暑期预习讲义（第1讲）——三角形 - 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

暑期预习讲义（第1讲）——三角形 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识三角形及三边关系（基础必考） 1 【题型 1】三角形的识别与三边关系判断 2 【题型 2】已知两边求第三边取值范围、整数解问题 2 【知识点二】三角形的三条重要线段（重点难点） 3 【题型 3】识别三角形的高、中线、角平分线 4 【题型 4】中线面积等分、边长计算专项 5 【题型 5】利用高、角平分线求角度、边长 6 【知识点三】三角形内角和与角度性质（核心必考） 6 【题型 6】三角形内角和基础计算 7 【题型 7】直角三角形角度计算、互余应用 8 【知识点四】三角形外角性质（拔高必考） 9 【题型 8】三角形外角基础计算 9 【题型 9】内外角综合角度推理 10 【知识点五】三角形分类与综合辨析（易错专攻） 11 【题型 10】三角形分类、易错概念辨析 12 【知识点六】三角形线段与角度综合拔高（期末必考） 12 【题型 11】三角形线段与角度综合大题 13 二.同步自测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.教材知识梳理 学习方法：先读概念学知识→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】认识三角形及三边关系（基础必考） 1. 三角形定义：由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形。 2. 三角形三要素：三条边、三个顶点、三个内角。 3. 三角形三边关系（重要考点） ① 三角形任意两边之和大于第三边；② 三角形任意两边之差小于第三边。 【要点技巧】判断三条线段能否组成三角形，只需要验证：最短两边之和最长边，满足即可构成三角形，不用全部验证。 4. 第三边取值范围：两边之差 第三边两边之和 三边关系口诀：短小之和大于长，差值夹在中间藏 【题型 1】三角形的识别与三边关系判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）（口答）下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【变式1】（25-26七年级下·上海宝山·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是_____．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【题型 2】已知两边求第三边取值范围、整数解问题 【例题2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． （2）若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【变式1】（2026·广东梅州·二模）已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南三门峡·三模）已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【变式3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）已知的三边分别为．若满足． （1）___________，___________； （2）若为整数，求的周长． 【知识点二】三角形的三条重要线段（重点难点） 2.1 三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 2. 核心特征： ① 高是线段，不是直线、射线；② 高与对应底边互相垂直，夹角为90°；③ 锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部。 高口诀：锐角全在内，直角边上立，钝角两头外 2.2 三角形的中线 1. 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 2. 核心性质（必考）： ① 一条中线平分对边；② 一条中线平分三角形面积，分成两个面积相等的小三角形。 3. 三角形三条中线交于一点，交点叫做三角形的重心。 中线口诀：中线分边等，面积对半分 2.3 三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2. 核心特征：平分对应内角，分成两个角度相等的角。 3. 三条角平分线交于三角形内部一点。 角平分线口诀：平分内角度，两角完全同 【题型 3】识别三角形的高、中线、角平分线 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知（如图），按下列要求画图： （1）的中线； （2）的角平分线； （3）的高线； 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的中线、角平分线和高线．请指出图中相等的角及相等的线段． 【题型 4】中线面积等分、边长计算专项 【例题4】（24-25八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海浦东新·期末）如图，的中线、相交于点，已知，，则点到直线的距离为________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【题型 5】利用高、角平分线求角度、边长 【例题5】（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． （1）____________； （2）____________； （3）若，，则______，则______． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，求的度数． （2）若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【知识点三】三角形内角和与角度性质（核心必考） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2. 三角形按角分类：① 锐角三角形：三个角都是锐角；② 直角三角形：有一个角是直角（90°），两锐角互余；③ 钝角三角形：有一个角是钝角。 3. 直角三角形专属结论：直角三角形两锐角互余（相加等于90°）。 【题型 6】三角形内角和基础计算 【例题6】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【题型 7】直角三角形角度计算、互余应用 【例题7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． （2）和有什么关系？和呢？ 【变式1】（2026·山西长治·三模）日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【知识点四】三角形外角性质（拔高必考） 1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2. 外角两大核心性质：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。3. 三角形外角和：三角形外角和为360°。 外角秒杀口诀：外角等于两内和，外角大于任一内 【题型 8】三角形外角基础计算 【例题8】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E． （1）求的度数． （2）请猜想与之间的数量关系，请说明理由． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的度数为__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【题型 9】内外角综合角度推理 【例题9】（25-26七年级下·江苏南京·期末）数学课堂上，张老师提出了这样一个问题：已知：如图，、、是的三个外角．求证：． 小明和小丽提供了两种不同的思路． 小明的思路如下： ∵_______________________， ∴． 同理：，， ∵在中，______________________， ∴． 小丽的思路是：过点A作射线，将3个外角“集中”到同一顶点处，从而完成证明． 请你先将小明的思路补全，再按小丽的思路完成推理． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）光从空气射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图，矩形为盛满水的水槽，为入射光线，为折射光线．若，，，，三点在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）在五角星形中，的度数_______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【知识点五】三角形分类与综合辨析（易错专攻） 1. 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 2. 按角分类：锐角、直角、钝角三角形 3. 高频易错点： ① 等边三角形一定是等腰三角形，等腰不一定是等边；② 三角形最多一个直角或一个钝角； ③ 高不一定在三角形内部。 【题型 10】三角形分类、易错概念辨析 【例题10】（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．  （1）按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． （2）按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【变式1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【变式2】（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是，最大的角是_____度．这是一个_____三角形． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【知识点六】三角形线段与角度综合拔高（期末必考） 综合考点：高+角平分线+内外角定理混合求角度、中线周长与面积综合、分类讨论边长问题 【题型 11】三角形线段与角度综合大题 【例题11】（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知的三边、、满足，，且． （1）求的取值范围； （2）若的周长为26，请判断的形状． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，中，，E为的中点，与相交于P，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为，记针尖落在区域内的概率为，则_______． 【变式3】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： （1）如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； （2）如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； （3）如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 3．（24-25·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10．（2026·广西南宁·三模）若一个三角形三边的长分别为，，，则的值可以为________． 11．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    14．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 15．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________． 16．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是_____． 17．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 18．（22-23八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． （1）作交的延长线于点 ； （2）将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， （1）求的度数； （2）若平分 ，求 的度数． 22．（本小题满分10分）（22-23七年级下·重庆·阶段检测）按要求解答以下问题 （1）如图，在中，，，为的平分线，于点E，则度数为_________； （2）设a，b，c是的三边．化简_________． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是 ； （2）若的周长为30，则的周长为 ； （3）在中，若边上的高为6，求边上的高． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段检测）探究： 如图①，在四边形中，试探究与之间的关系，并说明理由； 应用： 如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，若，则_______度； 拓展： 如图③，平分平分，若，则 度．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——三角形 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识三角形及三边关系（基础必考） 2 【题型 1】三角形的识别与三边关系判断 2 【题型 2】已知两边求第三边取值范围、整数解问题 4 【知识点二】三角形的三条重要线段（重点难点） 5 【题型 3】识别三角形的高、中线、角平分线 6 【题型 4】中线面积等分、边长计算专项 9 【题型 5】利用高、角平分线求角度、边长 12 【知识点三】三角形内角和与角度性质（核心必考） 15 【题型 6】三角形内角和基础计算 15 【题型 7】直角三角形角度计算、互余应用 18 【知识点四】三角形外角性质（拔高必考） 21 【题型 8】三角形外角基础计算 21 【题型 9】内外角综合角度推理 25 【知识点五】三角形分类与综合辨析（易错专攻） 28 【题型 10】三角形分类、易错概念辨析 28 【知识点六】三角形线段与角度综合拔高（期末必考） 30 【题型 11】三角形线段与角度综合大题 30 二.同步自测 36 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 36 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.教材知识梳理 学习方法：先读概念学知识→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】认识三角形及三边关系（基础必考） 1. 三角形定义：由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形。 2. 三角形三要素：三条边、三个顶点、三个内角。 3. 三角形三边关系（重要考点） ① 三角形任意两边之和大于第三边；② 三角形任意两边之差小于第三边。 【要点技巧】判断三条线段能否组成三角形，只需要验证：最短两边之和最长边，满足即可构成三角形，不用全部验证。 4. 第三边取值范围：两边之差 第三边两边之和 三边关系口诀：短小之和大于长，差值夹在中间藏 【题型 1】三角形的识别与三边关系判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）（口答）下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【答案】（1）能；（2）不能；（3）不能；（4）能 解：（1）解：∵， ∴能组成三角形． （2）解：∵， ∴不能组成三角形． （3）解：∵， ∴不能组成三角形． （4）解：∵， ∴能组成三角形． 【变式1】（25-26七年级下·上海宝山·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用较小两边之和大于第三边即可判断能否构成三角形． 解：A、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项A不符合题意； B、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项B不符合题意； C、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项C不符合题意； D、因为，不满足三边关系，不能构成三角形，所以选项D符合题意． 【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是_____．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 【答案】② 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可得出答案． 解：∵，∴不能组成三角形， ∵，∴2，3，4能组成三角形， ∵，∴1，4，2不能组成三角形， ∵，∴6，2，3不能组成三角形， 故答案为：②． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分第三边的长为和第三边的长为两种情况，结合三角形中，任意两边之和大于第三边进行讨论求解即可． 解：当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故此种情形不符合题意； 当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故此种情形符合题意； 综上所述，第三边的长为． 【题型 2】已知两边求第三边取值范围、整数解问题 【例题2】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． （2）若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】（1）②；（2）构成三角形的周长为13或14 解：（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 【变式1】（2026·广东梅州·二模）已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设第三边为x，根据三角形三边关系：，即， 故只有符合． 【变式2】（2026·河南三门峡·三模）已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【答案】/ 解：根据三角形三边关系，可得，即． 【变式3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）已知的三边分别为．若满足． （1）___________，___________； （2）若为整数，求的周长． 【答案】（1）4；1；（2） 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 【知识点二】三角形的三条重要线段（重点难点） 2.1 三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 2. 核心特征： ① 高是线段，不是直线、射线；② 高与对应底边互相垂直，夹角为90°；③ 锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在外部。 高口诀：锐角全在内，直角边上立，钝角两头外 2.2 三角形的中线 1. 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 2. 核心性质（必考）： ① 一条中线平分对边；② 一条中线平分三角形面积，分成两个面积相等的小三角形。 3. 三角形三条中线交于一点，交点叫做三角形的重心。 中线口诀：中线分边等，面积对半分 2.3 三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2. 核心特征：平分对应内角，分成两个角度相等的角。 3. 三条角平分线交于三角形内部一点。 角平分线口诀：平分内角度，两角完全同 【题型 3】识别三角形的高、中线、角平分线 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知（如图），按下列要求画图： （1）的中线； （2）的角平分线； （3）的高线； 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据三角形中线的定义，连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线．取的中点D，然后连接即可； （2）根据角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线．以D为顶点作角平分线，使平分交于M点； （3）根据三角形高的画法，过C点作于N点． 解：（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，为所作； 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的中线、角平分线和高线．请指出图中相等的角及相等的线段． 【答案】相等的角有，，相等的线段有． 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形的高，中线和角平分线的定义即可得到答案． 解：∵是的中线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴相等的角有，，相等的线段有． 【题型 4】中线面积等分、边长计算专项 【例题4】（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 【答案】4，6，8，10 【分析】依据的周长为22，的周长比的周长长2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到的长． 解：∵M为边的中点， ∴， ∵的周长为22， ∴，即, ∵的周长比的周长长2， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 又∵△ABC的三边长均为整数，，即：， ∴边长为偶数， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·上海浦东新·期末）如图，的中线、相交于点，已知，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，过点作交于点，得到，结合三角形的面积计算即可． 解：连接并延长交于点，过点作交于点， 由题意知，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，即点到直线的距离为． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【题型 5】利用高、角平分线求角度、边长 【例题5】（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请填空． （1）____________； （2）____________； （3）若，，则______，则______． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查三角形中线定义、角平分线定义及三角形面积公式，熟记三角形相关定义及面积公式是解决问题的关键． （1）由三角形的中线的定义直接求解即可得到答案； （2）由三角形的角平分线的定义直接求解即可得到答案； （3）由三角形中线的定义得到，再结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． 解：（1）解：在中，是中线， ， 故答案为：，； （2）解：在中，是角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：在中，是中线，， ， 在中，是高，，， ，， 故答案为：，． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况进行讨论，画出图形，利用角平分线的定义求出，然后利用角的和差求解． 解：①如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； ②如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，求的度数． （2）若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 【知识点三】三角形内角和与角度性质（核心必考） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2. 三角形按角分类：① 锐角三角形：三个角都是锐角；② 直角三角形：有一个角是直角（90°），两锐角互余；③ 钝角三角形：有一个角是钝角。 3. 直角三角形专属结论：直角三角形两锐角互余（相加等于90°）。 【题型 6】三角形内角和基础计算 【例题6】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 【答案】/80度 【分析】先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，然后由三角形内角和定理可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【分析】本题考查平行线的性质与判定、垂线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，进而得到，从而证明； （2）根据平行线的性质求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 解：（1）略； （2）解：， ， ， 平分， ， 由（1）知，， ， ． 【题型 7】直角三角形角度计算、互余应用 【例题7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． （2）和有什么关系？和呢？ 【答案】（1）解：图中有三个直角三角形，分别是、、； 的直角边是、，斜边是； 的直角边是、，斜边是； 的直角边是、，斜边是． （2）与互为余角，． 【分析】（1）依据，即可得到直角三角形及其直角边和斜边． （2）依据余角的定义以及同角的余角相等，即可得出结论． 解：（1）略 （2）∵， ∴， 与互为余角， ，， ． 【变式1】（2026·山西长治·三模）日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 【变式2】（19-20七年级下·山东淄博·期末）如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】见分析 解：根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【点拨】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 【知识点四】三角形外角性质（拔高必考） 1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2. 外角两大核心性质：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。3. 三角形外角和：三角形外角和为360°。 外角秒杀口诀：外角等于两内和，外角大于任一内 【题型 8】三角形外角基础计算 【例题8】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E． （1）求的度数． （2）请猜想与之间的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由如下： ∵平分平分， ∴， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∴ 【分析】（1）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可求解； （2）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可得出结论． 解：（1）（1）解：∵平分平分， ∴， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由略． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在图中取点、、、、、，由三角尺可知，，，由平行线的性质可得，结合三角形外角的性质可得，最后计算出即可． 解：如图， 由三角尺可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的度数为__________． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质得出，，，结合平角的定义即可解答； 解：如图，设交于点，连接， 则，，， ∴， 又，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】（1）证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点E，如图， ，， ． （3） ，证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【题型 9】内外角综合角度推理 【例题9】（25-26七年级下·江苏南京·期末）数学课堂上，张老师提出了这样一个问题：已知：如图，、、是的三个外角．求证：． 小明和小丽提供了两种不同的思路． 小明的思路如下： ∵_______________________， ∴． 同理：，， ∵在中，______________________， ∴． 小丽的思路是：过点A作射线，将3个外角“集中”到同一顶点处，从而完成证明． 请你先将小明的思路补全，再按小丽的思路完成推理． 【答案】是的外角，，小丽的思路如下： 过点A作射线， ∴， ∴． 【分析】小明的思路：利用三角形外角的性质得到，，，然后结合三角形内角和定理求解； 小丽的思路：过点A作射线，利用平行线的性质得到，，然后结合周角等于求解． 解：略 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）光从空气射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图，矩形为盛满水的水槽，为入射光线，为折射光线．若，，，，三点在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，结合题意得出，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 解： ∴ ∵， ∴ ∴ 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）在五角星形中，的度数_______． 【答案】/180度 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：设与交于点，与交于点，如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形的外角性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 解：（1）解：平分，， ． ， ， ； （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 【知识点五】三角形分类与综合辨析（易错专攻） 1. 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 2. 按角分类：锐角、直角、钝角三角形 3. 高频易错点： ① 等边三角形一定是等腰三角形，等腰不一定是等边；② 三角形最多一个直角或一个钝角； ③ 高不一定在三角形内部。 【题型 10】三角形分类、易错概念辨析 【例题10】（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．  （1）按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． （2）按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】（1），，；（2），， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 解：（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 【变式1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【变式2】（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是，最大的角是_____度．这是一个_____三角形． 【答案】 110 钝角 【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可． 解：（度）， 则这个三角形为钝角三角形． 故答案为：110；钝角． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【知识点六】三角形线段与角度综合拔高（期末必考） 综合考点：高+角平分线+内外角定理混合求角度、中线周长与面积综合、分类讨论边长问题 【题型 11】三角形线段与角度综合大题 【例题11】（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知的三边、、满足，，且． （1）求的取值范围； （2）若的周长为26，请判断的形状． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形 【分析】（1）先通过已知等式将，用含的代数式表示，再结合三角形三边关系和的条件求出的取值范围； （2）根据周长求出的值，进而得到三边长，即可判断三角形形状． 解：（1）解：∵， ∴变形整理得 两式相加得，即 两式相减得，即 ∵， ∴代入得， 解得 ∵， ∴代入得， 解得 ∵， ∴代入得， 解得 ， ， 解得 ， ∴的取值范围是； （2）的周长为 将代入得 解得，满足 将代入得， ，，有两边相等 是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐项分析判断即可． 解：∵， ∴是的中线， ∴，不一定是的中线； 故A选项错误，D选项正确． ∵，， ∴点C到的距离为5， ∴． 故B正确； ∵，， ∴是的角平分线， 是的中线， ∵，是的中线， ∴是的角平分线；则互相重合， ∴互相重合， 即互相重合． 故C正确． 综上所述，只有A错误． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，中，，E为的中点，与相交于P，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为，记针尖落在区域内的概率为，则_______． 【答案】 【分析】连接，设，再分别表示出各区域的面积，进而得到，然后计算出即可求解． 解：连接，设， ， ，， E为的中点， ， ， ， ， ， E为的中点， ， ，则， ，， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： （1）如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； （2）如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； （3）如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】（1）15；（2）． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． （3）5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 解：（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 解：∵在中，， ∴是直角三角形． 2．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”，只需验证每组中较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否组成三角形． 解：A、，故能组成三角形； B、，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形； C、，故能组成三角形； D、，故能组成三角形． 3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结合三角形的三边关系计算周长即可． 解：∵，且，， ∴， 解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 7．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 解：∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角板的性质求出，再利用三角形的内角和为求出，进行求解即可． 解：如图： 和是两个直角三角板， ， ， ． 9．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，中，平分，于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后在Rt中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后根据计算即可 解：， 平分 ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10．（2026·广西南宁·三模）若一个三角形三边的长分别为，，，则的值可以为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再选取范围内任意一个符合要求的值即可． 解：根据三角形三边关系得，． ∴． ∴的值可以为5． 11．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【答案】角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 14．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 【答案】/76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和计算即可． 解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则________． 【答案】 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 16．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是_____． 【答案】 【分析】利用三角形角的和差以及三角形外角和定理求解． 解：∵， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 18．（22-23八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上． （1）作交的延长线于点 ； （2）将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形． 【答案】（1）如图，高即为所求 （2）如图，三角形即为所求： 解：（1）略 （2）略 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 【答案】角平分线的定义；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义． 根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解． 解：证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， （1）求的度数； （2）若平分 ，求 的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 解：（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 22．（本小题满分10分）（22-23七年级下·重庆·阶段检测）按要求解答以下问题 （1）如图，在中，，，为的平分线，于点E，则度数为_________； （2）设a，b，c是的三边．化简_________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）因为三角形内角和为，已知和的度数，所以先计算的度数．因为是的角平分线，所以可求出的度数．因为，，直角三角形两锐角互余，所以可求出的度数．因为，所以代入数值即可得到结果． （2）因为三角形三边满足“两边之和大于第三边”，所以判断每个绝对值内式子的正负性．如果绝对值内的式子为正，那么去掉绝对值后等于它本身；如果式子为负，去掉绝对值后等于它的相反数，据此去掉所有绝对值符号．合并同类项，化简得到最终结果． 解：（1）解：在中： ， 是的平分线， ， ，是直角三角形， ， ． （2）根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边，可得： ，即； ，即，． 根据绝对值的性质去绝对值化简： ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是 ； （2）若的周长为30，则的周长为 ； （3）在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】（1）；（2）28；（3）边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段检测）探究： 如图①，在四边形中，试探究与之间的关系，并说明理由； 应用： 如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，若，则_______度； 拓展： 如图③，平分平分，若，则 度．    【答案】探究：，理由见分析；应用：；拓展：125 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义： 探究：连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案； 应用：根据探究的结论得到，据此代入数值计算即可； 拓展：根据探究的结论得到，再由角平分线的定义得到，据此根据探究的结论可得答案. 解：探究：，理由如下： 如图，连接并延长至点 F， 由三角形外角的性质可得，， 又∵， ∴； 应用：由探究的结论可知， ∵，， ∴， 故答案为：； 拓展：由探究可知， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $