精品解析：2025年福建省福州市台江区中考数学适应性试卷

2025年福建省福州市台江区中考数学适应性试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数加法的应用，理解有理数加法的意义是解题的关键，由有理数加法的意义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 所以该仓库当天物资变化的结果可表示为吨， 故选：C． 2. 2025年2月，中国初创公司在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：A． 3. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此， A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误； B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误； C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确； D、球体主视图与俯视图都是圆，错误． 故选C． 4. 用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ） A. 的木条 B. 的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：如将的线段两段，所截成的两段线段之和大于，所以能够构成三角形， 而的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于，所以不可以构成三角形． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些运算性质和法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法法则，逐项判断即可． 【详解】A．与不是同类项，不能直接合并相减，所以该选项计算错误，不符合题意； B．根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，所以该选项计算错误，不符合题意； C．根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．，所以该选项计算错误，不符合题意； D．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，所以该选项计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 关于的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若是一元二次方程的两根时，． 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 设是一元二次方程的两个实数根， ， ， 两根的符号相反， 故ABD错误，不符合题意；C正确，符合题意． 故选：C． 7. 某校为落实五项管理工作的有关要求，随机抽查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，制作如下统计图，则所抽查的学生每天睡眠时间的众数、中位数分别是（ ） A. 7，8 B. 7，10 C. 8，8 D. 8，8.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的求法是解题的关键． 根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：调查学生的总人数为：人， 则第17个数和第18个数的平均数是中位数， ∴由表格得第17个数和第18个数都是8， ∴中位数是8， 由表格可得出现次数最多的也是8， ∴众数为8， 故选：C． 8. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 9. 如图，有一块不规则的四边形木板，，，．小伟先沿过点A与垂直的线裁剪，与的交点记为点E，再沿过点E与垂直的线裁剪，与交于点F，若裁剪下的与恰好可以拼成一个矩形，则木板的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，再证明四边形是矩形，利用矩形的性质求出、的长，再利用周长公式即可求解． 【详解】解：裁剪下的与恰好可以拼成一个矩形， ， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 木板的周长． 故选：B． 10. 已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：将代入二次函数， 二次函数的图象过点， 点，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线， ， ，故A错误； ， ， ， 故B错误； 二次函数的对称轴为直线， 为二次函数的顶点， 当时，二次函数有最小值为， ， ，故C错误； ， ， 点，都在二次函数的图象上，且在对称轴的左侧， 二次函数的图象在对称轴的左侧，随的增大小减小， ， ， ，故D正确； 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，数轴上点表示的数可能是__________．（写出一个满足条件的无理数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．观察数轴可知：点表示的数是大于且小于，然后写出一个满足这个范围的无理数即可． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数是大于且小于， 满足这个条件的无理数为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．利用解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项，得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∴， ∵为12， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 14. 如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，正多边形的性质，关键是由多边形的外角和是，求出等腰三角形底角的度数． 由多边形的外角和是，得到等腰三角形的底角，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由题意可得中间的五边形为正五边形， ∴等腰三角形的底角， ． 故答案为：36． 15. 已知，满足，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，同时除以，得到，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解：，则， ，即， ， ，即 ， 故答案为：． 16. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，应用是解题的关键．过点A作轴于F，易得矩形的面积等于平行四边形的面积等于三角形面积的2倍等于10，再利用等于矩形的面积即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：10． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，乘方等内容，先计算乘法、算术平方根，乘方，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：原式． 18. 如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据平行线的性质得到， 运用角角边可判定，由此即可求解． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式； 20. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，；点在点北偏东方向，点在点正东方向，；点在点正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据：，，，） （1）求的长度；（结果精确到个位） （2）骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：；．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【答案】（1）的长为； （2）选择更快． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直角三角形的性质，矩形的性质和判定，线段的和差关系等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，，过作，过作，由题意和辅助线判定四边形、四边形都是矩形，利用矩形的性质、直角三角形的边角间关系、线段的和差关系先求出，再利用直角三角形的边角间关系得结论； （）先计算的长，再计算两条线路的长短，最后比较得结论． 【小问1详解】 解：过作，，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，，，， ∵点在点北偏西方向，点在点北偏东方向， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 线路的路程长：； 线路的路程长：； ∵， ∴骑手选择送餐路线才能更快地将外卖送到小明家． 21. 尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． （1）连接，根据作图痕迹，请说明平分． （2）如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：由作图可知，， ， ， ， ， 平分； （2） 证明：图形如图2所示： ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某电视台一档综艺节目中，要求嘉宾参加知识竞答，竞答题共10道．每一题有三个选项，且只有一个选项正确，规定每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则另外再奖励2分．某位嘉宾已经答对了8道题，剩下2道题他都不确定哪个选项． （1）若这位嘉宾随机选择一个选项，求他剩下的2道题一对一错的概率； （2）这位嘉宾对剩下2题可以都不答，或只随机答1题，或随机答2题，请你从统计与概率的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题才能总得分更高？ 【答案】（1） （2）这位嘉宾采用随机答2题的解答方式才能总得分更高 【解析】 【分析】（1）根据题意可利用“对，错，错”来表示选择某选项的正误．由此可列出表格，找出符合题意的情况数，再根据概率公式计算即可； （2）根据题意可知有3种情况：①2题都不答，此时这两题得分为0；②只随机答1题，根据概率计算出得分概率和不得分概率，即得出其预期的得分；③随机答2题，可分类讨论：全答对得6分、一对一错得1分，全答错得-2分，分别计算出其概率，再计算出其预期得分即可．最后比较3种情况预期得分的大小即可． 【小问1详解】 因为每小题有三个选项，且只有一个选项就正确的， 所以有两个选项是错误的，不妨用“对，错，错”来表示． 因此可列表如下： 对 错 错 对 （对，对） （错，对） （错，对） 错 （对，错） （错，错） （错，错） 错 （对，错） （错，错） （错，错） 共有9种等可能的结果，其中一对一错的有4种结果 ∴P（两小题一对一错）； 【小问2详解】 有3种可能的解答方式，分别为①2题都不答；②只随机答1题；③随机答2题． ①当2题都不答时，这两题得分为0分； ②当只随机答1题时，∵P（对），P（错） ∴预期得分为：； ③当随机答2题时，有2题都对，1对1错，2题都错三种可能， 所得的分数分别为6分，1分，-2分，相应的概率分别为： 得分值 6分 1分 -2分 概率 P（答对2题） P（1对1错） P（2题都错） ∴预期得分为：（分） ∴这位嘉宾采用随机答2题的解答方式才能总得分更高． 【点睛】本题考查列表或树状图法求概率，加权平均数．正确的列出表格或画出树状图，掌握求概率的公式是解答本题的关键． 23. 综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． （1）补全小明操作过程中①所缺的内容__________； （2）小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； （3）小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 【答案】（1） （2）图5中还有黄金矩形， 证明：， ， ， 矩形是黄金矩形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设，则，利用题中给出的信息，分别求出，然后分别验证选项是否成立即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在黄金矩形中，设，则， ， ， ， ， ， ． 24. 已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）当时，求满足的整数的值． （3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， 抛物线与轴必有交点； （2）和； （3） 【解析】 【分析】（）求出的值即可求证； （2）当时，，，那么成立时，可通过画图方法，求得值； （3）由题意可知，，，那么成立时，可整理为，不妨设 ，那么其对称轴为， 仅存在一个整数，使得成立，那么时，且时，，从而求得a的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， 即， 设，当或时，； 画函数如图所示： 由图象可知，当，即，满足条件的整数的值为和； 【小问3详解】 解：点在抛物线（为常数且）上，点在直线上． ，， 不妨设， ， 其对称轴为，如图所示： ， ， 仅存在一个整数，使得成立， 时，；时，， ∴a的取值范围为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25. 如图1，点是以为直径的上的动点，的平分线交于点，弦于点，连接交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）当点平分时（如图2），求的值． （3）若，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的性质是解答的关键． （1）先根据角平分线定义和圆周角定义证明，再根据垂直定义得到，进而可得结论； （2）连接，，，，在中，根据余弦定义求出，则，在中，根据三线合一的性质可求出，根据等边对等角以及三角形外角的性质可求出，结合由（1）中，则求出，根据圆周角定理求出，则，则可判断E、O、C在同一直线上，即点O在上，故为的直径，则可证，证明得到，结合已知可求出，证明是等边三角形，得出，然后代入计算即可求解； （3）如图1，连接、，设与的交点为M，利用圆周角定理和平行线的判定证明，分别证明和，求得，，设的半径为r，则，，证明求得，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，，， ∵点平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴E、O、C在同一直线上，即点O在上， ∴为的直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵点平分， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即的值为； 【小问3详解】 解：如图1，连接、，设与的交点为M， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去），且满足所列方程， ∴直径的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年福建省福州市台江区中考数学适应性试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 2. 2025年2月，中国初创公司在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（） A. B. C. D. 4. 用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ） A. 的木条 B. 的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 7. 某校为落实五项管理工作的有关要求，随机抽查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，制作如下统计图，则所抽查的学生每天睡眠时间的众数、中位数分别是（ ） A. 7，8 B. 7，10 C. 8，8 D. 8，8.5 8. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有一块不规则的四边形木板，，，．小伟先沿过点A与垂直的线裁剪，与的交点记为点E，再沿过点E与垂直的线裁剪，与交于点F，若裁剪下的与恰好可以拼成一个矩形，则木板的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 10. 已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，数轴上点表示的数可能是__________．（写出一个满足条件的无理数即可）． 12. 不等式的解集为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为______． 14. 如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是__________． 15. 已知，满足，则的值为__________． 16. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，；点在点北偏东方向，点在点正东方向，；点在点正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据：，，，） （1）求的长度；（结果精确到个位） （2）骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：；．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 21. 尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． （1）连接，根据作图痕迹，请说明平分． （2）如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 22. 某电视台一档综艺节目中，要求嘉宾参加知识竞答，竞答题共10道．每一题有三个选项，且只有一个选项正确，规定每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则另外再奖励2分．某位嘉宾已经答对了8道题，剩下2道题他都不确定哪个选项． （1）若这位嘉宾随机选择一个选项，求他剩下的2道题一对一错的概率； （2）这位嘉宾对剩下2题可以都不答，或只随机答1题，或随机答2题，请你从统计与概率的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题才能总得分更高？ 23. 综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． （1）补全小明操作过程中①所缺的内容__________； （2）小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； （3）小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 24. 已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）当时，求满足的整数的值． （3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 25. 如图1，点是以为直径的上的动点，的平分线交于点，弦于点，连接交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）当点平分时（如图2），求的值． （3）若，求直径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $