精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024-2025学年第一学期阶段调研试卷 九年级 数学 2024年11月 一、选择题（本大照共8小题，总分24分） 1. 计算的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 3. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，在直角三角形中，，，求的长． （ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 50米 8. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，总分24分） 9. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 10. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 11. 第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为______． 图1 图2 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 13. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为______________．（用“”连接）． 14. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成____________________． 15. 如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为______． 16. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是_______（填序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 计算：． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 20. 如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 21. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． （1）求的长； （2）求的值． 22. 知识回顾： （1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，若点B的坐标为. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若是轴上一点，，将点Q绕着点P逆时针方向旋转90º得到点E. ①用含t的式子表示点的坐标； ②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值. 24. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 25. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 27. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； （2）连结，把所在的直线平移，使它经过原点，得到直线，点是上一动点，设以点为顶点的四边形面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形；若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段调研试卷 九年级 数学 2024年11月 一、选择题（本大照共8小题，总分24分） 1. 计算的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】解：， 故选B 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 3. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 5. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正切函数的定义等知识点．根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：B． 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 7. 如图，在直角三角形中，，，求的长． （ ） A. 米 B. 25米 C. 米 D. 50米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用外角的性质推出，得出，再利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 二、填空题（本大题共8小题，总分24分） 9. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 10. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 11. 第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为______． 图1 图2 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为______________．（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ． 故答案为：． 14. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，正弦函数等；过作，为垂足，由线段的长度得，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得，由正弦函数的定义即可求解；掌握矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，正弦函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作，为垂足， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 同理可求：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】 根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3， 在Rt△ABE中，AB= =4， ∴cos∠ABE==，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB==， ∴PF=PBsin∠PBF=t， ∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确； 当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=， PQ=CD﹣PD=4﹣=， ∴， ∴， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 因式分解得：， ∴或， 解得：． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵方程，， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键． （1）证明方程的根的判别式即可． （2）根据根与系数关系定理，得，结合计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的两个实数根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，二次函数的最值问题，三角形的面积，熟练根据题意列出四边形的面积关于的函数关系式是解题的关键．设，则，利用得出，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴四边形的面积最大值为． 21. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是根据题意求出与的长度． （1）设，由于，所以，再由勾股定理列出方程即可求出的值，再根据角平分线的性质即可求解； （2）设，根据全等三角形的判定和性质及可求出，然后根据正切的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴， ∴． 22. 知识回顾： （1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为， 若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②． 证明如下：一元二次方程（）， 当时，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，若点B的坐标为. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若是轴上一点，，将点Q绕着点P逆时针方向旋转90º得到点E. ①用含t的式子表示点的坐标； ②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值. 【答案】(1) y＝﹣x2﹣2x+3，顶点坐标为（﹣1，4）；(2) ①E的坐标为（t，5+t）；②t＝﹣2 【解析】 【分析】（1）把点B的坐标代入二次函数解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标； （2）①作EH⊥y轴于H，证明△EPH≌△PQO，关键全等三角形的性质得到PH=OQ=5，EH=OP=t，得到点E的坐标； ②把点E的坐标代入二次函数解析式，计算得到答案． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点B，点B的坐标为（1，0）． ∴﹣12+b+3＝0， 解得，b＝﹣2， 抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3， y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）①作EH⊥y轴于H， 由旋转的性质可知，PE＝PQ，∠EPQ＝90°， ∴∠EPH+∠HPQ＝90°， ∵∠POQ＝90°， ∴∠OPQ+∠OQP＝90°， ∴∠EPH＝∠PQO， 在△EPH和△PQO中， ， ∴△EPH≌△PQO（AAS）， ∴PH＝OQ＝5，EH＝OP＝t， ∴OH＝PH﹣OP＝5+t， 则点E的坐标为（t，5+t）； ②当点E恰好在该抛物线上时，﹣t2﹣2t+3＝5+t， 解得，t1＝﹣2，t2＝﹣1 ∵t＜﹣1， ∴t＝﹣2． 【点睛】考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺 （2）能， 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． 【小问2详解】 能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 25. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）①；②每把扇子应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，最大值是， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； 【小问2详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 【小问3详解】 设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 27. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； （2）连结，把所在的直线平移，使它经过原点，得到直线，点是上一动点，设以点为顶点的四边形面积为，点的横坐标为，当时，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形；若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）且 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质可求得点的坐标，将点的坐标代入即可求出抛物线的解析式，进而通过求函数值可求出顶点的坐标； （2）根据点、的坐标，利用待定系数法易求得直线的解析式，进而可确定直线的解析式，于是可表示出点的坐标，过点作轴交轴于点，连接，求出，分三种情况：当时，，不合题意；当时，点位于第四象限，过点作轴交轴于点，连接，得出，利用，代入求解即可；当时，点位于第二象限，设交轴交于点，得出，利用，代入求解即可； （3）根据（2）的结论，可求出的最大值，由此可得到点的坐标；若为直角三角形且为直角边，那么有两种情况需要考虑：，；过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，于是可求出直线、的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：点与点关于直线对称， 点的横坐标， ， 将点坐标代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 把所在的直线平移得到直线， 直线， 可设直线的解析式为， 直线经过原点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点是上一动点且点的横坐标为， 点的坐标为， 过点作轴交轴于点，连接， 则，， ∴， ∴当时，，不合题意； 当时，点位于第四象限，如图，过点作轴交轴于点，连接， 则， ， ， ， 解得：， 当时，点位于第二象限，如图，设交轴交于点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴ ， ， ， 解得：， 综上，且， 即：的取值范围是且； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或， 理由如下： 由（2）可知：的最大值为，则， 如图，过点、分别作直线、垂直于直线，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点，在直线上的点右侧取点，过点作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， 直线直线， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 直线过原点， 可设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式，得： ， ， 直线的解析式为， 直线直线，直线直线， ，， ， 直线平行于直线， 可设直线的解析式为， 将点代入直线的解析式， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式，可得： ， 解得：，， 其中，即为原点，不合题意，故舍去， ； 联立直线与抛物线的解析式，可得： ， 解得：，， ，； 综上所述：点的坐标为或或， 答：当取最大值时，抛物线上存在点，使为直角三角形且为直角边；此时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与面积问题，二次函数与直角三角形存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，二次函数与一次函数交点问题等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $