专题01 圆锥曲线中的面积问题大题（36题）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题01 圆锥曲线中的面积问题大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的三角形（四边形）面积问题 1．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【解题思路】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【解答过程】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 2．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）设出椭圆的标准方程，再由给定条件列出方程求解，进而求出离心率. （2）求出直线的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【解答过程】（1）设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. （2）依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，动直线与椭圆交于P，Q两点：当直线过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线过点，椭圆的右顶点为A，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据焦距和椭圆定义求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【解答过程】（1）由题意得：，即， 则， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意知：直线斜率不为，可设， 由消去x得：， 则， 设，则，， 可得， 又因为，则， 所以，解得：， 所以直线的斜率. 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆C：（）的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）根据离心率及通径长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【解答过程】（1）因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2） 因为椭圆C的方程为，所以，， 设（，）， 则，即，则直线的方程为， 令，得，同理，直线AM的方程为， 令，得， 所以 ， 所以四边形的面积为定值2． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【解题思路】（1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求出，进而得到椭圆的标准方程. （2）（i）利用直线与椭圆的位置关系、直曲联立求出直线联立求出根据切线性质求出最后根据中点性质证明即可.（i i）根据中点性质得到面积关系，根据切线求出再根据面积条件列方程计算. 【解答过程】（1）由题意得离心率则椭圆的标准方程为 （2）（i）设直线代入到椭圆方程，化简得故 设联立直线AC，BO的方程 切线又则故 所以：即M为线段AC中点.由与中点M，则 （ii）由中点M得将代入直线可得 则即则 故则 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. (1)求的方程； (2)直线的斜率为时，求与的面积之比； (3)椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)1 (3)过定点， 【解题思路】（1）根据条件，确定的值，得椭圆的标准方程. （2）设直线，得到点的坐标，再与椭圆方程联立，借助韦达定理，得到点坐标的关系，表示出与的面积，可求它们的比. （3）分斜率是否存在进行讨论.当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，根据韦达定理，结合，可探索的关系，得到直线过定点. 【解答过程】（1）由题知，，所以， 又离心率，得， 则有    所以椭圆的方程为. （2）如图： 设直线，所以， 联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，得， 设，则，即， . 所以与的面积之比为1. （3）当直线斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程得 ，整理得，，    整理得，即， 所以或，均满足 当时，直线过点，不满足题意. 当时，直线过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点. 综上可知，直线过定点. 题型二 椭圆中的面积的最值与范围问题 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【解答过程】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 8．（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）利用弦长公式表示面积，再利用换元，转化为函数问题求最值. 【解答过程】（1）由，即，又，即，， ，故椭圆C的方程为. （2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在， 不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合， ，且PQ方程为，将与联立， 求得两交点为，，，故. 当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为， ，，联立方程， 得且恒成立， ，， 同理可得， 令，则，， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减，，故. 9．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知椭圆分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若，且当直线轴时，． (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由，及可求得； （2）根据，将用参数m表示，从而得到面积关于m函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值． 【解答过程】（1）设椭圆的右焦点为，则，…① 由，得，…② 又当直线轴时，P，Q的横坐标为c，将代入中，得， 则，…③ 联立①②③，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）直线不与y轴垂直时，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去x并整理得， ， 又设，由韦达定理得 所以 ． 令， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 所以当，即时，， 此时S取得最大值为． 10．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）依题意列式即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，直曲联立，利用韦达定理，代入斜率公式，化简可得答案； （ⅱ）设直线的直线方程为，则由（ⅰ）中结论可得直线的方程为，联立解得的横坐标为4，利用三角形的面积公式及（ⅰ）中韦达定理化简可得，当时，可得的最小值. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）    （ⅰ）设直线的方程为，，， 由得，， 所以，， 所以， 由（1）得，， 则 . （ⅱ）设直线的直线方程为， 由（ⅰ）可知， 则直线的方程为，联立解得的横坐标为4. 所以 由（ⅰ）知，， ， 所以 ， 所以当时，的最小值为. 11．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率列方程组求值即可求参； （2）设直线方程联立方程组计算交点，求出面积结合基本不等式得出面积的最大值. 【解答过程】（1）设，代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率，则，解得， 又，则，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可得，，                      设，其中， 直线，                                  联立，消去得， 解得， 则， 即， 同理可得                        所以       ，当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 12．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【解题思路】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【解答过程】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则 ， ， ①当，即时，的最大值为， 由 ，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由 ， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 题型三 双曲线中的三角形（四边形）面积问题 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【解题思路】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 14．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即得的方程. （2）设，利用向量关系表示出点坐标，再建立方程组求出点坐标即可求出面积. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，半焦距， 而，解得， 所以的方程为. （2）设，而，由，得， 依题意，，解得，即， ，， 等腰底边上的高， 又四边形为梯形，则， 所以四边形的面积为. 15．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据焦点坐标以及渐近线方程计算可得结果； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，再由点到直线距离公式计算得出三角形面积表达式，解方程即可. 【解答过程】（1）由焦点坐标可得，再由渐近线方程可得； 又，可得； 所以双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 依题意直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，设； 联立可得， 显然，且，解得； 则， 可得， 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 解得或0（舍），即， 所以直线的方程为或. 16．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. (1)求的方程； (2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【解题思路】（1）由题意建立方程求得，进而求得，即可得解. （2）①设，设出切线方程并与双曲线联立，根据判别式及韦达定理得，求出直线的方程及的坐标，进而求出点P，Q坐标，通过计算中点坐标证明即可； ②根据三角形面积公式，将所证等式化为线段长度的比例关系，通过①中的坐标，计算相关线段长度，即可证明. 【解答过程】（1）由题可知，由直线与轴交于点，且， 可得，若，则，即，无解， 若，则，即， 则，故的方程为. （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线的斜率存在且不等于0和， 设切线的方程为， 与的方程联立，消去，整理得， 由， 整理得， 设切线，的斜率分别为，，则， ①由题可知直线的方程为， 令，得， 因为，的方程为，，所以，， 所以， 故是的中点，即. ②因为，，，的高相等， 所以，即. 由上述过程可知，，，. 所以，，，. 又，所以， ， 所以，即. 17．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程； （2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【解答过程】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以. 18．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． (1)求的方程； (2)证明：直线恒过定点； (3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据离心率以及顶点即可求的方程. （2）联立直线与双曲线方程，由向量垂直的坐标表示列式，结合韦达定理，化简求解. （3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解. 【解答过程】（1）由双曲线右顶点，得， 由离心率为，得双曲线半焦距，则双曲线虚半轴长， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于，设其方程为，， 由消去，得， 则，即，， 由以为直径的圆经过点，得，即， 则，， ，化简得， 当时，直线经过点，不符条件，因此， 所以直线必过定点. （3）由（2）知，， 由为中点，得，于是，解得， 由，得， 因此，所以. 题型四 双曲线中的面积的最值与范围问题 19．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【解答过程】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 20．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 21．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【解答过程】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， .    22．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【解答过程】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 23．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点    (1)求双曲线的标准方程． (2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）由题意设：，将代入解方程即可得出答案. （2）设，，，设，表示出点坐标，代入：方程，即可求得，进一步求出的坐标，而，而，代入化简结合基本不等式即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意设：， 将代入得到， ∴曲线：． （2）设，，，， 则（*） 设，则， 解得：， 代入：方程，得， 结合（*）式可知 由于，则，所以． 所以是、的中点，． 因为四边形是矩形，，， 所以为四边形的中心，所以， 在与中，，分别以为底时，高相同， 所以， 则， 因为过双曲线上一点的切线方程为， 所以直线的方程为：即， 因为，所以，令，所以， ，， 令，， 令， 则．当且仅当，即，，时，取等号， 故的最小值为． 24．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，求直线AB的方程； (3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)12 【解题思路】（1）由双曲线的性质结合题意可得结果； （2）设出直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，再结合得到，解出，即可求出直线方程； （3）结合已知作出图象，设出直线和的方程，由弦长公式表示出弦长，再求出直线与间的距离进而求出，最后求导分析其单调性再求出取值范围即可. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故曲线的方程为， （2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 得，都在右支上， 由，消去可得， 易知，其中恒成立， ， 代入，消元得， 所以，解得，满足， 所以直线的方程为， （3），， 则分别在两支上，且都在的上方或的下方， 不妨设都在的上方，又 ， 则在第二象限，在第一象限，如图所示， 延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点， 由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍， 由题设直线的方程为，直线的方程为， 由第（2）问易得， 因为,所以，所以， 两条直线与间的距离， 所以， 令，， 所以， 设，则，在上恒为减函数， 所以在上恒为增函数， 当时即，取得最小值为12， 所以四个点所构成的四边形的面积的最小值为12. 题型五 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 25．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【解答过程】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 26．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出方程； （2）设直线的方程，联立方程，由点的横坐标以及韦达定理得出，由弦长公式得出，由距离公式得出点到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）由，得出，所以抛物线的方程为. （2），设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为.    27．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【答案】(1)F的坐标为，准线方程为； (2) 【解题思路】（1）由题意，根据所给抛物线方程进行求解即可； （2）先求出点M的坐标，得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、焦点弦长公式和三角形面积公式求解即可． 【解答过程】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2）    因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 28．（24-25高二上·广东·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，其中点在第一象限． (1)证明：； (2)若四边形为梯形，求其面积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，设出直线的方程，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证. （2）分析梯形的几何特征确定点的位置，求出坐标，进而求出梯形面积. 【解答过程】（1）直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，则， 直线的斜率分别为，则 ， 所以． （2）若四边形为梯形，由对称性，不妨设上底为，由（1）知， 由梯形上下底平行得，，则，即点在线段的中垂线上， 于是的横坐标为1，点，， 梯形的面积为. 29．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知抛物线（）的焦点为，直线与交于，且． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）设点，代入抛物线方程得一关于的方程，再由焦半径公式得一关于的方程，联立解得得抛物线标准方程； （2）由（1）知点坐标，设，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求出点到直线的距离，然后由面积公式得结论． 【解答过程】（1）由题意可设点，则，得①， 因为，所以，得②， 将②代入①中，得，解得或8（舍去）， 故抛物线的方程为． （2）设，，将直线与消元得：， 所以，，， 则， 由（1）知，又点到直线的距离为， 所以，即的面积为， 30．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限． (1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离； (3)若，求与的面积之比． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标； （2）设，得出线段AC的中点坐标，根据已知列式，代入方程得出点的坐标，即可由两点式得出直线的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案； （3）设直线的方程为，设，根据已知与方程的联立与韦达定理得出，，，设原点到直线的距离为，由弦长公式与三角形面积公式的出，即可代入化解得出答案. 【解答过程】（1） 抛物线的准线为， 因为点到抛物线焦点的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 所以点的横坐标为1， 代入方程的，解得， 因为点位于第一象限， 故点的坐标为. （2）设，则线段AC的中点坐标为 因为线段的中点在轴上， 所以，故， 代入方程得，解得，所以， 所以直线的方程为：，整理得： 所以原点O到直线l的距离 （3）由题意，直线的斜率显然存在且， 设直线的方程为， 设 由，得， 由，得：， 因为直线与抛物线交于点、， 所以，即，且，， 同理，，， 所以，， 由①，②得：，代入③得，代入②得 设原点到直线的距离为， 所以. 题型六 抛物线中的面积的最值与范围问题 31．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． (1)求的值； (2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据抛物线方程求点的横坐标，再代入焦半径公式，即可求解； （2）首先直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，再代入面积公式，根据的取值范围，求面积的最大值. 【解答过程】（1）分析可得，点在抛物线上且纵坐标为， 代入抛物线方程，得点的横坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； （2）由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长 ， 直线的方程的一般式为， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值．    32．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【解题思路】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【解答过程】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为. 33．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线C：，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，且，过点作直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由抛物线的定义可得：，然后求解即可； （2）设直线l的方程为，联立，然后结合韦达定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】（1）点在抛物线上，点为抛物线的焦点，且， 由抛物线的定义可得：， 即， 所以抛物线的方程为； （2）由已知直线的斜率不为， 设直线的方程为， 联立， 消得：， 则， 设，， 则，， 设直线与轴的交点为，则，， 所以， 又， 所以， 当且仅当时取等号， 即面积的最小值为 34．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【解题思路】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【解答过程】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 35．（24-25高二上·湖北·期末）已知直线与抛物线交于两点. (1)若，直线的斜率为1，且过抛物线的焦点，求线段的长； (2)如图，若（为坐标原点），点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴，轴分别交于两点.记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)16 (2) 【解题思路】（1）由题可得直线的方程为，与抛物线联立得，利用抛物线定义求出答案； （2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合求得，求得点的坐标，直线的方程，得点坐标，由得，利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）若，则，焦点为， 所以直线的方程为， 设，联立，整理得， ，， 所以， 所以线段的长为16. （2）由题意，，设直线的方程为，， 当时，不能构成三角形，不合题意； 当时，联立，整理得， ，， 因为，所以，即， ，即， ，解得，满足上面方程， 则，，即点的坐标为， 因为，所以直线的方程为：， 令，得，令，得， 由，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 36．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点，任意作两条相互垂直的弦，弦过定点. (1)求的方程； (2)求点坐标； (3)若直线和分别与轴交于两点，当时，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)24 【解题思路】（1）由点坐标求出可得答案； （2）当直线的斜率存在时，设：与抛物线方程联立，由韦达定理代入得，由系数为0求出可得点坐标.当直线的斜率不存在时由点坐标可得成立.； （3）设：，：，由，求出的范围，直线、方程与抛物线方程联立，求出、，代入可得答案. 【解答过程】（1）由可得，则E的方程为； （2）设，，， 当直线的斜率存在时，设：，， 联立得， 则，，， 由，得， 即， 即， 即， 则， 可得，故. 当直线的斜率不存在时，，，成立. 综上所述，； （3） 易知直线，的斜率均存在， 设：，：， 此时，，， ，可得， 联立得. 则，， 同理， 因此 即的最大值是24. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆锥曲线中的面积问题大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的三角形（四边形）面积问题 1．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 2．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，动直线与椭圆交于P，Q两点：当直线过时，的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线过点，椭圆的右顶点为A，当面积为时，求直线的斜率. 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆C：（）的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形的面积. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点. (1)求的方程； (2)直线的斜率为时，求与的面积之比； (3)椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 题型二 椭圆中的面积的最值与范围问题 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 8．（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 9．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知椭圆分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若，且当直线轴时，． (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积为S，求S的最大值． 10．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值. 11．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 12．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 题型三 双曲线中的三角形（四边形）面积问题 13．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 14．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 15．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点，且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 16．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. (1)求的方程； (2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 17．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 18．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． (1)求的方程； (2)证明：直线恒过定点； (3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 题型四 双曲线中的面积的最值与范围问题 19．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 20．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 21．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 22．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 23．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点    (1)求双曲线的标准方程． (2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值． 24．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，求直线AB的方程； (3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 题型五 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 25．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 26．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 27．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 28．（24-25高二上·广东·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，其中点在第一象限． (1)证明：； (2)若四边形为梯形，求其面积． 29．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知抛物线（）的焦点为，直线与交于，且． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与交于，两点，求的面积． 30．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限． (1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离； (3)若，求与的面积之比． 题型六 抛物线中的面积的最值与范围问题 31．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． (1)求的值； (2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 32．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 33．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线C：，点在抛物线上，点为抛物线的焦点，且，过点作直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求面积的最小值. 34．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 35．（24-25高二上·湖北·期末）已知直线与抛物线交于两点. (1)若，直线的斜率为1，且过抛物线的焦点，求线段的长； (2)如图，若（为坐标原点），点为线段的中点，点为直线与轴的交点，设线段的中垂线与轴，轴分别交于两点.记的面积为的面积为，求的取值范围. 36．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点，任意作两条相互垂直的弦，弦过定点. (1)求的方程； (2)求点坐标； (3)若直线和分别与轴交于两点，当时，求的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$