精品解析： 云南省昆明十中白塔校区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

2021-2022学年云南省昆明十中白塔校区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共32分） 1. 如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，几何体的左视图是： 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图． 2. 从下图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的图案是轴对称图形的卡片的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.据此解答即可. 【详解】∵B、C、D是轴对称图形， ∴是轴对称图形的卡片的概率是：3÷4=. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键. 3. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4. 如图，是的直径，点D在的延长线上，是的切线，若，则（　　） A. 6 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．连接，由切线的性质得到，进一步证明，即可得到． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 一条直线上有n个点，共形成了45条线段，则n的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据线段的条数公式列方程即可求解，理解并熟记线段的条数公式是解题的关键． 【详解】解：∵一条直线上有个点，共形成了45条线段， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， 则的值为． 故选：D． 6. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随增大而增大 B. 函数图象经过点 C. 函数图象位于第一、三象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得，是一个反比例函数， ∵ ∴反比例函数经过二、四象限，当时，随增大而增大，故A选项正确；C选项错误； ∵， ∴反比例函数不经过点，故B选项错误； 在反比例函数中，当时，，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的基本性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键． 7. 小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求扎到阴影区域（不包括边界）的概率就是求正三角形面积与圆的面积的比． 【详解】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为P，圆的半径为R， 记圆的圆心为点O，过O作OD⊥BC与D，连接OA，OB，OC， ∵△ABC是正三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA， ∴∠BOC= ， ∵OB=OC， ∴ ， ∴ ∵OB=R， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠AOC， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握概率的概念是解决问题的关键． 8. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故①正确， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②错误， ∵， ∴，故③正确， ∵时，， ∴，故④错误， ∵，且对称轴为直线， ∴抛物线与横轴另一个交点坐标为， 通过图象可得，当时，，故⑤错误， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9. 昆明市某楼盘2016年房价为每平方米8000元，经过两年连续涨价后，2018年房价为每平方米10000元．设该楼盘这两年房价平均增长率为x，则可列方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．利用增长率问题列方程即可． 【详解】解：设该楼盘这两年房价平均增长率为x，根据题意得： ， 故答案为：． 10. 已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 ________象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上函数性质． 利用二次函数性质求出的取值范围，然后根据反比例函数的性质即可判定出图象所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得， ∴函数的图象位于第二、四象限， 故答案为：二、四． 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，C是的中点，连接，若的面积为4，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，三角形中线的性质，掌握这些是解题的关键． 根据三角形中线性质可得面积，再根据面积是，结合图象即可求解． 【详解】解： C是的中点，的面积为4， 的面积为8， 轴， ， ， ． 故答案为：16． 12. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 13. 把一个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的主视图是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，则这个扇形的圆心角为______°． 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意可知，扇形半径为4，弧长为，然后根据弧长公式可计算圆心角． 【详解】解：由题得，腰长＝母线长＝扇形半径＝4， 弧长， 设扇形圆心角为， 根据弧长公式：， 可得， 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，根据题意求出弧长是解题的关键． 14. 如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，则以下结论中正确的有________（填序号） ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，根据是等边三角形，得出，根据，得出，，求出，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得，判断②；根据是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；若 则 如图，构建的直角三角形，作，证明得出与题干互相矛盾的结论即可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴， 若 则 如图，构建的直角三角形，作   ， 与矛盾，所以④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9小题，共70分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． （1）直接利用十字相乘法分解因式进而得出答案； （2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得 【小问2详解】 或 解得． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）画出关于原点中心对称的； （2）画出绕点P顺时针旋转后得到的； （3）求出点C旋转到点所走过的路径长． 【答案】（1） 如图； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，中心对称变换：旋转的性质，对应角都相等都等于旋转角，对应点到旋转中心距离相等，对应线段也相等；中心对称性质，对称点连线经过对称中心，并且被对称中心平分． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点的坐标，然后描点、连线即可． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点从而得到； （3）运用勾股定理求出，代入弧长公式计算即得． 【小问1详解】 解：∵， ∴关于原点中心对称的点为， ∴描点，连线得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴点C旋转到点所走过的路径长为． 17. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）12件； （2）补充作图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可； （2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可； （3）画出表格或树状图，然后计算概率即可 【详解】解：（1）（件） （2）12-2-5-2=3 （3）列表如下： 由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为 【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键， 18. 如图，四边形是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在的延长线上，与相交于点H，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边等知识，掌握相关知识是解题关键． 先证得到，再利用矩形的性质解题即可． 【详解】证明：∵旋转矩形得到矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】(1)用待定系数法即可得反比例函数的解析式是，把代入反比例函数得：，即可得的坐标是，把、代入一次函数，进行计算即可得； (2)观察函数图象即可得． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 观察图象可知，满足的的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，反比例函数的图像与性质． 20. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． （1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为的自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、 （2） 解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 设自行车车棚的宽为，则长为， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴此时方程无解 ∴不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【小问1详解】 解：设自行车车棚的宽为，则长为， 根据题意，得， 解得 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去．； 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为、； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． 21. 国际风筝节在昆明市举办，陈明决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题： （1）表示出蝙蝠形风筝销售量y（个）与提高到x（元）之间的函数关系及x的取值范围； （2）陈明为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，陈明获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）售价应定为16元 （3）当售价定为20元时，陈明获得利润最大，最大利润是1000元 【解析】 【分析】本题主要考查了列一次函数解析式，列二次函数的解析式及其性质，解一元二次方程等内容，解题的关键是熟练掌握以上内容． （1）根据题意列出一次函数解析式即可； （2）列出二次函数解析式，并转化成一元二次方程进行求解即可； （3）利用二次函数顶点解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个， 根据题意可知：（）； 【小问2详解】 解：设陈明获得的利润为，则， 令，则， 解得：， 答：陈明为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元； 【小问3详解】 解：∵， ∵， ∴当时，取最大值，此时． 答：当售价定为20元时，陈明获得利润最大，最大利润为1000元． 22. 如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC （1）求证：DE是⊙O的切线： （2）若CE=2，DE=4，求⊙O的半径． 【答案】（1） 如图，连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， 又∵OB=OD， ∴∠ABD=∠ODB， ∴∠ODB=∠DBC， ∴OD∥BE， ∵DE⊥BE， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线； （2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接AC，交OD于F， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°， ∴四边形FDEC是矩形， ∴DF=CE=2，FC=DE=4． 由垂径定理可知 设⊙O的半径为r， 在Rt△OAF中，由勾股定理得， 即（r-2）2+42=r2， 解得r=5． 即半径为5． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于，交y轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； （3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标． 【答案】（1）；（2），h有最大值；（3）点N的坐标为（0，-3），(−，3)，(，3)，（-5，3）． 【解析】 【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，可先求得直线BC的解析式，则可用t分别表示出E的坐标，从而可表示出PE的长，再可用t表示出△PBC的面积，再利用等积法可用t表示出h，利用二次函数的性质可求得h的最大值； （3）分AM、CM和AC为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得N点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， ∴，解得 ， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC． ∵B（3，0）、C（0，3）， ∴OB=OC=3，BC=， 设直线BC解析式为y=kx+n，则，解得 ， ∴直线BC解析式为y=-x+3， ∵点P的横坐标为t，且在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴P（t，-t2+2t+3）， 又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E， ∴D（t，0），E（t，-t+3）， ∴PE=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t， ∴S△PBC=PE•()=(−t2+3t)×3=−t2+t， 又∵S△PBC=BC•PH=×3•h=h， ∴h=−t2+t， ∴h与t的函数关系式为：h=−t2+t（0＜t＜3）， ∵， ∴当t=时，h有最大值为； （3）存在． 若AM为菱形对角线， 则AM与CN互相垂直平分， ∴N（0，-3）； 若CM为菱形对角线， 则CN=AM=AC=， ∴N(−，3)或N(，3)； 若AC为菱形对角线， 则CN=AM=CM， 设M（m，0），由CM2=AM2，得m2+32=(m+1)2， 解得m=4， ∴CN=AM=CM=5， ∴N（-5，3）． 综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：（0，-3），(−，3)，(，3)，（-5，3）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等积法、二次函数的性质、菱形的性质、方程思想和分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出△PBC的面积是解题的关键，注意等积法的应用，在（3）中注意菱形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年云南省昆明十中白塔校区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共32分） 1. 如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 从下图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的图案是轴对称图形的卡片的概率是（　　） A. B. C. D. 1 3. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点D在的延长线上，是的切线，若，则（　　） A. 6 B. 4 C. D. 3 5. 一条直线上有n个点，共形成了45条线段，则n的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随增大而增大 B. 函数图象经过点 C. 函数图象位于第一、三象限 D. 当时， 7. 小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③ C. ②③ D. ①④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9. 昆明市某楼盘2016年房价为每平方米8000元，经过两年连续涨价后，2018年房价为每平方米10000元．设该楼盘这两年房价平均增长率为x，则可列方程为____________________． 10. 已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 ________象限． 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，C是的中点，连接，若的面积为4，则_______． 12. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 13. 把一个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的主视图是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，则这个扇形的圆心角为______°． 14. 如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，则以下结论中正确的有________（填序号） ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④ 三、解答题（本大题共9小题，共70分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）画出关于原点中心对称的； （2）画出绕点P顺时针旋转后得到的； （3）求出点C旋转到点所走过的路径长． 17. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率． 18. 如图，四边形是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在的延长线上，与相交于点H，求证：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 20. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成． （1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为的自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 国际风筝节在昆明市举办，陈明决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题： （1）表示出蝙蝠形风筝销售量y（个）与提高到x（元）之间的函数关系及x的取值范围； （2）陈明为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，陈明获得利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC （1）求证：DE是⊙O的切线： （2）若CE=2，DE=4，求⊙O的半径． 23. 如图，抛物线与x轴交于，交y轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； （3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $