24.2 解直角三角形 直角三角形的性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第24章 解直角三角形 24.2　直角三角形的性质 3 目 录 4 1. 【原创题 人文地理】南湾湖，又称南湖，位于河南省信阳市，素有“豫南明珠”之称.如图，有两条公路AC、BC互相垂直，点C与AB的中点D被湖隔开，若AB的长为8，则D、C两点间的距离为 （　　） A. 4　　　B. 5　　　C. 6　　　D. 8 A 础 基 练 知识点1　直角三角形斜边上的中线的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2. （吉林长春期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为 （　　） A. 15°　　　B. 25°　　　C. 35°　　　D. 45° C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 6 3. （江苏无锡惠山期中）如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长是（　　） A. 20　　　B. 12　　　C. 16　　　D. 13 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 7 4. （教材P104练习T1改编）若直角三角形的两条直角边的长分别是5和12，则斜边上的中线长为　　　　. 6.5 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 8 5. （吉林长春校联考期中）如图，在△ABC中，AC=10，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，连结AF、CF. 若∠AFC=90°，DF=1，则BC的长为　　　　. 12 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 9 6. （河南南阳镇平校级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6，则BC=（　　） A. 6　　　　B. 3　　　　C. 12　　　　D. 4.5 B 知识点2　含30°角的直角三角形的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 10 7. 【新情境 生产生活】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机. 如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC=BD=56 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A. （56+10） cm B. （56+10） cm C. 66 cm D. 56 cm C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 11 8. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D，BC=30，则BD=　　　　. 20 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （福建龙岩新罗校级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E. （1）求证：AE=2CE； （2）连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由. 解：（1）证明：如图，连结BE， 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°， 在Rt△BCE中，BE=2CE，∴AE=2CE. （2）△BCD是等边三角形. 理由如下：如图，连结CD. ∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点. ∵∠ACB=90°， ∴CD=BD.∵∠ABC=60°，∴△BCD是等边三角形. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 升 提 练 10. （河南南阳淅川阶段练习）如图，四边形ABCD的面积为5，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，则AD的长为 （　　） A. 　　　B. 2　　　C. 2　　　D. 3 解：如图，延长AD、BC交于点E， ∵∠DAB=30°，∠ABC=60°，∴∠E=90°. 又∵AB=8，∴BE=AB=4. 由勾股定理，得AE==4. ∵BC=1,∴CE=3. ∵四边形ABCD的面积为5， ∴×AE×BE-×EC×DE=5，即×4×4-×3×DE=5， ∴DE=2，∴AD=2. 故选C. C E 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10 cm，则BD=　　　　cm. 【解析】∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线， ∴AE=BE=CE=AC=10 cm， ∴△ACE为等边三角形. ∵CD⊥AE， ∴DE=AE=5 cm， ∴BD=DE+BE=15 cm. 15 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 【新趋势 动点探究题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为　　　　. 【解析】如图，连结CQ、CD， ∵FG是线段CP的垂直平分线， Q是FG上的一个动点， ∴CQ=PQ，∴PQ+QD=CQ+QD， ∴当C、Q、D三点共线时，PQ+QD有最小值，最小值为CD的长. ∵∠ACB=90°，AB=7，点D是AB的中点，∴CD=AB=3.5，即PQ+QD的最小值为3.5. 3.5 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （河南南阳宛城校级阶段练习）如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M，N为AB上的一点，D为BC的中点，DN=BC. （1）求证：CN⊥AB； （2）若∠A=55°，则∠MDN=　　　　°. 解：（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点， ∴BD=CD=DM=BC. ∵DN=BC，∴DM=DN=BD=CD， ∴∠DBN=∠BND，∠DNC=∠DCN. ∵∠DBN+∠BNC+∠DCN=180°， ∴2∠BND+2∠DNC=180°，∴∠BND+∠DNC=90°，即∠BNC=90°，∴CN⊥AB. （2）提示：由（1）知，DN=BD，DM=CD，∴∠BND=∠NBD，∠DMC=∠MCD，∴∠BND+∠DMC=∠ABC+∠ACB=180°-∠A=125°， ∴∠AND+∠AMD=360°-125°=235°， ∴∠MDN=360°-∠A-∠AND-∠AMD=70°. 70 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （河南南阳南召模拟）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，其中AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，连结BD，取BD的中点O，连结OC、OE、CE. （1）求证：①OC=OE；②△OCE为等腰直角三角形； （2）若BC=4，CE⊥BD，试求AD的长. 解：（1）证明：①∵∠BCD=90°，DE⊥AB，点O为BD的中点， ∴OE=BD，OC=BD，∴OC=OE. ②∵点O为BD的中点，∴OB=BD. 由①知OE=BD，OC=BD，∴OC=OE=OB， ∴∠OCB=∠OBC，∠OEB=∠OBE. 又∵∠COD=∠OCB+∠OBC，∠DOE=∠OEB+∠OBE， ∴∠COD=2∠OBC，∠DOE=2∠OBE.∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°， ∴∠COE=∠COD+∠DOE=2（∠OBC+∠OBE）=2∠ABC=2×45°=90°. 又∵OC=OE，∴△OCE为等腰直角三角形. （2）由①知OC=OE，又∵CE⊥BD，∴BD是CE的垂直平分线，∴DE=CD，BE=BC=4. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB==4，∴AE=AB−BE=4−4. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°. ∵DE⊥AB，△AED也是等腰直角三角形，∴AE=DE， ∴AD==AE=2×（4−4）=8−4. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 【新定义 新概念问题】若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”. 例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”. 如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，D是边CB上的一个动点（不与点B、C重合）. 当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数为　　　　　　　　 . 解：∵∠CAB=90°，∠ABC=60°， ∴∠C=90°-∠ABC=30°. 由题意，得60°<∠ADC<150°， 当△ADC是“和谐三角形”时，分四种情况： ①当∠ADC=3∠C时，∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°-∠C=60°，∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=30°； ②当∠C=3∠CAD时，∠CAD=10°， ∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=80°； ③当∠ADC=3∠CAD时，∵∠ADC+∠CAD=180°-∠C=150°， ∴∠CAD=×150°=37.5°，∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=52.5°. ④当∠CAD=3∠C时，∠CAD=90°， 此时点D与点B重合，不符合题意. 综上所述，∠DAB的度数为30°或80°或52.5°. 养 素 练 30°或80°或52.5° 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $