第24章 解直角三角形 章末复习 达标训练-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第24章 解直角三角形 章末复习 达标训练 3 目 录 选择题 填空题 解答题 4 1. （安徽合肥校级阶段练习）知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则cos A的值为（　　） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. D 一、选择题 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 5 2. （山西晋城高平阶段练习）如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC=6 m，则坡面AB的长是（　　） A. 10 m B. 12 m C. 6 m D. 6 m C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 6 3. （辽宁铁岭校级阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（　　） A. sin α= B. cos α= C. tan α= D. tan α= D 【解析】在菱形ABCD中，有AC⊥DB，AO=CO=AC，BO=DO=BD，∵AC=6，BD=8，∴AO=3，BO=4，∴AB==5，∴sin α=，cos α=，tan α=. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 7 4. （河南南阳南召阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO=，则菱形ABCD的周长为（　　） A. 6　　　　B. 6　　　　C. 12　　　　D. 8 D 【解析】∵点A的坐标为（0，3），∴AO=3. ∵tan∠ABO==，∴=，∴BO=. ∵△AOB是直角三角形，∴AB====2， ∴菱形ABCD的周长为2×4=8. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 8 5. 【新情境 生产生活】周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边”，便邀约好友一起去江边垂钓. 如图，钓鱼竿AC的长为4 m，露在水面上的鱼线BC的长为2 m，刘老师想看看鱼钩上的情况.把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度是（　　） A. 3 m　　　　B. 2 m C. 2 m　　　D. 3 m C 【解析】∵sin∠CAB==，∴∠CAB=45°， ∴∠C′AB′=45°+15°=60°， ∴B′C′=AC′·sin 60°=4×=2（m）. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 9 6. 【新定义 新运算问题】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sin α=sin（180°-α），cos α=-cos（180°-α）.下列各式正确的是（　　） A. sin 120°=　B. cos 120°=　C. sin 150°=-　D. cos 150°=- D 【解析】sin 120°=sin（180°-120°）=sin 60°=；cos 120°=-cos（180°-120°） =-cos 60°=-；sin 150°=sin（180°-150°）=sin 30°=；cos 150° =-cos（180°-150°）=-cos 30°=-，故只有D选项正确. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 10 7. sin 45°+cos 60°=　　　　. 二、填空题 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 11 8. （河南南阳内乡期末）在△ABC中，若=0，则 ∠C的度数是　　　　. 105° 【解析】∵， ∴sin A-=0，-cos B=0， 即sin A=，cos B=， ∴∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长AB=CD=m（不计柜门厚度），当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离EF的长度为　　　 . msin α 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 13 10. 【新趋势 动点探究题】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段CG长的最小值是　　　　. 9 【解析】如图，连结DG、AG，AG交DE于点H， ∵∠FDE=90°，G为EF中点， ∴DG=EF=GE=FG. ∵△ADE为等边三角形， ∴AD=AE，∠DAE=60°. ∵AD=AE，GD=GE，∴AG是DE的垂直平分线， ∴AH⊥DE，∴∠DAH=∠EAH=30°， ∴∠CAG=∠BAC+∠DAH=60°， ∴点G在过点A且与AC夹角为60°的直线上运动. 如图，过点C作CG′⊥AG于点G′，则CG′长为所求最小值， ∵BC=6，∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AC==6. ∵∠CAG′=60°，∠CG′A=90°，∴CG′=AC·sin∠CAG′=9. H G′ 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 14 11. 计算：（1）2sin230°- -（tan 30°-1）； （2）2cos 30°-tan 45°-. 解：（1）原式=2×-- =2×--+1=--+1=1-. （2）原式=2×-1-=-1-（-1） =-1-+1=0. 三、解答题 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （安徽宣城宣州校级期末）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sin B=.求： （1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值. 解：设（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC，∴sin B= =. ∵AD=12，∴AB=AD=15. 在Rt△ABD中，BD===9， ∴DC=BC-BD=14-9=5. （2）在Rt△ADC中，E是AC的中点， ∴DE=EC，∴∠EDC=∠C. ∴tan∠EDC=tan C==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 13. 【新趋势 阅读理解题】请仔细阅读并完成相应的任务： 如图，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过点B作BH⊥AC于点H，则cos A==，即AH=c·cos A，于是CH=b-c·cos A.在Rt△ABH中，BH2=AB2-AH2，在Rt△BHC中，BH2=BC2-CH2，∴c2-c2cos2A=a2-（b-c·cos A）2，整理得a2=b2+c2-2bc·cos A. 任务：（1）b2=　　　　　　　 ，c2=　　　　　　　 ； （2）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，a=，b=2，cos C=，求c. 解：（2）∵c2=a2+b2-2ab·cos C，a=，b=2，cos C=， ∴c2=（）2+22-2××2×，即c2=5， 解得c1=，c2=-（舍去），∴c=. a2+c2-2ac·cos B a2+b2-2ab·cos C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 14.（河南南阳唐河阶段练习）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线. 已知甲山上A点到河边C的距离AC=130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山BD的坡比为4∶3，乙山上B点到河边D的距离BD=450米，从B处看A处的俯角为25°. （参考值：sin 25°≈0.423，cos 25°≈0.906，tan 25°≈0.466） （1）求乙山B处到河边CD的垂直距离； （2）求河CD的宽度.（结果保留整数） 解：（1）如图，过点B作BF⊥CD于点F，∵乙山BD的坡比为4∶3， ∴=. 设BF=4t米，则DF=3t米，∴BD== =5t（米），∴5t=450，解得t=90，∴BF=360米. 答：乙山B处到河边CD的垂直距离为360米. （2）如上图，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AH⊥BF于点H， 则四边形AEFH为矩形，∴HF=AE=120米，AH=EF，∴BH=BF-HF=360-120=240（米）. ∵从B处看A处的俯角为25°，∴∠BAH=25°. 在Rt△ABH中，tan∠BAH=，∴AH=≈≈515（米）. ∴EF=AH≈515（米）， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE===50（米）. 由（1）可知，DF=270米，∴CD=EF-CE-DF≈515-50-270=195（米）. 答：河CD的宽度约为195米. H E F 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $