精品解析：广东省鹤山市纪元中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

纪元中学2024-2025学年度第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式的解集为R的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 11. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为_________. 13. 已知幂函数的图象过点，则_________. 14. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的取值范围； 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求实数和的值； （2）判断函数的奇偶性，并利用定义证明； （3）判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为（单位：）. （1）求关于的函数解析式； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 19. 已知定义在R上的奇函数，当时，. （1）作出的函数图象； （2）求函数在R上的解析式； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纪元中学2024-2025学年度第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：A 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 4. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 6. 若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式的解集为R的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，则原不等式的解集为，A错误； 对于B，，且二次项系数大于0，则原不等式的解集为R，B正确； 对于C，由，得，，则原不等式的解集为R ，C正确； 对于D， R，， ， 当且仅当，即时取等号，因此原不等式的解集为R，D正确. 故选：BCD 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 11. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算及真子集的概念可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 13. 已知幂函数的图象过点，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据幂函数的概念求的值，再根据求的值，可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 故答案为： 14. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集、补集、并集的定义求解即可； （2）由得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 依题意得：， 或， 所以. 而或，故或. 【小问2详解】 因为集合，且，所以. ①若，则，解得； ②若，则需使，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知，且. （1）求的最小值； （2）求的取值范围； 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【小问1详解】 由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. 【小问2详解】 由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求实数和的值； （2）判断函数的奇偶性，并利用定义证明； （3）判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）奇函数，证明：由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）减函数，证明：函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【小问1详解】 由的图象过点，得，又， 联立解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为（单位：）. （1）求关于的函数解析式； （2）长为时，求该休闲场所的总造价； （3）当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 【答案】（1） （2）154000 （3），118000 【解析】 【分析】（1）设m，根据十字形地域的面积得出的关系式，从而可求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即求该休闲场所的总造价； （3）根据基本不等式可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【小问1详解】 设m，则，所以， 所以. 【小问2详解】 当m时， （元） 【小问3详解】 由（1）得, 当且仅当，即时取等号， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 118000 元. 19. 已知定义在R上的奇函数，当时，. （1）作出的函数图象； （2）求函数在R上的解析式； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） 如下图所示： . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $