精品解析：江西省赣州市宁都中学2025届高三下学期第五次半月考数学试题

宁都中学2025届高三下学期第五次半月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】分析：设，根据，可得的轨迹方程，代入，即可得出． 详解：设，， ∴，∴， ∴， 则==≥． 当时取等号． 故选：B． 点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出的范围，从而得解. 【详解】依题意可得，所以，所以， 所以，即轻柔音乐的声强级范围是. 故选：C 4. 展开式中的系数为（ ） A. 14 B. 20 C. 25 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二项式定理求得展开式中与的系数，从而可求得展开式中的系数. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为，的系数为， 因此展开式的系数为. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的范围，利用二倍角公式将表达式化简计算可得，即求出结果. 【详解】由可得， 所以， 又易知，因此可得， 即可得， 所以，解得. 故选：A 6. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】易知当时，函数单调递增，且; 当时，函数，易知, 显然当时，恒成立，即在上单调递增； 当时，；当时，， 此时函数的图象大致如下图所示： 若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点， 由上图可知； 当时，根据对勾函数性质可知， 当且仅当时，等号成立； 此时其图象大致如下图： 显然函数的图象与没有交点，不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义可得，在，中，由余弦定理可得，可求离心率. 【详解】由题意作出图形如图所示： 设，又，所以， 又，，所以，所以， 又因为，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 因为， 所以， 整理得，所以，解得. 故选：D. 8. 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题可得极值点满足或，由此画出图象，可得极值点个数，进而可得，据此可得答案. 【详解】 ，则或. 如图，画出图象， 结合图象可知在两侧附近正负相反，可得极值点有8个. 则互为相反数，因， 则，又注意到， 则. 故选：B 二、多选题 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；根据等差数列的性质及中位数定义判断B；根据判断C；由相关系数的实际意义判断D. 【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错； B：对于等差数列， 若正整数，则， 若正整数，则， 又等差数列的平均数为， 结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对； C：由于一组数据的方差，且，则，对； D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错. 故选：BC 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（ ） A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为4 B. 若直线被圆截得的弦长为2，则 C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为1 【答案】BC 【解析】 【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值；B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆上有且只有两个点到的距离，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论. 【详解】由题意， 的三个顶点坐标分别为，， 在圆中，，半径 ， A项， 过作圆的切线，切点为，如图所示， ∴, 在中，由勾股定理得， ∴ ∴当时，取最小值，，故A错误； B项， 重心坐标即, 所在直线，即 线段的中点, ∴的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， ，解得：， ∴外心 由几何知识得，垂心与外心重合， ∴过和，，即， 直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径， ∴直线过圆心， ∴，即，B正确； C项，圆上有且只有两个点到的距离都为1， ∴圆心到直线即的距离小于直径. ∴，解得：，故C正确； D项，由几何知识得， 圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误； 故选：BC 11. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 直线与平面所成角为定值 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得固定平面，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得，即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱锥的外接球的球心位置和半径即可求得D正确. 【详解】如下图所示： 易知，由可得； 固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与的交点（在的右侧）， 如图中过平面的虚线形成的劣弧所示： 取的中点为，作平面，则有， 又易知， 如下图所示： 在劣弧上运动， 对于A，易知，因此可得是钝角三角形，即A正确； 对于B，设直线与平面所成的角为， 则，为定值，即B正确； 对于C，作， 易知三棱锥的体积的最大值为 ，即C错误； 对于D，设三棱锥的外接球的球心为，如下图： 由于是的外心，则平面，因此三点共线， 设， 在中由勾股定理可得，解得； 因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面，再根据二面角大小求得线段长度得出点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而可得，计算可求得的值. 【详解】因为是偶函数，则，可得， 所以，所以或， 则（舍去）或，所以， 又，所以，所以，又，解得. 故答案为：. 13. 为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为________.(用数字作答) 【答案】114 【解析】 【分析】可以采取间接方法，在所有分配方法中减去不符合要求的分配方法，即为满足条件的分配方法数. 【详解】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层分配一个， 则总数为种， 若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层每层分配两个机器人， 则分配方法的总数为种，两者相加可得所有分配方法总数为种. 甲、乙在同一个楼层的分配方法可计算如下： 先从三个楼层中选一个楼层安排机器人甲、乙，有种分法， 若剩下三个机器人分配到其余两个楼层， 可以先在三个机器人中选择两个一组，再在两个楼层中选择一层楼分配这两个机器人， 有种分法， 若剩下的三个机器人分配到三个楼层，有种分法， 故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为种， 所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为种. 故答案为：. 14. 在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案. 【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系. 又 则. 过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则. 又注意到，则.设，则， 则. 注意到B，E，D三点共线，则，则. 又 则或，又由图可得，则. 则. 故答案为： 四、解答题 15. 设为数列的前项和，且是和8的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）因为，得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 【解析】 【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可； （2）由题意可得，可求得，可证结论. 【小问1详解】 解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. 【小问2详解】 略 16. 圆锥 如图所示， 是顶点， ， 是底面圆 上的两条相互垂直的直径，点 在 上. （1）求证: ； （2）若 且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由圆锥知， 又，， 平面，平面， 所以平面，平面， 故，又是中点， 即是线段的垂直平分线， 故． （2）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而有，即得是线段的垂直平分线，即可得证； （2）由题意可得，，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 结合，可知为等腰直角三角形， 故； 由，知， 故； 设，则； 以为原点，所在直线分别为轴，轴和轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，； 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则； 记直线与平面所成角为，则， 故，直线与平面所成角的余弦值为． 17. 已知函数（，且）. （1）若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，联立切线与，利用可求解；解法2：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的几何意义可求解； （2）解法1：当时，计算可得，不符合题意，当时，由题意可得，令，利用导数可求得的最小值，可求解.解法2：由题意可得，令，利用导数求得的最小值即可. 【小问1详解】 解法1：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 由得， 由，解得或（舍去）， 当时，得，符合题意， 所以. 解法2：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 当时，函数的定义域为， 设直线与曲线的切点坐标为， 由，得，得. 得，即， 则. 解得. 【小问2详解】 解法1：①当时，则函数的定义域为. 由于， 则，不符合题意. 所以不符合题意. ②当时，则函数的定义域为. 显然. 当时，由，得，即. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 解法2：当时，由，得，即， 得. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 18. 已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． （1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； （2）设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 【答案】（1），，； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出第一次摸到第1，2，3号球的概率，结合已知条件，利用全概率公式及条件概率公式依次计算即得. （2）①求出第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率；②利用全概率公式推理即得. 【小问1详解】 设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为， 第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，， ， 于是， 所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率. 【小问2详解】 ①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率， 所以. ②由定义及全概率公式知， ， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 19. 已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． （1）证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． （2）证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【答案】（1）证明见解析，（或）． （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）取或，设旋转变换后的坐标，结合，得到曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为或； （2）根据旋转的坐标变换公式和等轴双曲线概念证明必要性和充分性，得到结论； （3）由（2）可知，双曲线的方程可表示为，取，且旋转变换后得到表达式为，设经过旋转变换后，故，根据反比例函数定义可得且．作出辅助线，矩形的面积为，因为，求出，所以，可得． 【小问1详解】 由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为； 或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为， 综上，反比例函数图象的表达式为或. 【小问2详解】 必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以， 代入得， 化简得， “双曲线是‘反比例曲线’”， 所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 充分性：由等轴双曲线定义可知，即， 代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得， 故该双曲线是“反比例曲线”． 综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． 【小问3详解】 由（2）可知，双曲线的方程可进一步表示为， 因为旋转变换的角度不影响最终的结果，故本题取， 且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为，即． 设经过旋转变换后， 因为是等腰三角形，所以， 根据反比例函数定义可得． 故且． 从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点， 设矩形的面积为，因为， 当时，． 由于，，故当时， ， 因为，所以，从而． 以此类推， ， 因为， 所以，可得． 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁都中学2025届高三下学期第五次半月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知复数满足，则的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中的系数为（ ） A. 14 B. 20 C. 25 D. 28 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（ ） A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为4 B. 若直线被圆截得的弦长为2，则 C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为1 11. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 直线与平面所成角为定值 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 13. 为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为________.(用数字作答) 14. 在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 四、解答题 15. 设为数列的前项和，且是和8的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 16. 圆锥 如图所示， 是顶点， ， 是底面圆 上的两条相互垂直的直径，点 在 上. （1）求证: ； （2）若 且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值. 17. 已知函数（，且）. （1）若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； （2）若，求的取值范围. 18. 已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． （1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； （2）设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 19. 已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． （1）证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． （2）证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $