 【变式1-2】（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：∠AEC＝∠C； （2）求证：BD＝2AC； （3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长． 题型二 30°角所对的直角边等于斜边的一半 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝12cm，则AC的长是（　　） A．12cm B．6cm C．4cm D． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长． 题型三 求角的正弦值 【例3】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 【变式3-2】（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 题型四 由正弦值求边长 【例4】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若 ，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 【变式4-2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 题型五 求角的余弦值 【例5】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 题型六 由角的余弦值求边长 【例6】（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【变式6-2】（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型七 求角的正切值 【例7】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【变式7-2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 题型八 由正切值求边长 【例8】（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【变式8-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 题型九 由定义判断多结论 【例9】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十 特殊锐角三角函数的计算 【例10】（2025·云南玉溪·二模）计算：． 【变式10-1】（2025·云南昆明·三模）计算：． 【变式10-2】（2024秋•西岗区期末）计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 题型十一 由特殊锐角三角函数值求角度 【例11】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】 （2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 题型十二 利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状 【例12】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式12-1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式12-2】 （23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 题型十三 已知角度比较三角函数值的大小 【例13】 （24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十四 由三角函数值判断锐角的取值范围 【例12】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五 由同角三角函数求值 【例13】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【变式13-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式13-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 题型十六 互余两角三角函数的关系 【例14】 （2024·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 【变式14-1】（20224·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【变式8-2】（2024全国·九年级专题练习）已知，都是锐角，且，，则________． 题型十七 锐角三角函数与网格问题 【例15】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式15-2】18． 【变式15-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是 ． 题型十八 解直角三角形 【例16】（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为 ． 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，求和的长． 【变式16-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 题型十九 解非直角三角形 【例17】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式17-2】（23-24九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 题型二十 利用解直角三角形求图形的面积 【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ） A． B．24 C． D． 【变式18-1】如图，，，AC＝10，则的面积是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 【变式18-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型二十一 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 【例19】（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式19-1】（2025·河南驻马店·三模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 【变式19-2】（2025·河南南阳·三模）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下： 方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点、、在同一水平线上）． 数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为，在点处测得铜像头顶的仰角为． 问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 题型二十二 解直角三角形的应用---方位角问题 【例20】（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，某货船以28海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式20-1】（2025·湖南·模拟预测）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（   ）（参考数据：）． A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米 【变式20-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 题型二十三 解直角三角形的应用---坡度问题 【例20】27．（24-25九年级上·海南海口·期中）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（  ） A． B． C． D． 【变式20-1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 题型二十四 解直角三角形的应用---其它问题 【例22】34．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式22-1】（2025·内蒙古包头·三模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为．则座板距地面的最大高度为 ． 【变式22-2】（2025·四川成都·模拟预测）笔记本电脑的发展趋势是体积越来越小，重量越来越轻，功能越来越强，它在人们的办公和生活上有着巨大的贡献．如图1，王先生正在使用笔记本电脑办公，此时他的身体与地面垂直，眼睛B在笔记本底座边沿正上方，视线与电脑屏幕中心C垂直，其结构示意图如图2所示．已知笔记本电脑屏幕与笔记本电脑底座（笔记本电脑水平放于桌面上）长度相等，即，笔记本开合角度 求笔记本电脑屏幕中心C到王先生的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 题型二十五 用计算器求锐角的三角函数值 【例23】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式23-1】（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式23-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十六 锐角三角函数的综合运用 【例24】（2025·北京延庆·模拟预测）如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式24-1】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【变式24-2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 基础巩固通关测 1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（　　） A．16 B．12 C．9 D．10 6．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 10．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜(定日镜)反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电．如图2，下午某时刻，一条与水平方向成角的太阳光线，以的入射角射向定日镜上的点处，点到吸热塔垂直于水平面的距离为米，定日镜支撑柱的高米，则估计吸热塔的高为 米．(参考数据：) 能力提升进阶练 11．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2） tan45°． 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，求的长． 13．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 14．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 15．（2025·河南信阳·三模）我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： 16．（24-25八年级下·重庆江津·期末）暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 17．（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $