22.2.4 一元二次方程根的判别式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第22章 一元二次方程 22.2 　一元二次方程的解法 4.一元二次方程根的判别式 3 目 录 4 1. （吉林长春朝阳阶段练习）一元二次方程x2+x-2=0根的判别式的值为（　　） A. -7 B. 3 C. 9 D. ±3 C 础 基 练 知识点1 一元二次方程根的判别式 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 2. 若方程2x2=m+x的判别式的值为41，则m=　　　　. 5 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 3. （四川广元中考）关于x的一元二次方程2x2-3x+=0根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 知识点2 用根的判别式判断一元二次方程的根的情况 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 4. （河南新乡封丘阶段练习）下列方程中有两个相等的实数根的是（　　） A. x2-2x-1=0 B. x2-x+=0 C. x2+3x+5=0 D. 2x2-3x+1=0 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 5. （河南南阳镇平三模）关于x的方程2x2-mx-3=0的根的情况是 （　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 6. 若k>0，则关于x的一元二次方程x2+x+k+1=0根的情况是　　　　　　　　　. 没有实数根 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10 7. 关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）-p2=0，判断它的根的情况是 　　　　　　　　　　 . 有两个不相等的实数根 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 8. （教材P33T1改编）不解方程，利用根的判别式判断下列方程根的情况： （1）x2+3x-1=0； （2）2y2-3y+4=0； （3）x2+5=2x； （4）ay2-by+c=0（其中a、c异号）. 【解析】（1）Δ=32-4×1×（-1）=9+4=13>0， ∴方程有两个不相等的实数根. （2）Δ=（-3）2-4×2×4=9-32=-23<0，∴方程没有实数根. （3）移项，得x2-25x+5=0， ∴Δ=（-2）2-4×1×5=20-20=0， ∴方程有两个相等的实数根. （4）Δ=（-b）2-4ac=b2-4ac， ∵a，c异号，∴ac<0，∴-4ac>0. 又∵b2≥0，∴b2-4ac>0， ∴方程有两个不相等的实数根. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 9. （北京中考）若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A. -9 B. C. D. 9 C 知识点3 由方程根的情况确定字母系数的值或取值范围 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 10. （易错题）（吉林长春中考改编）若关于x的一元二次方程cx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是　　　　. c<1且c≠0 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14 11. 【新趋势 开放性问题】请填写一个常数，使得关于x的方程x2-4x+　　　　　　　　=0没有实数根. 5（答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12. （河南开封期中）已知：关于x的方程x2-2（k+1）x+k2=0. （1）求k为何值时方程有实数根； （2）请为k选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根. 解：（1）当Δ≥0时，方程有实数根，即4（k+1）2-4k2≥0，解得k≥−. （2）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即4（k+1）2-4k2>0，解得k>−， 令k=0，此时方程化为x2-2x=0，方程左边分解因式，得x（x-2）=0， 所以x=0或x-2=0，得x1=0，x2=2. （答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 升 提 练 13. 关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-k+1=0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 A 解：Δ=［-（k-3）］2-4（-k+1）=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=（k-1）2+4， ∵（k-1）2≥0，∴（k-1）2+4>0，即Δ>0， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. （甘肃兰州中考）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-2（1+2c）= （　　） A. -2　　 　B. 2　　 　C. -4　 　　D. 4 A 解：依题意得，Δ=b2-4c=0， ∴b2-2（1+2c）=b2-4c-2=0-2=-2. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15. 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程kx2+x+b=0根的情况叙述正确的是 （　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 A 解：由图象得k>0，b<0，∴kb<0. ∴Δ=12-4kb>0，∴方程有两个不相等的实数根. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16. （河南南阳宛城校级阶段练习）关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m2-2=0有两个实数根，m的最小整数值为　　　　. -4 解：依题意得，Δ=（m+1）2-4 ≥0， 解得m≥，∴m的最小整数值为-4. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. （易错题）（河南开封期中）直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数解的个数是　　　　. 1或2 解：∵直线y=x+a不经过第二象限，∴a≤0. 当a=0时，方程ax2+2x+1=0是一元一次方程，解得x=-； 当a<0时，方程ax2+2x+1=0是一元二次方程， ∵Δ=22-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根. 综上，原方程实数解的个数是1或2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. 【新定义 新概念问题】定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a-b+c=0，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则a与c的数量关系是　　　　. a=c 解：由“蝴蝶”方程定义知，a-b+c=0，∴b=a+c. ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2=0，∴a=c. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. 【新趋势 探究性问题】已知关于x的方程mx2+（4m-2）x+4m-4=0（m为常数，且m≠0）. （1）求证：方程总有实数根; （2）若该方程有两个实数根， ①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为　　　　； ②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值. -2 解：（1）证明：∵m≠0，∴方程为一元二次方程. ∵Δ=（4m-2）2-4m（4m-4）=4>0，∴方程总有实数根. （2）①提示：x==， ∴x1=-2，x2=-2m-2m， ∴不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为-2. ②由①得，x1=-2，x2=-=-2+2，∵m为整数， ∴当m=±1，±2时，-2+为整数， 即m±1，±2时，方程的两个实数根都是整数. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. 【新趋势 阅读理解题】数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径. 阅读下面材料，解答相关问题： 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c=0（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下例： 例：求代数式x2+4x+5的最小值. 解：设x2+4x+5=y，∴方程x2+4x+（5-y）=0有实数根，∴Δ=16-4（5-y）≥0，解得y≥1， 则代数式x2+4x+5的最小值为1. 请利用上述方法解决下列问题： （1）请使用上述方法求代数式-x2+4x-1的最大值； （2）若关于x的二次三项式x2+ax+4（a为常数）的最小值为-5，求a的值. 解：（1）设-x2+4x-1=m，∴方程x2-4x+（m+1）=0有实数根， ∴Δ=16-4（m+1）≥0，解得m≤3，则代数式-x2+4x-1的最大值为3. （2）设x2+ax+4=n，∴方程x2+ax+（4-n）=0有实数根， ∴Δ=a2-4（4-n）≥0，解得n≥（16-a2）， 而x2+ax+4（a为常数）的最小值为-5， 则（16-a2）=-5，解得a1=6，a2=-6. 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $