1.1三角形中的线段和角（2）课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形中线、角平分线、高的定义、性质及应用，通过“橡皮筋一端固定顶点另一端在对边移动”的动态问题导入，引导学生观察特殊位置，衔接三角形基本概念，以定义、符号语言、图形示例为学习支架。 其亮点在于以动态问题培养几何直观（数学眼光），通过折纸实验与推理证明（如中线分面积相等）发展推理意识（数学思维），规范符号语言与三线共点性质总结强化模型意识（数学语言）。助力学生直观感知与逻辑推理结合，为教师提供结构化教学资源与分层练习。

1.1 三角形中的线段和角（2） ——三角形的中线、角平分线、高 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动.在这个过程中，橡皮筋（线段）的位置不断变化，你认为其中有哪些位置是特殊的？ 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动.在这个过程中，橡皮筋（线段）的位置不断变化，你认为其中有哪些位置是特殊的？ 当点D是BC的中点时， ǁ D ● D ● // // 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 注意：中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 符号语言： 如图，∵点D在BC上，BD=CD， ∴线段AD是△ABC的中线 （点D是边BC的中点） ǁ D ● // // ∵线段AD是△ABC的中线 ∴BD=CD 反之亦成立！ （点D是边BC的中点） 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动.在这个过程中，橡皮筋（线段）的位置不断变化，你认为其中有哪些位置是特殊的？ 当AE平分∠BAC时， ǁ E ● E ● 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 注意：角的平分线是一条射线， 而三角形的角平分线是一条线段. 符号语言： 如图，∵点E在BC上，∠BAE=∠CAE， ∴线段AE是△ABC的角平分线 （AE平分∠BAC） ǁ E ● ∵线段AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠CAE 反之亦成立！ （AE平分∠BAC） 如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动.在这个过程中，橡皮筋（线段）的位置不断变化，你认为其中有哪些位置是特殊的？ 当AH⊥BC于H时， ǁ H ● 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. H ● 注意：三角形的高是一条垂线段，一个端点是顶点，另一个端点是垂足. 符号语言： 如图，∵AH⊥BC于H， ∴线段AH是△ABC边BC上的高 ǁ H ● ∵线段AH是△ABC边BC上的高， ∴AH⊥BC于H 反之亦成立！ 如图，过点A分别画△ABC的中线，角平分线，高. 尝试 D ● // // ∴线段AD是△ABC的中线 ǁ E ● ∴线段AE是△ABC的角平分线 H ● ∴线段AH是△ABC边BC上的高 1.如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD=∠CAD，E是AC的中点，BE，AD相交于点F.指出图中三角形的角平分线和中线. 解：∵∠BAD=∠CAD AF是△ABE的角平分线 ∴BE是△ABC的中线 DE是△ADC的中线 ∴AD是△ABC的角平分线 ∵E是AC的中点 练习 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E.指出图中DE，AC分别是哪些三角形的高. 解：∵DE⊥AB， ∴DE是△ABD、△BDE、△ADE的高 ∵∠C=90°， ∴AC是△ABC、△ABD、△ACD的高 3.如图，在△ABC中，边AB上的高线画法正确的是( ) B 4.如图，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B. (1)△ABC的边BC上的高为_____，边AB上的高为_____； AE CD (2)若AB＝5，BC＝2，CD＝，则AE＝______. 解：∵ S△ABC＝BC·AE＝AB·CD， ∴ ×2×AE＝×5×， ∴ AE＝ 例1. 如图，AD是△ABC的中线. 求证：△ABD和△ADC的面积相等. H 证明：如图，过点A作AH⊥BC于H. AH是△ADC的高，也是△ABD的高. ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD 又∵S△ABD = BD·AH，S△ADC = DC·AH， ∴S△ABD= S△ADC 即三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 变式.如图，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线. (1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长； 解：∵ AD是△ABC的中线， ∴ BD＝CD ∴ C△ABD - C△ADC = (AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC ∵△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8， ∴ 8－AC＝3， ∴ AC＝5 变式.如图，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线. (2)若S△ABC＝8，求S△ABE. 解：∵ AD是△ABC的中线，S△ABC＝8， ∴ S△ABD＝S△ABC＝4 ∵ BE是△ABD的中线， ∴ S△ABE＝S△ABD＝2 3、如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高.填空： (1)BD = = ; (2)∠BAE = = ; (3)∠AFB = = °. (4) S△ABD= . 练习 CD BC ∠CAE ∠BAC ∠AFC 90 S△ACD = S△ABC 取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有说明发现？ 三条角平分线相交于一点O 三角形的中线、高也有这样的性质吗？ 点O在三角形的内部 O 在下列三幅图中，分别画出△ABC的三条中线AD，BE，CF. 三条中线相交于一点G 点G在三角形的内部 在下列三幅图中，分别画出△ABC的三条高AD，BE，CF. 三条高所在直线相交于一点H 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的交点 三条高交于三角形内一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，三条高所在的直线交于三角形外一点 三角形的三条角平分线，三条中线，三条高所在直线相交于一点. 例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接EF，EF交AD于点O. 求证：DO是△DEF的角平分线. 证明：∵ AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2 ∵ DE∥AB，DF∥AC， ∴∠3＝∠1，∠4＝∠2 ∴∠3＝∠4 ∴ DO是△DEF的角平分线 练习 1. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠1=25°，∠2=50°. 求证：ED//BC. 证明：∵ BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠1 ∵∠1=25°，∠2=50°， ∴∠2＝∠ABC， ∴ED//BC 2.如图，AD是△ABC的角平分线，点E，F分别在AB，AC上，且DE//AC，DF//AB.求证：∠1=∠2. 证明：∵ AD是△ABC的角平分线， ∴∠3＝∠4 ∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴∠4＝∠1，∠3＝∠2 ∴ ∠1＝∠2 3 4 3.如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC=∠B.求证：∠ADE=∠DAE. 证明：∵ AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2 ∵∠EAC=∠B， ∴∠1+∠B＝∠2+∠EAC ∴∠ADE=∠DAE 1 2 小结 1.三角形的中线、角平分线、高的定义 3.三角形的三条角平分线，三条中线，三条高所在直线相交于一点. 2.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. $$