专题5 相似三角形判定与性质的综合应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第23章　图形的相似 专题5　相似三角形判定与性质的综合应用 3 目 录 类型1 利用相似三角形求线段长 类型2 利用相似三角形求比值 类型3 利用相似三角形的性质求面积 类型4 利用相似三角形证明等积式 4 类型1 利用相似三角形求线段长 1. （四川攀枝花中考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH⫽CD，交BF于点H，则线段GH的长度是 （　　） A. 　　　B. 1　　　C. 　　　D. A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°. ∵点E、F分别为BC、CD的中点，∴DF=CF=DC=3，CE=BE=BC=2. ∵EH⫽CD，BE=CE，∴FH=BH，∴EH=CF=.由勾股定理，得BF==5，∴BH=FH=BF=. ∵EH⫽CD，∴△EHG∽△DFG，∴=，∴=，∴GH=. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 5 2. （教材P67T1改编）如图，在△ABC中，D、F在AB上，E、G在AC上，DE⫽FG⫽BC，且S1=S2=S3，若AD=1，则BF=　　　　. - 【解析】设S1=S2=S3=m，则S△ADE=m，S△AFG=2m，S△ABC=3m，∴==，==. ∵DE⫽FG，AD=1，∴△ADE∽△AFG， ∴==，∴=，∴AF=. ∵FG⫽BC，∴△AFG∽△ABC， ∴==，∴=，∴AB=， ∴BF=AB-AF=-. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 6 3. （山西中考）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点O. 若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为　　　　. 【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，延长AD、BC交于点E， 则∠AHC=∠AHB=90°. ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BH=HC=BC=3，∴AH==4. ∵∠ADB=∠CBD+∠E，∠ADB=2∠CBD， ∴∠CBD=∠E，∴DB=DE. ∵∠BCD=90°，∴DC⊥BE，∴CE=BC=6，∴EH=CE+CH=9. 又∵AH⊥BC，∴CD⫽AH，∴△ECD∽△EHA， ∴=，即=，∴CD=， ∴DE===，∴=，即=，∴AD=. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 7 4. （河南南阳宛城校级期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC=∠B，CD=CE. （1）求证：△ACE∽△BAD； （2）若CE=3，BD=4，AE=2，求ED的长. 证明：（1）∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED. ∵∠ADB=180°-∠CDE，∠AEC=180°-∠CED， ∴∠AEC=∠ADB，又∵∠DAC=∠B，∴△ACE∽△BAD. （2）∵△ACE∽△BAD，∴=，即=，∴AD=6， ∴ED=AD-AE=6-2=4. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 8 5. （湖南常德中考）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE⫽BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置，则图2中的值为　　　　. 【解析】在图1中，∵∠ABC=90°， AB=8，BC=6，∴AC==10. ∵DE⫽BC，∴△ADE∽△ABC， ∴=，即= 在图2中，由旋转得∠DAB=∠EAC， ∴△ADB∽△AEC，∴===. 类型2 利用相似三角形求比值 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 9 6. （河南南阳邓州校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB·AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB； （2）若AD=2，AB=3，求的值． 解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB. ∵AC2=AB·AD，∴=，∴△ADC∽△ACB. （2）由（1）知△ADC∽△ACB，∴∠ACB=∠ADC=90°. ∵E为AB的中点，∴CE=AE=AB=，∴∠EAC=∠ECA. ∵∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠ECA，∴CE⫽AD， ∴△CEF∽△ADF，∴===，∴=． 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 10 7. （山东聊城校级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE、BD交于点F，EF∶AF=2∶5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是　　　　. 31 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD⫽AB，∴△DEF∽△BAF，∴==， ∴==，==. ∵S△DEF=4，∴S△ABF=25，S△ADF=10. ∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=10+25=35. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴S△ABD=S△DBC=35. ∴S四边形BCEF=S△BDC-S△DEF=35-4=31. 类型3 利用相似三角形的性质求面积 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 11 8. （上海长宁校级阶段练习）如图，AD⫽BC，AB、CD交于点E，点F在AC边上，==. （1）求证：EF⫽BC； （2）若四边形AFED的面积为16，求△ACD的面积. 解：（1）证明：∵AD⫽BC，∴△ADE∽△BCE，∴=. ∵==，∴=，∴=. 又∵∠ECF=∠DCA，∴△CEF∽△CDA，∴∠CEF=∠D， ∴EF⫽AD，∴EF⫽BC. （2）由（1）知：△CEF∽△CDA，∴=， ∵=，∴=， ∴==，即=， ∴S△CEF=9，∴S△ACD=S△CEF+S四边形AFED=9+16=25. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 9. （河南洛阳期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE⫽AC，EF⫽AB. （1）求证：△BDE∽△EFC； （2）设=， ①若BC=12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积. 解：（1）证明：∵DE⫽AC，∴∠DEB=∠C. ∵EF⫽AB，∴∠B=∠FEC，∴△BDE∽△EFC. （2）①∵EF⫽AB，∴==， 即=，∴BE=4. ②∵=，∴=. ∵EF⫽AB，∴△EFC∽△BAC， ∴===，∴S△ABC=S△EFC=45. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 10. （河南南阳卧龙校级期末）如图，E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F. （1）图中共有几对相似三角形？请分别写出来； （2）求证：OB2=OE·OF. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD⫽BC，AB⫽CD， ∴△ABO∽△CEO，△AOF∽△COB，△EFD∽△EBC， △ABF∽△DEF，△ABF∽△CEB，△ABC≌△CDA， ∴共6对. （2）证明：∵△ABO∽△CEO，∴OB∶OE=OA∶OC. ∵△AOF∽△COB，∴OF∶OB=OA∶OC. ∴OF∶OB=OB∶OE，即OB2=OF·OE. 类型4 利用相似三角形证明等积式 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 14 11. （福建泉州校级阶段练习）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB. 求证： （1）∠CAE=∠BAF； （2）CF·FQ=AF·BQ. 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵CF=BE，∴CE=BF， ∴△ACE≌△ABF，∴∠CAE=∠BAF. （2）∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF. ∵AE2=AQ·AB，AC=AB，∴=， ∴△ACE∽△AFQ，∴∠C=∠AFQ，又∵∠AFB=∠C+∠CAF,∴∠BFQ=∠CAF， 又∵∠B=∠C，∴△BFQ∽△CAF，∴=，即CF·FQ=AF·BQ. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 15 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $