第24章 图形的形似 用几何画板探究锐角三角形内接矩形的面积问题

用几何画板探究锐角三角形 内接矩形的面积问题 资料编号:202210122058 在日常教学中,我们使用作图工具所画出的几何图形是静态的,很容易掩盖一些重要的几何规律.而借助于几何画板软件,则可以画出具有几何约束条件的几何图形,从而实现动态教学,在几何图形的变化中去发现和探索几何规律. 这里,将以初中几何中求解锐角三角形内接矩形面积的最大值为研究对象,让学生来感受并体会几何画板辅助教学的魅力所在. 这里,所用几何画板的版本为5. 05简体中文版. 问题 如图,在△ABC中,,高,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H分别在AC、AB上,设,矩形EFGH的面积为,求: （1）关于的函数关系式; （2）矩形EFGH的面积的最大值. 现在,我们用几何画板来制作这个问题模型,并演示当取何值时,矩形EFGH的面积取得最大值,即取得最大值. 模型制作 （1）打开几何画板软件,单击“自定义工具”并长按1秒,在弹出的项目中依次选择“三角形”、“任意三角形”,在作图区中画一个锐角△ABC; （2）在AB边上任取一点H，选择点H和BC边,依次单击“构造”、“平行线”,作处BC边的平行线,交AC边于点G; （3）选中点H、G,依次单击“构造”、“线段”,作出线段HG,并选中所画的平行直线,依次单击“显示”、“隐藏平行线”; （4）选中点G、H和BC边,依次单击“构造”、“垂线”,画出两条垂线HE、GF,分别交BC边于点E、H,构造线段HE和GF,并隐藏两条垂线; （5）依次选中点E、F、G、H,依次单击“构造”、“四边形的内部”; （6）单击线段HE（选中HE），依次单击“度量”、“长度”; （7）选中矩形EFGH的内部（单击内部即可选中）,依次单击“度量”、“面积”; （8）依次选中HE和矩形EFGH的面积的度量值,依次单击“绘制”、“绘制点（P）”，命名为点P; （9）依次单击“绘图”、“隐藏网格”; （10）依次选中点H、点P,依次单击“构造”、“轨迹”,画出一个函数的图象; （11）选中线段AD,并度量长度. 模型探索 模型制作好后,拖动点H,可以看到矩形EFGH的面积随之改变,当时,点H来到AB的中点的位置（为什么?）,此时矩形EFGH的面积最大.如下图所示. 由点P的轨迹,可以确定是的二次函数. 关于以上探索取得的结果,见下面的解题过程. 解:（1）∵四边形EFGH是矩形 ∴, ∴△AHG∽△ABC 易知四边形DEHM为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴（相似三角形对应边上的高之比等于相似比） ∴ ∴ ∴ ∴; （2）由（1）可知: ∴当,即时,有最大值80. ∴矩形EFGH的面积的最大值为80. 点评 可见,我们用演绎推理得出的结果,与借助于几何画板软件得出的结果是一致的.几何画板为我们提供了丰富的几何直观,展现了一个动态的过程,使我们更容易发现其中所蕴含的规律,也更容易接受演绎推理的结果. 模型应用 例1. 已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8. （1）如图所示,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K. ①求的值; ②设,矩形EFGH的面积为S,求S与的函数关系式,并求S的最大值; （2）若,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长. 解:（1）①∵四边形EFGH是矩形 ∴ ∴△AEF∽△ABC,△AEK∽△ABD ∴ ∴; ②由题意可知:四边形EHDK是矩形 ∴, 由①可知: ∴ ∴ ∴S的最大值为24; （2）分为两种情况: ①当正方形PQMN的顶点P、Q在BC边上时,如图1所示. 设,则,由①可知: ∴,解之得: ∴; ②当正方形PQMN的顶点P、Q在AB边上时,如图2所示,作,交MN于点F. ∵, ∴ 在Rt△ABD中,由勾股定理得: ∵ ∴ 设,则 由得:,解之得: ∴. 综上所述,正方形PQMN的边长为或. 例2. 如图（1）,矩形ABCD中,,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连结DE. （1）求证:△DEC≌△EDA; （2）求DF的值; （3）如图（2）,若P为线段EC上一动点,过点P作△AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,顶点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值. （1）证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴ 由折叠可知: ∴ 在△DEC和△EDA中 ∵ ∴△DEC≌△EDA（SSS）; （2）解:由折叠可知: ∵ ∴ ∴ ∴ 设,则 在Rt△ADF中,由勾股定理得: ∴,解之得: ∴; （3）解:作,交PQ于点G. 设,矩形PQMN的面积为. 易求出 ∵ ∴△EPQ∽△ECA, ∴, ∴ ∴（） ∴