广西南宁市广西大学附属中学2025-2026学年高三上学期开学测试数学试题

2025年8月12日数学试题 一、单选恩 1.已知集合A={d-8<x3<8,B=-3,-1,0,2,3),则4nB=（) A.-1,0) B.{2,3) C.-3-l0) D.（-1,0,2) 2若点+i,则2=（ A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.已知向量a=(0,2),6=(2,),若6⊥(6-20，则x=（ A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知cos(a+)=m,tan a tan B=3,则cos(a-)=() A.-3m B.-2m C.2m D.3m 5.已知圆台的下底面积是上底面积的4倍，且下底面半径为2，母线长为5，则圆台的体积为( A.2π C.5/5n D.10元 3 6.已知函数f(x)= x2-4ax-a,x<0 在R上单调递减，则a的取值范围是() er-ln(x+3),x≥0 A.(-o,lh3-jB.[0,lh3-1] c.1-n3,0] D.[0,+o) 7设画数间)=or+骨引 在区间(0,2π)恰有2个零点、2个极值点，则0的取值范围是(） 117 117 2 8.已知a=e,b=lh2,c= 2n3 则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 二、多选题 9.某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其体温误差，且 X~N0.3,0.2),则下列结论正确的是（) (附：P(u-o≤X<μ+c)=68.27%，P(μ-2o≤X<μ+2o)=95.45%) A.E(X)=0.3 B.PX203)=0.5 C.P(X20.5)=0.3173 D.D(X)=0.04 试卷第1页，共4页 10.设函数∫()=xx-2°.则(） A.x=2是()的极小值点 B.∫(x)的对称中心是(0,0) c.当x>2时.(x)f(x) D当0<时，f-l水号 11.在平面直角坐标系O中，己知曲线x2+y+y2=1,点P(xy%)为曲线C上一点，则( A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C关于原点对称 C.点P的横坐标xo的取值范围为 2523 3 D.直线y=x+1与曲线C有且仅有两个公共点 三、填空题 2,双曲线。-1(>0，b>0)的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足PR巴 ∠FPF=60°，·则双曲线的离心率为 13.若曲线y=e-a(a>0)在x=0处的切线也是曲线y=ln(x+b)b>0)的切线，则a+b= 14:某商场在促销上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个黄色小球代表 奖奖品券，2个蓝色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球，客户参加这个活动 他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为：李明参加一次抽 动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为 四、解答题 15.已知a=石a1+30,01=a,（④求a,的通项公式： +1+++<h(a+). ②令=2，工为6，的前项之积，求证：47实十4实十…+b实 试卷第2页，共4页 16.为研究高中生数学成绩进步与平时积极提何的关系，从某校的学生中随机抽此71000人，得到如下 列联表 是否积极提问组别 积极提问 不积极提间 合计 数学成绩进步 120 280 400 数学成绩不进步 80 520 600 合计 200 800 1000 (1)记该校平时不积极提问的嗟生其数学仪绅进步的概塑为卫求P的估计使。 (2)根据小概率值：=0.001的独立性检验，分析高中生平时是否积极提问与数学成领进步有关。 附：X2= n(ad-be)? (a+b)(c叶d0(afc)6+0 P (x2zk) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17,如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,AB=2DC,∠ABC=909, △PAD为等腰直角三角形，AD为斜边，其中AB=2,PD=BC=1,PB=PC. (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)线段PB上是否存在一点T,使得AT与平面PAD所成角的 正弦值为。，若存在，求出肠的值：若不存在，请说明理由。 6 试卷第3页，共4页 18.已知椭圆C7×3 +京=1(a>b>0)过点A(0,1),其中-个焦点在直线x+y-反=0上，直线 :y=:+m与椭四C相交于不同的两点M,N (1)求椭四C的方程： (2)若k=一1，O为坐标原点，求△ON的面积最大时实数m的值： 19.知函数f)=e-ax一a3 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1f1处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 试卷第4贡，共4页 2025年8月12日数学试题参考答案 1.A2.B 3.D【详解】因为31(6-2a,所以(6-2=0， 所以B2-2a6=0即4+xX2-4x=0,故x=2. 4.B【详解】因为cos(a+)=m,所以cosa cos B-si血asin B=m, 而(an a tan B=3,所以sin a sin B=3co3 a cos B, 故coscs-3 coc=m即cosa6osB=- %, 从而sinasi B=-2m,故cos(a-)=-2m. 2 5,B设圆台的上底面半径为，下底面半径为R,因为圆台的下底面积是上底面积的4倍，且R=2,所 以2xR2=42π2，则r=1.由勾股定理可知(N5=+(R-r）,故h=2,故圆台的体积为 吉×22+2+=1号散选：B 6.B【详解】因为f(x)在R上单调递减，且x≥0时，根据复合函数同增异减原则，f(x)=e-血(x+3) -4a20 单调递减，则需满足 2 ,解得0 sasIn3-1,即a的范围是[0，ln3-月. -a2e°-h3 c因为xe0,2.所以r+后e气信20+周 6 由函数/似小血(r+制在区间(a2网恰有2个授值点。2个零点 6之，解得 得2<2红w+s5 <@s名故选：C 12 Lxx-lhx1-血x, 8.A【详解】设f阅-，对其求导，可得了似=之一 令f倒=0，即=0，因为少0恤减立，所以1-h=0,解得x=, 当x∈(0，©)时，1-lnx>0,f(x>0,函数f()单调递增： 当x∈(e,o)时，1-nx<0,0,函数f(x)单调递减 已知a=-g=f问，b=hi=h2=g2-fa,c23_壁2=9. 2 9 9 9 答案第1页，共5页 因为2<e<9,且f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，所以f(2)f(⊙)，f(o)f(9). 又因为/@=竖-兰，f间=，且阅在6+o)上单调速减，4，所以9，甲p⑨. 综上可得f(⊙)>f(2)f(9),即a>b>c. 9.ABD【详解】因为X服从正态分布X~N0.3,0.2),所以E(X)=03,D(X)=0.22=0.04,所以AD正确 根据正态分布的性质可知P(X≥0.3)=P(X≤0.3)=0.5，所以B正确， 因为P(0.3-0.2≤X≤0.2+0.3)=P(0.1≤X≤0.5)=0.6827. 所以P0.3sX≤0.5)=0.6827=0,34135. 所以P(X20.5)=P(X≥0.2)-P(0.2≤X≤0.5)=0.5-0.34135=0.15865，所以C错误. 10.AD【详解】A选项，f(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2), 令f()>0得x>2或x<子，令f()<0得子<x<2, 所以了在（∞引，（久+）上单调递增，在行2上单调递减。 故x=2为f(x)的极小值点，A正确： B选项，f(-x)=-x(-x-2)}=x(x+2}≠-f(x),故f(x)不是奇函数， (0,0)不是函数的对称中心，B错误： C选项，当x>2时，x2>x,由A知，所以f(x)在(2，+)上单调递增， 所以f(x)>f(x),c错误： D选项，当0<x<1时，-1<2x-1<1, 由于在(-号)》上单调递增，在行上单调递减。 其中)=号-)=-9,0-1 所以9<fx-水号D错误故选：AC 1.BCD【详解】曲线x2+y+y2=1,点P(x,%)为曲线C上一点，所以x,2+x%+y,2=1 将点(-)代入曲线C的方程左端中，可得：x2-0八。+y。2=1-2x为 因为1-2x%=1不一定成立，所以曲线C不关于y轴对称，故选项A错误： 答案第2页，共5页 将点(-，-%)代入曲线C的方程中，可得：，x2+以%+y2=1 所以曲线C关于原点对称，故选项B正确： 由线+罗+户1，整理得+分=1-子 因为+八≥0，所以1-20，解得：255x625 ,故选项C正确： 3 3 「联立中1，消去y并整理得：3x2+3x=0,此时A>0,所以有两个公共点，故选项D正确， 125【详解】因为P听LR3,所以P5为通径的一半，故P- 在uPR中，因为∠PRR=若所以PF=2P网， 所以Pgp-p即艺=2a,可得e=-+号=. a 1.2【详解】(e-a=,(a(x+b= x+b' 因为曲线y=e-a(a>0)在x=0处的切线的斜率为e°=1， 故曲线y=e2-a(a>0)在x=0处的切线方程为y=x-0+e°-a=x+1-a, 设该直线与曲线y=血(x+b)仍>0)的切点坐标为(m,血(m+b), 则m+51,故m=1-b,故切点坐标为(-6,0)，该切点在直线y=x+1-a上，故0=1-b+1-4即a+h=2, 则1 14号吾【详解】①记第一次取到红宋为事件A,第二次取到肉球为事件， 则P④-品-克Pu高号-名所以Pe1A-公-喜 P(A)1 3 2 50 记李明怡好抽到1个一等奖奖品势为事件C,则PG=兰702 3×2×1 15.(1)由a+3a,a=4,左右同时除a,0可得上+3=】 1 ,所以1一1=3，a2=5’则a=3, a. 故侣}是以3为首项3为公滋的德装数列，则=343。-).所以a=品 (2)bn==n+ 元，令函数f(闭=hx-x+1,0<x<1,求导得f)=-1>0, 符案第3页，共5页 f(因在(0：)上单调递增，f)<f0=0,即血x<x-1,取x=” aeN,则n1中 n+1 于是<h中，由(1)知，za++切恤n 1 一<⊥<h"n(件inn, n+】 n 1.1 十*十 1<dn6n+)-nl=n(a+0. 16.(1)由列联表可知不积极提问的800人中有280人进步，所以P的估计值为2=0.35： 800 (2)零假设H0:数学成绩进步与平时是否积极提问无关。根据表中数据可得 X=10o025200e0Y-16e9≈41.667>10.828=Xa01 400X600×200×800 384 根据小概率值a=0.001的X2独立性检验，我们推断H,不成立，即认为数学成绩进步与平时是否积极提问 有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 17.【详解】(1)如图，设线段AD的中点为M,线段BC的中点为N,连接PM,MN,PN, D 依题意，PD=PA=1,则PM⊥AD,由PB=PC,得PN⊥BC, 而CD∥AB,AB⊥BC,MN是梯形ABCD的中位线，于是MNI∥AB,MN⊥BC, 而MN,PNc平面PMN,NOPN=N,则BC⊥平面PMN, 而PM∈平面PMW,于是BC⊥PM,又AD,BCC平面ABCD,且AD和BC一定相交， 因此PM⊥平面ABCD,而PMC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)依题意，AD=BD=√2，则AD2+BD2=4=AB2,即AD⊥BD, 由(1)知PM⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,则PM⊥BD,， 由AD,PMC平面PAD,PMOAD=M,得BD⊥平面PAD,过D作Dz⊥平面ABCD, 以D为原点，直线DA,DB,Dz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-,如图： 则aB00P号，.历-(9反马亦-（号 令7=丽=65，，-2,0ss1, 2 2 则-亦+所=a+乌-训， 答案第4页，共5页