精品解析：广东省鹤山市纪元中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

纪元中学高一级2024-2025学年度第一学期第一次月考（数学）试卷 考试时长：120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 7. 已知下列四个命题： （1）若 ； （2）若，则 ； （3）若 ； （4）若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 下列命题中假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 集合，则的真子集个数为______个． 13. 已知a＞0，b＞0，ab＝16，则3a＋b的最小值是________． 14. 已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 四、解答题：(本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知全集为，集合，或求： （1） （2） （3） 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，且，求实数的取值范围． 17. 已知关于的一元二次不等式的解集为. （1）求实数的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）解关于的不等式. 18. 已知函数． （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. （3），，若时，有，求的最小值. 19. 在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底作业.潜水员用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为(米/单位时间)，每个单位时间用氧量为0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为y. （1）将y表示为v的函数； （2）设0<v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最小，并求y的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纪元中学高一级2024-2025学年度第一学期第一次月考（数学）试卷 考试时长：120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先列举全集中的元素，再求. 【详解】由题意可知，，，， 所以，. 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定的求法，直接求出命题的否定. 【详解】原命题的否定为. 3. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【详解】， 由且，故，即. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断充分必要条件需要既要判断充分性也要判断必要性. 【详解】当时，或，则不满足充分性； 当时，成立，则满足必要性， ∴“”是“”的必要不充分条件 故选：B 5. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再结合韦恩图求解. 【详解】由，得，而， 又全集，则，又图中阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 6. 不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】由题意得，，则，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 7. 已知下列四个命题： （1）若 ； （2）若，则 ； （3）若 ； （4）若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和作差法依次判断选项即可. 【详解】对于(1)，由，得， 由不等式的性质知，，故命题(1)正确； 对于(2)，由知，，由不等式的性质知，，故命题(2)正确； 对于(3)，， 若同号，由得， 若异号，由得，故命题(3)错误； 对于(4)，由，得，则，故命题(4)正确. 故选：C. 8. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式． 【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合， A正确，B错，C正确，D正确， 故选：ACD． 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键． 10. 下列命题中假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项逐个分析，可得出答案. 【详解】对于A，取，可知，即A错误； 对于B，由，可得，显然不是有理数，即B错误； 对于C，因为在一元二次不等式中，，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取时，不等式不成立，即C错误； 对于D，当时，成立，即D正确. 故选：ABC. 11. 对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，通过讨论与0的大小关系，求出解集即可. 【详解】根据题意，易知． 当时，函数的图象开口向上，故不等式的解集为或． 当时，函数的图象开口向下，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为；若，不等式的解集为． 故选：ABC． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 集合，则的真子集个数为______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据整除且，可逐个求出，进而求出集合A的真子集个数. 【详解】解：因为，所以，又因为，即整除， 所以，，， 所以，，， 故集合， 所以集合的真子集个数为个． 故答案为：. 13. 已知a＞0，b＞0，ab＝16，则3a＋b的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据a＞0，b＞0，ab＝16，利用基本不等式求解. 【详解】因为a＞0，b＞0，ab＝16， 所以3a＋b， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 14. 已知命题且，命题，恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出与同时为真命题的参数范围，然后再求补集． 【详解】为真命题，则， 为真命题，则，， 所以与同时为真命题时，， 从而与不同时为真命题时，的范围是， 故答案为：． 四、解答题：(本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知全集为，集合，或求： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解. 【小问1详解】 由，或，得. 【小问2详解】 由全集为，得或，， 所以. 【小问3详解】 依题意，或，所以. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）R （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，再利用并集的定义求解. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，或， 所以R. 【小问2详解】 集合，或， 由，得，而，所以. 17. 已知关于的一元二次不等式的解集为. （1）求实数的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解得答案. （2）变换，利用均值不等式得到答案. （3）变换得到，，得到不等式的解. 【小问1详解】 一元二次不等式的解集为，则， 解得. 【小问2详解】 ， 当，即时等号成立. 【小问3详解】 ，， 故解集为 18. 已知函数． （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. （3），，若时，有，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）分和，根据方程只有1解求的值. （2）先根据已知不等式的解集求的值，再解一元二次不等式. （3）确定的关系，利用基本不等式求的最小值. 【小问1详解】 问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. 【小问2详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. 【小问3详解】 由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 19. 在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底作业.潜水员用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为(米/单位时间)，每个单位时间用氧量为0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为y. （1）将y表示为v的函数； （2）设0<v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最小，并求y的最小值. 【答案】（1）；（2）当下潜速度 (米/单位时间)时，总的用氧量最小，最小值为62. 【解析】 【分析】 （1）由题意，转化等量关系，即可得解； （2）由基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，潜入水底用时，用氧量为， 水底作业时用氧量为， 返回水面用时，用氧量为， 所以总用氧量， （2）由（1）可知， 当且仅当，即时，等号成立， 故当下潜速度 (米/单位时间)时，总的用氧量最小，最小值为62. 【点睛】本题考查了函数及基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $