专题09 函数的单调性（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题09 函数的单调性 目录 1 类型一、函数单调性的判定与证明 1 类型二、根据函数单调性求参数 4 类型三、利用函数单调性求最值 4 类型四、利用函数单调性解不等式 5 类型五、分段函数单调性的应用 5 类型六、抽象函数的单调性 6 7 类型一、函数单调性的判定与证明 1.函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增.特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减.特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 1 对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ② ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 1 对于∀x∈I，都有f(x)≥M， 2 ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 【重要性质】 1.常见函数的单调性 ①正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. ②一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. ③反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. ④二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 2.单调性常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； 3 若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； 4 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 3.单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 例1．已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 变式1-1．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 变式1-2．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 类型二、根据函数单调性求参数 例2．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ． 变式2-1．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 . 变式2-2．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 变式2-4．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三、利用函数单调性求最值 例3．已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 变式3-1．已知，若的最小值为，写出的表达式． 变式3-2．已知函数在区间上单调，且，求a的范围． 类型四、利用函数单调性解不等式 例4．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数x的取值范围． 变式4-1．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 变式4-2．已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 类型五、分段函数单调性的应用 单调性法： （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） 例5．已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型六、抽象函数的单调性 例7．定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 变式6-1．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 变式6-2．已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是 ． 5．已知定义在上的函数，对任意的，，若，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是 ． 6．若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 三、解答题 7．已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 8．已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 9．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数的单调性 目录 1 类型一、函数单调性的判定与证明 1 类型二、根据函数单调性求参数 5 类型三、利用函数单调性求最值 7 类型四、利用函数单调性解不等式 10 类型五、分段函数单调性的应用 12 类型六、抽象函数的单调性 15 17 类型一、函数单调性的判定与证明 1.函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增.特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减.特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 1 对于∀x∈I，都有f(x)≤M， ② ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 1 对于∀x∈I，都有f(x)≥M， 2 ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 【重要性质】 1.常见函数的单调性 ①正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. ②一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. ③反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. ④二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 2.单调性常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； 3 若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； 4 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 3.单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 例1．已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 变式1-1．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 变式1-2．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故A项正确； 对于B项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故B项不成立； 对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立. 故选：A. 类型二、根据函数单调性求参数 例2．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解． 【详解】∵， ∴的单调减区间是． 又在上是减函数， ∴，即． ∴所求实数的取值范围是， 故答案为：． 变式2-1．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数单调性，比较对称轴与区间的位置关系即可解得实数的取值范围是. 【详解】由题意可知，二次函数的对称轴为， 若在上单调递增可知，解得； 若在上单调递减可知，解得； 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式2-2．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 变式2-3．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，，得，构造函数，所以函数在上的增函数，对实数分类讨论即可； 【详解】因为对于任意，，， 所以，即， 构造函数，则， 所以函数在上的增函数， 当时，函数是上的增函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，要使得函数是上的增函数，只需要符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需要. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由，构造新函数是解题的关键. 变式2-4．已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 类型三、利用函数单调性求最值 例3．已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 变式3-1．已知，若的最小值为，写出的表达式． 【答案】 【分析】讨论函数的对称轴和区间的位置关系，即可得最值． 【详解】由题意可知，函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，如图1所示，函数在区间上单调递减， 所以最小值，即． ②当，即时，如图2所示，最小值． ③当时，如图3所示，函数在区间上单调递增，所以最小值． 综上，． 变式3-2．已知函数在区间上单调，且，求a的范围． 【答案】 【分析】根据函数在上单调，分两类：在上单调递减时，构造，为方程在上的两个根，根据一元二次方程的根的分布解得.在上单调递增，同理可得. 【详解】若在上单调递减，且. 则有，， 相减得， 则，， 即，. 所以，为方程在上的两个根， 则有且， 得． 若在上单调递增， 则有，，即，为方程在上的两个根， 则有且 得． 综上所述，得． 故a的范围为 类型四、利用函数单调性解不等式 例4．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据函数的单调性，即可列不等式求解. 【详解】由题意可知， 解得， ∴x的取值范围为， 变式4-1．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式. 【详解】由得， 因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 变式4-2．已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数是定义在上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对对任意的、且，总有， 不妨设，则，即， 所以，函数是定义在上的增函数， 因为，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 类型五、分段函数单调性的应用 单调性法： （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） 例5．已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围. 【详解】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. 例6．已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，解得； 当，即时，，则在上单调递增， 所以在处取得最小值，，解得； 当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意； 当时，，易得，不满足题意； 综上，. 故选：A. 变式5-1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断在上单调递减，依题意可得，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 当时，，则在上单调递减， 则需满足，解得，即实数的范围是. 故选：C. 变式5-2．已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，对，且都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：B 变式5-3．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，无最大值，所以函数在时取到最大值，然后根据反比例函数的图像和性质分析即可. 【详解】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数， 所以，故， 故选：D. 类型六、抽象函数的单调性 例7．定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求； （2）由已知可得，设；可得，结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取得，； ；； （2）令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； （3）根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 变式6-1．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 变式6-2．已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解. 【详解】设且， 对任意，都有即， , ，， 又当时,，, 在上是增函数， 令,则, 令,，则， ， 结合的定义域为，且在上是增函数， 又恒成立， ， ，不等式的解集为， 故选：B. 一、单选题 1．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 2．定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 3．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 二、填空题 4．已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出时，的对称轴为，分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】当时，单调递减， 时，的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，故不单调，满足要求； 当，即时，需满足，解得， 故， 综上，数a的取值范围是 故答案为： 5．已知定义在上的函数，对任意的，，若，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据可知在上单调递增，根据单调性解不等式. 【详解】由，得， 又， 设函数， 则在上单调递增， 又，即， 所以， 即，解得， 故答案为：. 6．若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 三、解答题 7．已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证； （2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解. 【详解】（1）证明：当时，， 当时， ， 由于，则，，， 则，，即； 当时，， 由于，则，则， ，即； 当时，， 由于，则， ，即； 综上，为单调递增函数； （2）①当时，恒成立，即恒成立， 或，解得； ②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则； 综上，实数的取值范围为． 8．已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 9．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】(1)不动点为－2和3 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【详解】（1）令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. （2）（i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$