江苏省南京市六校联合体2026届高三上学期8月学情调研考试数学试题

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026 届六校联合体高三 8 月学情调研 高三数学 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.（13分） 16.（15分） 一、单项选择题 （共 40分） 二、多项选择题（共 18分） 1     5     9     2     6     10     3     7     11     4     8     三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12. 13. 14. 禁 止 答 题 区 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔 填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号， 在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔 答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026届六校联合体高三8月学情调研 高三数学参考答案 一、单选题 2 3 4 5 6 7 8 B A A C D c D D 二、多选题 9 10 11 BCD ABD BD 三、填空题 12 13 14 15 5 3 四、解答题 15.(1)依题意，√3cin4=2acos2 由正弦定理可得√3 sinCsinA=2sin4cos 因为0<A<元，所以siA≠0，所以 3sinc=2cos 2 …2分 法-：即2W5 im Cco=2cos9 2 因为0<C<元，所以0<C<”, 22 cos- ×0 所以vm氵-ms号所以：m号 3 3 5分 所以气=即C=7分 法二：即V3sinC-c0sC=12分 π1 所以2simC-1，即mC-625分 因为0<C<π： 所以-π<c-工5π 6 66 所以C亚=π 即C=亚 66 3 7分 (2)因为BC=1AB=V5,又因为BD=BC,C=T 所以△BCD为等边三角形， 则CD=1,∠ADB=2 3 .9分 由余弦定理得cos∠ADB=AD+BD-AB:1 2AD·BD …11分 所以AD+AD-2=0,解得AD=1或AD=-2(舍去)，故AD=1.13分 16.由题意：an=S-n-1=0n22), .2分 =1时，=S=1,也符合上式：3分 综上：0=n4分 设数列{地}的公比为q(q>0),则b=4=3,b=4,=27, b=bq=3 6=6g=27解得：么=Lg=3,6分 即 所以b=3-1: 7分 (2)根据题意，在a。与a1之间插入b,个1， 即在1和2之间插入b=1个1：8分 在2和3之间插入b=3个1：9分 在3和4之间插入b=9个1：10分 在4和5之间插入b,=27个1；11分 据分析：Ts=(1+3+9+27)+(1十2+3+4+5)=55 .15分 17. D 0 (I)如图，在图1中，连接BD,交AC于点O, 因为四边形ABCD为边长是V反的正方形，则AC⊥BD,1分 在图2中，则有AC⊥PO,AC⊥B0,又PO∩BO=O,PO,BOC平面POB 所以 AC⊥平面POB,又BPC平面POB,所以AC⊥BP5分 (2)因为P-AC-B是直二面角，且∠POB是二面角P-AC-B的平面角，所以PO⊥BO 又AC⊥PO,AC⊥BO,分别以OB、OA、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直 角坐标系，如图： 由题意，401,0)、B(L0,0)、C(0,-10)、P(0.0,1). 设BM=1BC=(-元，-元，0)，则Oi=OB+BM=1-元，-元，0)，PM=1-元，-，-1) 平面ABC的法向量为=(0,0，)|cos<PM,n1水- 1 6 ，所以 V(1-)++13 1 (22-1)2=0,= 9分 .丽=分0西=0-0 ,设平面PAM的法向量为2=(x,y,),则 11 2-2y-=0 ，=(3,1,1) y-2=0 则c08<,n3>= 面 i11 13分 sin<2,n3>= 10-110 V1111 所以二面角P一AM一C的正弦值为 v110 11 15分 9 +是=la=+1 1 18.(1)根据题意有 所以a2=4,b2=3 …2分 +2 所以C的方程为+ -=1 43 …3分 (2)法一： 由题意，PO的斜率显然不为0，设P的方程为x=y+4,代入C的 方程有： (3m2+4)x2+24y+36=0,其中△=16(9m2-36)>0,解得m2>4 设P(g,y),Q(x,y2),则 24m 36 y+2= 3m2+43m+4’5分 Sao=Sa-Sgm=号x3y-为 1 18Vm2-4 2 3m2+4 ……7分 令m-4=≥0)S=,18=1851835 3r2+1631+ (当且仅当m2 162√484 28时，等 号成立)… …10分 法二：由题意，直线PQ的斜率一定存在，设PQ的方程为y=k(x-4), 则(3+4h2)x2-322x+64k2-12=0设P(,片)，0(x,) 32k2 64k2-12 则+名3+4状5= 3+4k2 .5分 PO=+l21-4h 3+4k2 F到直线PQ的距离为d= 13k V1+k3 5umood 3+4k2 7分 令2=1，S2=18(-4r2+0 16f2+24t+9 网 f0=6Ct2.0-28+3+3) 16f2+241+9 162+24t+9)2 f0在(0,3)上递增，在 28 28+0)上递减 所以1==3时，等号成立， 28 0.=绿-39 10分 (3)若S到直线FP和FO的距离相等，则直线SF平分∠PF, 易知AF上x轴，故只需满足直线FP与的斜率之和为012分 5 设FP,F@的斜率分别为k,k2,则： k+东=片+上=0，+3)+0y+3) x-1x2-1(y1+3)(0y2+3) =2少y+3y+y2) (%+3)(%2+3) 14分 72m-72m ..17分 3+4m2 (%+3)(%,+3) 0 有及+k2=0,故命题得证 190f=a-1--（x>0 xx 1分 a≤0时f'(x)<0恒成立，f(x)在(0，+m)上递减 2分 a>0时，fw)在(0，马上递减 a 在(+)上递增 3分 (2)由(1)可知a≤0时，不合题意： a>0时，f在(0，马上递减，在（上+）上递增， 若在0，c有两个零点，则需f白=1+hna<0,解得0<a<5分 e 此时f日=+1>0，所以在(2己上一定有一个零点， 7分 6 当fe)=a0-220a号时9在（合1业一定有-个学点9分 ……10分 e (3)依题意，由f(x)+x(1+cosx)≤0， 得(a-l)x-2simr+x1+cosr)s0,即2sinr-xco8x-ax20,11分 设h(x)=2sinr-XCOSK-ar,x∈ (x)=2cosx-cosx+xsinx-a=cosx+xsin -a, 设m()=co+xinr-a,则m'(x)=xcOSx, 当x[0引时.m)>0m()单调道增： 所以在rc0}上，s得号a,且(o=l-a 当-a≤0，即a≥时，K(x)≥0，h(x)在[0，π上单调递减， 则h()≤h(O)=0,不符合题意，舍去，l3分 当号a0,即a时， (i)若1-a<0,即1<a< 2 x 使得(6)=0，当0<x<时，()<0，h)在(0，x)内单调递减， > h()≤(0)=0，不符合题意，舍去，15分 (ii)若1-a≥0，即as1,M(x)>0恒成立， 、π h()在 0,引上单调道增，则A()2h0)-0,符合愿意17分 综上，实数a的取值范围为(-o,1]:1 2026 届六校联合体高三 8 月学情调研 高三数学 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合 A＝{x|x2－4＜0}，且 a∈A，则 a可以为 （ ） A．－2 B．－1 C．2 D．4 2．已知复数 z满足 z(1－i)＝2i，其中 i为虚数单位，则 z的虚部为 （ ） A．1 B．i C．－1 D．－i 3．在四边形 ABCD中，若AC → ＝AB → ＋AD → ，则“AC → ⊥BD → ”是“四边形 ABCD是正方形” 的 （ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知sin(α＋β) sin(α－β) ＝ 1 3 ，则 tanα tanβ ＝ （ ） A．2 B．1 2 C．－2 D．－1 2 5．已知正四棱锥的底面边长为 4，且其侧面积是底面积的 2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A．32 6 3 B．36 6 C．32 3 D．32 3 3 6．将函数 πsin 2 3 y x      的图象向左平移 π 12 个单位长度，所得图象的函数 （ ） A．在区间  π, 2π 上单调递增 B．在区间 π 3π, 2 2      上单调递减 C．在区间 3ππ, 2      上单调递减 D．在区间 3π 5π, 4 4      上单调递增 7．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则 a6＝ （ ） A．36 B．±6 C．－6 D．6 2 8．已知定点 A(1 2 ，0)，圆 C与 y轴相切，直线 2x＋y－2＝0是圆 C的一条对称轴．若圆 C 上存在两点 P，Q使得∠PAQ＞ 3 ，则圆 C圆心的横坐标的取值范围是 （ ） A．(－∞，3 2 )∪(9 2 ，＋∞) B．(1 2 ， 11 2 ) C．(0，1 )∪(3 2 ，＋∞ ) D．(1 2 ， 17 2 ) 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有错选的得 0分． 9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 4位男生，6位女生进入决赛．现 通过抽签决定出场顺序，记事件 A表示“第一位出场的是女生”，事件 B表示“第二位出 场的是女生”，则 （ ） A．P(AB)＝3 5 B．P(B|A)＝ 5 9 C．P(A)＝P(B) D．P(A∪B)＝13 15 10．已知函数 f(x)＝x3＋3x2＋ax－3，则 （ ） A．当 a＝4时，f(x)在 R 上单调递增 B．当 a＜3时，f(x)有两个极值 C．过点(0，1)且与曲线 y＝f(x)相切的直线恰有两条 D．f(－1＋x)＋f(－1＋x)＋2a＋2＝0恒成立 11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 y＝kx＋1(k∈R)表示过点(0，1)的直 线族(不包括直线 x＝0)．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某 点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族 ax＋ by＝1(a，b∈R)，则下列说法正确的是 （ ） A．若 a＝cosθ，b＝sinθ(θ∈[0，2π))，则该直线族的包络曲线方程为 x2＋y2＝2 B．若 a＝cosθ m ，b＝sinθ n (m＞n＞0，θ∈[0，2π))，则该直线族的包络曲线为椭圆 C．当 a＝3 2t ，b＝－ 1 2t3 (t＞0)时，点(x0，2x30)(x0＞0)可能在直线族 ax＋by＝1上 D．当 a2＋b＝0时，曲线 x2＝4y(x≠0)是直线族 ax＋by＝1的包络曲线 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．请把答案填写在答题卡 相应位置上． 12．(x2－1 x )6的展开式中的常数项为 ． 3 13．若抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线 W：x 2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点 F重合， C的准线交 W于 A，B两点，△ABF为等边三角形，则 W的离心率为 ． 14．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，点 P在正方体的内切球表面上运动，且满足 D1P//平面 A1BC1，则 AP的最小值为________ 四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 3csinA＝2acos2 C 2 （1）求角 C； （2）若 D为边 AC上一点，且 BC＝BD＝ 3 3 AB＝1，求 AD的值． 16．已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，且满足 Sn＝ n2＋n 2 ，数列{bn}为公比大于 0的等比数列， 且 b2＝a3 , b4＝a27． （1）求 an，bn； （2）若在 an与 an+1之间插入 bn个 1，由此构成一个新的数列{cn}，记{cn}的前 n项和 Tn， 求 T45的值． 4 17．图 1是边长为 2的正方形 ABCD，将△ACD沿 AC折起得到直二面角 P－AC－B，如图 2所示． （1）求证：AC⊥BP； （2）棱 BC上存在一点 M，当 PM与平面 ABC所成角的正弦值为 6 3 时， 求二面角 P－AM－C的正弦值． 18．已知椭圆 C:x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0) 过点 A(1,3 2 )，且 C的右焦点为 F(1,0)． （1）求 C的方程； （2）设过点(4，0)的一条直线与 C交于 P、Q两点，且与线段 AF交于点 S． （i）求△FPQ面积的最大值； （ii)证明：S到直线 FP和 FQ的距离相等． 图 1 图 2 5 19．f(x)＝ax－lnx． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）若 f(x)在(0，e2]有两个零点，求 a的取值范围； （3）若 2sinx－xcosx－lnx≥f(x)在 x∈(0， 2 ]上恒成立，求 a的取值范围． ( ) 2026届六校联合体高三8月学情调研 高三数学 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号 ： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、单 项 选 择 题 （共40分） 二、多 项 选 择 题（共 18 分） 1     5     9     2     6     10     3     7     11     4     8     填空题（每小题 5 分，共 1 5 分） 1 2 . 1 3 . 1 4 . 禁 止 答 题 区 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 5 .（ 13 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 .（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 .（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 .（ 17 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 .（ 17 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届六校联合体高三8月学情调研 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，且a∈A，则a可以为 （     ） A．－2 B．－1 C．2 D．4 2．已知复数z满足z(1－i)＝2i，其中i为虚数单位，则z的虚部为 （     ） A．1 B．i C．－1 D．－i 3．在四边形ABCD中，若＝＋，则“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的 （     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知＝，则＝ （     ） A．2 B． C．－2 D．－ 5．已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为 （     ） A． B．36 C．32 D． 6．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数 （     ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 7．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6＝ （     ） A．36 B．±6 C．－6 D．6 8．已知定点A(，0)，圆C与y轴相切，直线2x＋y－2＝0是圆C的一条对称轴．若圆C上存在两点P，Q使得∠PAQ＞，则圆C圆心的横坐标的取值范围是 （     ） A．(－∞， )∪(，＋∞) B．(，) C．(0，1 )∪(，＋∞ ) D．(，) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现 通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则 （     ） A．P(AB)＝ B．P(B|A)＝ C．P(A)＝P(B) D．P(A∪B)＝ 10．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋ax－3，则 （     ） A．当a＝4时，f(x)在R上单调递增 B．当a＜3时，f(x)有两个极值 C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线恰有两条 D．f(－1＋x)＋f(－1＋x)＋2a＋2＝0恒成立 11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y＝kx＋1(k∈R)表示过点(0，1)的直 线族(不包括直线x＝0)．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族ax＋by＝1(a，b∈R)，则下列说法正确的是 （     ） A．若a＝cosθ，b＝sinθ(θ∈[0，2π))，则该直线族的包络曲线方程为x2＋y2＝2 B．若a＝，b＝(m＞n＞0，θ∈[0，2π))，则该直线族的包络曲线为椭圆 C．当a＝，b＝－(t＞0)时，点(x0，2x)(x0＞0)可能在直线族ax＋by＝1上 D．当a2＋b＝0时，曲线x2＝4y(x≠0)是直线族ax＋by＝1的包络曲线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．(x2－)6的展开式中的常数项为 ． 13．若抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线W：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F重合， C的准线交W于A，B两点，△ABF为等边三角形，则W的离心率为 ． 14．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足D1P//平面A1BC1，则AP的最小值为________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA＝2acos2 （1）求角C； （2）若D为边AC上一点，且BC＝BD＝AB＝1，求AD的值． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn＝ ，数列{bn}为公比大于0的等比数列，且b2＝a3 , b4＝a27． （1）求an，bn； （2）若在an与an+1之间插入bn个1，由此构成一个新的数列{cn}，记{cn}的前n项和 Tn， 求T45的值． 17．图1是边长为的正方形ABCD，将△ACD沿AC折起得到直二面角P－AC－B，如图2所示．图1 图2 （1）求证：AC⊥BP； （2）棱BC上存在一点M，当PM与平面ABC所成角的正弦值为时， 求二面角 P－AM－C的正弦值． 18．已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0) 过点A(1, )，且C的右焦点为F(1,0)． （1）求C的方程； （2）设过点(4，0)的一条直线与C交于P、Q两点，且与线段AF交于点S． （i）求△FPQ面积的最大值； （ii)证明：S到直线FP和FQ的距离相等． 19．f(x)＝ax－lnx． （1）讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)在(0，e2]有两个零点，求a的取值范围； （3）若2sinx－xcosx－lnx≥f(x)在x∈(0，]上恒成立，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$