第24章 图形的形似 用几何画板探究锐角三角形内接矩形的面积问题

用几何画板探究锐角三角形

内接矩形的面积问题

资料编号:202210122058

在日常教学中,我们使用作图工具所画出的几何图形是静态的,很容易掩盖一些重要的几何规律.而借助于几何画板软件,则可以画出具有几何约束条件的几何图形,从而实现动态教学,在几何图形的变化中去发现和探索几何规律.

这里,将以初中几何中求解锐角三角形内接矩形面积的最大值为研究对象,让学生来感受并体会几何画板辅助教学的魅力所在.

这里,所用几何画板的版本为5. 05简体中文版.

问题  如图,在△ABC中,,高,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H分别在AC、AB上,设,矩形EFGH的面积为,求:

（1）关于的函数关系式;

（2）矩形EFGH的面积的最大值.

现在,我们用几何画板来制作这个问题模型,并演示当取何值时,矩形EFGH的面积取得最大值,即取得最大值.

模型制作

（1）打开几何画板软件,单击“自定义工具”并长按1秒,在弹出的项目中依次选择“三角形”、“任意三角形”,在作图区中画一个锐角△ABC;

（2）在AB边上任取一点H，选择点H和BC边,依次单击“构造”、“平行线”,作处BC边的平行线,交AC边于点G;

（3）选中点H、G,依次单击“构造”、“线段”,作出线段HG,并选中所画的平行直线,依次单击“显示”、“隐藏平行线”;

（4）选中点G、H和BC边,依次单击“构造”、“垂线”,画出两条垂线HE、GF,分别交BC边于点E、H,构造线段HE和GF,并隐藏两条垂线;

（5）依次选中点E、F、G、H,依次单击“构造”、“四边形的内部”;

（6）单击线段HE（选中HE），依次单击“度量”、“长度”;

（7）选中矩形EFGH的内部（单击内部即可选中）,依次单击“度量”、“面积”;

（8）依次选中HE和矩形EFGH的面积的度量值,依次单击“绘制”、“绘制点（P）”，命名为点P;

（9）依次单击“绘图”、“隐藏网格”;

（10）依次选中点H、点P,依次单击“构造”、“轨迹”,画出一个函数的图象;

（11）选中线段AD,并度量长度.

模型探索

模型制作好后,拖动点H,可以看到矩形EFGH的面积随之改变,当

时,点H来到AB的中点的位置（为什么?）,此时矩形EFGH的面积最大.如下图所示.

由点P的轨迹,可以确定是的二次函数.

关于以上探索取得的结果,见下面的解题过程.

解:（1）∵四边形EFGH是矩形

∴,

∴△AHG∽△ABC

易知四边形DEHM为矩形

∴

∵

∴

∴（相似三角形对应边上的高之比等于相似比）

∴

∴

∴