第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章《一元二次方程》单元检测题 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围（　　） A． B． C．且 D．且 3．已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（　　） A．1 B． C．4 D． 4．若的值使得成立，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 5．若是方程一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．12 C．11或12 D．15 8．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．某商品经过两次降价，每件零售价由25元降为16元，则平均每次降价的百分率是（    ） A．20% B．25% C．30% D．36% 二、填空题(每题3分，共24分) 11．方程是一元二次方程，则 ． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 13．若，则的值是 ． 14．关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． 16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　． 17．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ． 18．将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，若使这两个正方形的面积之和等于，则这段铁丝剪成两段后的长度分别为 ． 三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分) 19．解答题 （1）                （2） 20．已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值． 22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 23．如图，某校一面长的墙前有一块空地，校方准备用长的栅栏围成一个一面靠墙的矩形花圃（除围墙外，实线部分均为栅栏，且不浪费栅栏，栅栏厚度忽略不计），矩形中种植矮牵牛，矩形中种植千日红，矩形作为水池给两块矩形花圃浇灌．已知，，花圃的种植总面积（除水池外）为，则的长为多少？    24．国庆节期间，某烧饼店平均每天可卖出个烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降元，平均每天可多卖出个，为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（）元． (1)零售单价下降m元后，每个烧饼的利润为　　元，该店平均每天可卖出　　个烧饼（用含m的代数式表示，需化简）； (2)在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是元，并且卖出的烧饼更多？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A C B B C A D 二．填空题（共8小题） 11．解：∵方程（m+1）7x﹣m＝0是一元二次方程，∴m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0，解得：m＝3． 故答案为3． 12．解：设方程的两个根分别为，令， 由题意知，，， ∴， 解得，， ∴， ∴它的另一个根为， 故答案为：． 13．解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 14．解；当，即时，原方程为，解得，此时方程有实数根； 当，即时，则， 解得，即此时且， 综上所述，， 故答案为：． 15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0， 解得k≤， 由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k， ∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16． ∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16， 即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16， ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16， 整理得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3， 故答案为﹣3． 16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， 所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3， 又n2＝n+3， 则2n2﹣mn+2m+2021 ＝2（n+3）﹣mn+2m+2021 ＝2n+6﹣mn+2m+2021 ＝2（m+n）﹣mn+2027 ＝2×1﹣（﹣3）+2027 ＝2+3+2027 ＝2032． 故答案为：2032． 17．25 [ 1 ＋( 1 ＋ x)＋( 1 ＋ x )2 ]＝ 82.75　 18．50.7（1+x）2=125.6 三．解答题（共7小题） 19．解：（1）（x+4）2-5（x+4）=0， （x+4）（x+4-5）=0， ∴x1=-4，x2=1； （2）， ∵a=2，b=-4，c=-1， ∴△==24， ∴x＝， ∴x1=，x2=. 20．解：设方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2， ∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0， 解得k≤； （2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2， ∵k≤， ∴2k﹣2＜0， 又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0． 解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6， ∴k＝﹣6． 22．解：当a＝4时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8， 而4+4≠0，不符合题意； 当b＝4时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， 而4+4＝8，不符合题意； 当a＝b时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝a+b，解得a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34． 23． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则，，，根据“花圃的种植总面积（除水池外）为”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设的长为，则，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：的长为． 24．(1)，； (2)元 【分析】（1）每个烧饼的利润等于原来利润减去零售单价下降的钱数即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可； （2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解． 【详解】（1）每个烧饼的利润为元， 该店平均每天可卖出烧饼个数为：元， 故答案为：，； （2）由题意，， 解得，（由题意舍去）， 学科网（北京）股份有限公司 $$