22.2.1 直接开平方法和因式分解法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第22章 一元二次方程 22.2 　一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 3 目 录 2 4 1. （河南南阳唐河阶段练习）一元二次方程x2-3=0的解为 （　　） A. x1=x2= B. x1=，x2= C. x1=x2=9 D. x1=9，x2=-9 B 础 基 练 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 5 2. （河南驻马店确山期末）下列解方程的过程中，正确的是 （　　） A. x2=-2，解方程，得x=± B. （x-2）2=4，解方程，得x-2=2，x=4 C. 4（x-1）2=9，解方程，得4（x-1）=±3，x1=，x2= D. （2x+3）2=25，解方程，得2x+3=±5，x1=1，x2=-4 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 6 3. 【新趋势 开放性问题】若方程（x+1）2=k-2有实数根，则k的值可以是　　　　　　　　（写出一个即可）. 2（答案不唯一）　 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 7 4. 【原创题 过程性学习】若补全下列解方程的过程： （1）解方程：3x2-4=0. 解：移项，得　　　　　　， 方程两边都除以3，得　　　　　　， 直接开平方，得　　　　　　， 即x1=　　　　，x2=　　　　. （2）解方程：（1-x）2=25. 解：直接开平方，得　　　　　　， 变形，得x=　　　　， 即x1=　　　　，x2=　　　　. 3x2=4 x2= x= 1-x=±5 1±5 6 -4 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 8 5.（易错题）（四川泸州泸县一模）方程x2=3x的解为 （　　） A. x=3 B. x=0 C. x1=0，x2=-3 D. x1=0，x2=3 知识点2 用提公因式法解一元二次方程 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 9 6. 小华在解一元二次方程7y2=-6y时，只得出一个根是y=，则被他漏掉的一个根是　　 . y=0 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 10 7. 一元二次方程2（a+2）2+10（a+2）=0的较大解是a=　　　　. -2 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 11 8. 用因式分解法解一元二次方程16x2-25=0时，原方程可以化成的一元一次方程是 （　　） A. 4x+5=0 B. 16x-25=0 C. 4x+5=0，4x-5=0 D. 16x+25=0，16x-25=0 C 知识点3 用乘法公式解一元二次方程 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 12 【变式】因为一元二次方程a2-4a+4=64即（　　　　）2-82=0，把左边分解因式并化简得（　　　　）·（　　　　）=0，所以原方程可以转化为　　　　=0，　　　　=0. a-2 a+6 a-10 a+6 a-10 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 9. （教材P23练习改编）解下列方程： （1）0.75=3x2；　　（2）1=4y-4y2；　　（3）（x+1）2-144=0；　　（4）x2-1=2（x+1）. 解：（1）方程两边都除以3，得0.25=x2. 移项，得x2-0.25=0，即x2-0.52=0. 方程左边因式分解，得（x+0.5）（x-0.5）=0. 所以x+0.5=0或x-0.5=0. 得x1=-0.5，x2=0.5. （2）移项，得4y2-4y+1=0.方程左边分解因式，得（2y-1）2=0. 所以2y-1=0，得y1=y2=. （3）原方程即(x+1)2-122=0. 方程左边分解因式，得［（x+1）+12］［（x+1）-12］=0， 即（x+13）（x-11）=0.所以x+13=0或x-11=0. 得x1=-13，x2=11. （4）方程左边分解因式，得（x+1）（x-1）=2（x+1）. 移项，得（x+1）（x-1）-2（x+1）=0. 方程左边分解因式，得（x+1）（x-1-2）=0， 即（x+1）（x-3）=0. 所以x+1=0或x-3=0. 得x1=-1，x2=3. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 14 10. （山西临汾阶段练习）一元二次方程（x+1)2=2+2x的解为 （　　） A. x=2 B. x=-1 C. x1=2，x2=-1 D. x1=-1，x2=1 升 提 练 D 【解析】原方程即（x+1）2=2（x+1）， 移项，得（x+1）2-2（x+1）=0. 方程左边分解因式，得（x+1）（x+1-2）=0， 即（x+1）（x-1）=0. 所以x+1=0或x-1=0. 得x1=-1，x2=1. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 15 11.【跨学科 物理运动】根据牛顿发现的自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为h=v0t-gt2，一般情况下，g=9.8 m/s2. 如果v0=9.8 m/s，那么经过　　　　s，竖直向上抛出的小球上升的高度为4.9 m. 【解析】由题意，得4.9=9.8t-×9.8t2，解得t1=t2=1，所以经过1 s，竖直向上抛出的小球上升的高度为4.9 m. 1 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 16 12. （浙江杭州桐庐一模）已知一元二次方程（x-2）2=3的两根为a、b，且a>b，则2a+b的值为　　　　. 6+ 【解析】由（x-2）2=3，x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-，∴a=2+，b=2-， ∴2a+b=2(2+)+2-=6+. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 17 13.（江苏南通海安期末）用两种方法解下列方程： 4x2-4x+1=x2+2x+1. 解：方法1（用提公因式法因式分解）： 将方程化为一般形式，得3x2-6x=0， 方程左边分解因式，得3x（x-2）=0， 所以3x=0或x-2=0，得x1=0，x2=2. 方法2（用乘法公式因式分解）： 方程两边分别分解因式，得（2x-1）2=（x+1）2， 移项，得（2x-1）2-（x+1）2=0， 方程左边分解因式，得［（2x-1）+（x+1）］［（2x-1）-（x+1）］=0， 所以3x=0或x-2=0，得x1=0，x2=2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 18 14.（江苏常州模拟）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数. （1）当m=0时，请直接写出x的值； （2）当y=-1时，求n的值. 解：（1）由题意可得，x2+2x=0， 方程左边分解因式，得x（x+2）=0， 所以x=0或x+2=0，得x1=0，x2=-2. （2）由题意，得m=x2+2x，n=2x+3， ∵m+n=-1，∴x2+2x+2x+3=-1， 整理，得x2+4x+4=0， 方程左边分解因式，得（x+2）2=0， 得x1=x2=-2，∴n=2×（-2）+3=-1. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 19 15.【新趋势 阅读理解题】阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题： 解方程x（x−2）=3. 解：原方程可变形，得 ［（x−1）+1］［（x−1）−1］=3， （x−1）2−12=3， （x−1）2=4， 方程两边同时开平方，得x−1=±2，解得x1=3，x2=−1 我们叫这种解法为“和差数法”. 应用：用“和差数法”解方程：（x+1）（x+5）=12. 养 素 练 解：原方程可变形，得［（x+3）-2］［（x+3）+2］=12， ∴（x+3）2−22=12，∴（x+3）2=16， 方程两边同时开平方，得x+3=±4，∴x1=1，x2=−7. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 20 2 【方法指导】 将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以把二次项系数分解成两个因数的积，再把常数项分解成两个因数的积，通过交叉相乘，使积的和等于一次项系数，过程如图，因此2x2-3x-2=（x-2）（2x+1）. 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 【针对训练】 先用十字相乘法把下列方程的左边分解因式，再求出各方程的解： （1）x2-3x+2=0； （2）2x2+x-6=0. 解：（1）x2-3x+2=（x-1）（x-2）， 所以原方程可化为（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2. （2）2x2+x-6=（x+2）（2x-3）， 所以原方程可化为（x+2）（2x-3）=0，解得x1=-2，x2=. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 微专题2 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $