第3章 代数式课件 2025-2026学年 青岛版（2024）七年级数学上册

3.3　代数式的值 知识点1 代数式的值 1．用___代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果，叫作代数式的值． 2．代数式的值是由它所含字母的取值决定的． 数 知识点2 代数式求值的步骤 第一步：用数代替代数式里的字母，简称为“代入”； 第二步：按照代数式指明的运算关系，计算出结果，简称为“计算”． 【注意】 求代数式的值实质上是转化为有理数的有关运算，体现数学中的转化思想． 考点1 直接代入求代数式的值 典例1 [2024·泉州期末]若x＝－1，y＝－2，则代数式3－x2＋4y的值是 ( ) A．12 B．8 C．－6 D．－4 思路导析 将x＝－1，y＝－2代入该代数式进行计算、求解． 变式1 [2024·文山市期中]求下列代数式的值时，代入过程正确的是 ( ) 变式2 [2024·宜宾期中]当x＝1，y＝－6时，求下列代数式的值． (1)x2＋y2； (2)(x－y)2； (3)x2－2xy＋y2. 解：(1)x2＋y2＝12＋(－6)2＝37； (2)(x－y)2＝(1＋6)2＝49； (3)x2－2xy＋y2＝12－2×1×(－6)＋(－6)2＝49. 考点2 整体代入求代数式的值 典例2 [2023·南通]若a2－4a－12＝0，则2a2－8a－8的值 为 ( ) A．24 B．20 C．18 D．16 思路导析 将a2－4a看成一个整体，将2a2－8a－8变形为2(a2－4a)－8是解题的关键． 变式 [2024·长沙期末]已知x－2y＝4，xy＝4，则代数式5xy－2x＋4y的值为 ( ) A．28 B．24 C．12 D．8 考点3 代数式求值的实际应用 典例3 [2024·章丘区期中]如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形(有关线段的长如图所示，单位：米)，留下一个“T”型图形(阴影部分)． (1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长； (2)若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．请用含x，y的代数式表示材料所需的造价； (3)在(2)的条件下，当x＝5，y＝7，工人4人(每人每天150元)工作3天，请你计算这次施工的总费用． 思路导析 (1)根据周长的定义，结合图形可得答案；(2)整个施工所需的造价为20(6x＋6y)＋15×4y，化简即可；(3)把x＝5，y＝7代入(2)中代数式，再加上工人费用即可． 解：(1)“T”型图形的周长为x＋2y＋4x＋4y＋x＝(6x＋6y)米； (2)20(6x＋6y)＋15×4y＝120x＋180y； (3)当x＝5，y＝7时，整个施工所需的费用为 120×5＋180×7＋150×4×3 ＝600＋1 260＋1 800 ＝3 660(元)． 【易错易混】用数值代替字母时，原式中的运算符号、顺序都不改变；当式子中有乘法运算时，其中字母用数字代替，数字因数中间要用“×”号连接；如果所给的字母的值是负数或分数，那么出现乘方运算时，必须把负数或分数加上括号． 变式 某校七年级3位老师带部分学生去红色旅游，联系了甲、乙两家旅行社，甲旅行社说：“老师免费，学生打八折．”乙旅行社说：“包括老师在内全部打七折．”若全程费用为每人240元． (1)设有x名学生参加活动，请分别写出参加两家旅行社的费用的代数式； (2)若有20名学生参加活动，问选择哪家旅行社更合算？ 解：(1)甲旅行社费用为240×0.8x＝192x元， 乙旅行社费用为240×0.7(x＋3)＝(168x＋504)元； 所以甲旅行社费用为192x元，乙旅行社费用为(168x＋504)元； (2)甲旅行社费用为192×20＝3 840(元)， 乙旅行社费用为168×20＋504＝3 864(元)； 因为3 840<3 864， 所以选择甲旅行社更合算． A．当a＝eq \f(2,3)时，2a2－1＝2×eq \f(22,3)－1 B．当a＝eq \f(1,2)时，2a＋1＝2eq \f(1,2)＋1 C．当a＝3时，eq \f(1,2)a2－2＝eq \f(1,2)×32－2 D．当a＝－3时，a2＋1＝－32＋1 $$3.4　生活中的常量与变量 知识点1 常量与变量 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作_____，可以取不 同数值的量叫作_____． 知识点2 变量之间关系的表示方法 变量之间关系常用的表示方法有三种：分别是_________、 _______和_______． 常量 变量 关系式法 列表法 图象法 【拓展】三种方法的比较： (1)列表法：用列表法表示变量之间的关系时，变量对应的数值有限，但比较直观． (2)关系式法：用关系式表示变量之间的关系时，给定一个变量的值容易求出另一个变量的值． (3)图象法：用图象法表示变量之间的关系时，图象能非常直观形象地反映出一个变量随另一个变量的变化趋势． 表示变量关系时通常把这三种方法结合起来运用，先列表，再根据关系式计算变量之间的各组对应值，最后画图． 考点1 常量与变量 典例1 [2024·济南期末]要画一个面积为30 cm2的长方形，其长 为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为( ) A．常量为30，变量为x，y B．常量为30，y，变量为x C．常量为30，x，变量为y D．常量为x，y，变量为30 思路导析 根据变化过程中数值是否保持不变来区分变量和常量． 变式 (1)若△ABC的底边长是a，底边上的高是h，则△ABC的面 积S＝ ah，当底边长a一定时，在该关系式中的常量是_____， 变量是_____； (2)对于电学公式U＝IR，若电阻R为定值，则常量是__，变量 是_____；若电流I为定值，则常量是__，变量是_____； (3)在球的体积公式V＝ πR3中，常量是_____，变量是_____． S，h R I，U I U，R V，R 考点2 用代数式表示变量之间的关系 典例2 (1)[2024·西安期中]一个长方体的底面是边长为8 cm的 正方形，当高为h(cm)时，体积为V(cm3)，则V与h的关系式是 _______； (2)[2024·榆林期中]汽车由A地驶往相距120 km的B地，它的平 均速度是60 km/h，则汽车距B地的路程s(km)与行驶时间t(h) 的关系式为____________； V＝64h s＝120－60t (3)[2024·宿州期中]某电影院第一排有18个座位，第二排有 21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，…，每一 排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m＝ _______．(不需要注明取值范围) 3n＋15 思路导析 用关系式表示两个变量之间的关系，关键是找到实际问题中的等量关系，依据等量关系列出关系式． 变式1 [2024·毕节期中]宋代词人蒋捷曾在《一剪梅·舟过吴 江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉．”昭 通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y(元) 与樱桃质量x(kg)之间的关系式是_______． y＝16x 变式2 在如图所示的计算程序中，输入一个有理数x，便可输 出一个相应的有理数y，则y与x之间的关系式是___________． y＝－2x－4 考点3 用图表表示变量之间的关系 典例3 某地区一天的气温变化较大，如图表示该地区一天24小时的气温变化情况． (1)图中描述的是哪两个变量之间的关系？ (2)一天中哪个时间气温最高或最低，分别是多少？ (3)在什么时间范围内气温上升，在什么时间范围内气温下降？ (4)该地区一天的温差是多少？若该地区是一旅游景点，你应向来该地旅游的游客提出怎样的合理化建议？ 思路导析 本题考查了学生的读图能力．直接根据图象信息读出实际意义解答问题． 解：(1)图象描述的是气温和时间之间的关系； (2)一天中0时和24时的气温最低，是5 ℃；15时的气温最高，是40 ℃； (3)在0≤t<6和9≤t<15时，气温上升； 在6≤t<9和15≤t<24时，气温下降； (4)该地区一天的温差是40－5＝35(℃)，该地区一天内的气温变化比较大，建议旅客选择6～12时外出观光． 变式1 如图，折线OEFPMN描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是 ( ) A．第9分钟时汽车的速度是60千米/时 B．从第3分钟到第6分钟，汽车停止 C．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小 D．第12分钟时汽车的速度是0千米/时 变式2 [2024·巨野县期中]王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表中的数据： 行驶的路 程S(km) 0 100 200 300 400 … 油箱剩余 油量Q(L) 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为_______L，行驶150 km时，油箱中的剩余油量为_______L； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示Q. 解：(1)因为当S＝0时，Q＝50，所以该轿车油箱的容量为50 L； 行驶1 km的耗油量为 ＝0.08(L)， 行驶150 km的耗油量为0.08×150＝12(L)， 所以行驶150 km时，油箱中的剩余油量为50－12＝38(L)． 故答案为：50，38； (2)在这个问题中，轿车行驶的路程S(km)和油箱剩余油量Q(L) 是变量，油箱的容量50(L)和行驶1 km耗油量0.08(L)是常量； (3)因为该轿车油箱的容量为50 L，行驶1 km耗油量为0.08 L， 所以Q＝50－0.08S， eq \f(1,2) eq \f(1,2)，a eq \f(4,3) eq \f(4,3)，π eq \f(50－42,100) $$第3章 代数式 3.1　用字母表示数 知识点1 用字母表示数的书写要求 1．在含有字母的乘式中，通常省略“___”号或将“___”号用 “·”表示，数字与数字相乘时，一般仍用“×”号，并且不 能省略不写； 2．将数字因数写在字母的_____； 3．含有字母的除法通常写成_____的形式； 4．相同因数(式)的乘积应写成_____的形式； × × 前面 分数 乘方 5．结果是加减形式且带单位时，式子要_______，再写上_____； 6．当数字因数是1或－1时，“1”常省略不写； 7．带分数应写成_______． 加括号 单位 假分数 知识点2 用字母表示数的应用 用字母表示数，一般能简明地把数、数量关系、法则和变化规律表达出来，为叙述和研究问题带来方便． (1)表示运算法则、运算律．例如，加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (2)表示公式．例如，长方形的面积公式： S＝ab. (3)表示定义．例如，a(a≠0)的倒数是__． (4)表示某类数．例如，偶数：2n(n为正整数)，奇数：______ 或______(n为正整数)． (5)表示问题中的数量关系．例如，小明的年龄是m岁，妈妈的年 龄比小明年龄的3倍少a岁，则妈妈的年龄可表示为________岁． 2n＋1 2n－1 (3m－a) 考点1 用字母表示数的书写规则 典例1 [2024·平山县期末]下列式子中，符合书写要求的 有 ( ) ①1 x　②ab÷c ③2(m＋n)　④a－3千米 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 思路导析 根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解． 考点2 用字母表示实际问题中的数量关系 典例2 [2024·襄州区期中]用字母表示数： (1)某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的2倍少10件，去年的产量是多少？ (2)甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h，汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (3)一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数是多少？ 思路导析 关键是找准实际问题中的数量关系． 解：(1)某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年的产量的2倍少10件，去年的产量是(2n－10)件； (2)由题意，得汽车从甲地到乙地需要行驶 h； (3)一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数是10a＋b. 考点3 用字母表示规律 典例3 [2024·从江县二模]石墨烯是一类重要的化工原料，其结构如图1所示，图2是其结构的一部分，是由相同的正六边形横向排列而成的链状结构．正六边形的一条边表示两个碳原子构成的碳碳键，当正六边形只有一个时，碳碳键有6条；当正六边形有2个时，碳碳键有11条…以此类推．当链状结构有204个正六边形时，则碳碳键共有 ( ) A．1 027条 B．1 026条 C．1 024条 D．1 021条 思路导析 根据所给图形，依次求出图形中碳碳键的个数，发现规律即可解决问题. 变式 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有___个 ★，第n个图形有________个★. 31 (3n＋1) 思路导析 由图形不难得出图形之间的内在规律，即第n个图形共有(3n＋1)个★，进而代入求解即可． eq \f(1,a) eq \f(1,3) 变式 下列式子中，符合书写格式的有 ( ) ①x×y　②x＋7元　③eq \f(3,8)(x＋y) ④6eq \f(1,2)xy　⑤xyz2 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 eq \f(240,v) 变式 [2024·福清市期末]如图，用代数式表示图中阴影部分的面积为 ( ) A.eq \f(ab,2)－r2 B.eq \f(ab,2) C.eq \f(ab,2)－πr2 D．ab－πr2 $$3.2　代数式 知识点1 代数式的定义 1．一般地，用_________把数和表示_________连接而成的式子 叫作代数式，如m＋n，a－b，2x，xy， ，3(a＋b)，m2－2n等都 是代数式． 2．特别地，单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式． 如a，－5， 等都是代数式． 运算符号 数的字母 【注意】 代数式不能含有＝，＜，＞，≤，≥，≈，≠等表示关系的符号． 知识点2 用代数式表示 描述代数式的语言分为文字语言(或自然语言)和符号语言，文字语言和符号语言是可以相互转化的． 知识点3 代数式的意义 根据实际背景解释代数式的意义． 考点1 代数式的识别 典例1 下列各式： －x＋1，π＋3，9>2， ，V＝a2b，其中 代数式的个数是 ( ) A．5个　　　 B．4个　　　 C．3个　　　 D．2个 思路导析 根据代数式的定义进行判断，代数式不含有>，<，＝等表示相等关系或者不等关系的符号． 【规律总结】“两看”识别代数式： (1)看它是不是单独的数或字母； (2)看它是不是只用了运算符号(不能含有表示关系的符号)． 变式 下列各式：①π－3　②ab＝ba　③x ④2m－1>0　⑤　 ⑥8(x2＋y2)．其中，代数式有__个． 4 考点2 列代数式 典例2 [2024·宁波期中]a的相反数与b，c平均数的差可以表示为 ( ) 思路导析 根据文字语言中的“的差”判断运算是减法，再由“与”的左右两边判断被减数部分和减数部分可得到答案． 变式 [2024·聊城期中]下列代数式表示正确的是 ( ) A．m与n的2倍的和是m＋2n B．a与b的差的倒数是a－ C．a与b两数的平方差是(a－b)2 D．若a的平方比甲数小2，则甲数是a2－2 考点3 代数式的意义——　用文字语言进行表示 典例3 [2024·唐山期末]代数式3(a－2b)的意义表述正确的 是 ( ) A．3乘以a减2b B．a的3倍与2b的差 C．a与2b的差的3倍 D．3与a的差与2b的积 思路导析 正确理解题中给出的文字语言关键词．根据代数式的意义回答即可． 【规律总结】符号语言和文字语言互相转化时，应先弄清运算顺序，遵循“先算先读”和“先读先算”的原则． 变式 [2024·裕华区期末]下列关于代数式的意义不正确的 是 ( ) A. ＋4表示a的3倍与4的和的一半 B．2(a＋5)表示a与5的和的2倍 C．2a＋5表示a的2倍与5的和 D．(a＋b)2表示a与b的和的平方 考点4 代数式的实际意义 典例4 [2024·云岩区期末]有一个正方形和一个长方形，它们的边长如图所示，则代数式4a＋12表示的是 ( ) A．长方形的周长 B．长方形的面积 C．正方形的周长 D．正方形的面积 思路导析 掌握长方形和正方形的周长与面积计算公式是解题的关键． 变式1 [2024·邢台期末]商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“3m－3”表示的意义是 ( ) A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出的该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 变式2 [2024·成都期末]某商店举办促销活动．促销的方法是 将原价为x元的衣服以( x－7)元出售，则下列关于代数式( x －7)的含义的描述正确的是 ( ) A．原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折 C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元 eq \f(s,v) eq \f(3,2) eq \f(m－n,m＋n) eq \f(x＋y,x－y) A．－a－eq \f(b＋c,2) B．a－eq \f(b＋c,2) C．a＋eq \f(b＋c,2) D．－a＋b－c eq \f(1,b) eq \f(3a,2) eq \f(4,5) eq \f(4,5) $$