专题05 函数章末24题型汇总（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题05函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数的概念 1 题型二、判断两个函数是否相等 3 题型三、求函数值 4 题型四、函数的定义域 5 题型五、求解函数解析式 6 题型六、函数的单调性 8 题型七、已知函数的单调性求参数 10 题型八、函数的值域 12 题型九、已知函数值或值域求参数 13 题型十、函数的最值 15 题型十一、已知函数最值求参数 16 题型十二、判断函数的奇偶性 19 题型十三、利用函数奇偶性求值 21 题型十四、利用函数奇偶性求解析式 22 题型十五、利用函数奇偶性求不等式 24 题型十六、利用函数奇偶性单调性比较大小 26 题型十七、已知奇偶性求参数 27 题型十八、奇偶性周期性求值 27 题型十九、幂函数求值与求解析式 29 题型二十、幂函数的定义域 31 题型二十一、幂函数的值域 31 题型二十二、函数恒成立 32 题型二十三、函数有解 37 题型二十四、抽象函数问题 39 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数的概念 1．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】结合函数定义可知集合中任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故A，B正确； 集合中7在集合中没有元素与之对应，故C错误； 集合中3在集合中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误. 故选：AB. 2．(25-26高一上·广东广州第二中学·月考)已知是从集合到集合的函数.如果且，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】8 【分析】根据函数的定义，结合已知条件确定集合A中元素的可能情况，进而确定集合A的个数. 【详解】因为，所以，或， 由题意可知，. 又，则. 因此集合是集合的任一子集与集合的并集， 所以集合可能的情况是, ，共8个. 故答案为：8. 3．(24-25高一上·山东济宁·期末)给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用函数的定义求解； 【详解】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一） 题型二、判断两个函数是否相等 4．(24-25高一上·浙江嘉兴桐乡茅盾中学·)下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】判断定义域及对应关系是否相同即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为，故A错误； 对B：令，解得，所以定义域为 令，解得或，则定义域为，故B错误； 对C：定义域为，定义域为，故C错误； 对D：，，故D正确. 故选：D. 5．(25-26高一上·河北玉田县第一中学·)下列函数中与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对AB从函数定义域出发即可判断，对C，从对应法则即可判断，对D化简即可判断. 【详解】对A，的定义域为，而原函数的定义域为，故两者不是同一个函数，故A错误； 对B，的定义域为，而原函数的定义域为，故两者不是同一个函数，故B错误； 对C，，两者对应法则不同，故两者不是同一个函数，故C错误； 对D，与是同一函数，故D正确. 故选：D. 6．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 题型三、求函数值 7．（多选）(24-25高一上·河南九校联盟·月考)若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用解方程组求出解析式，再赋值计算即可. 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 8．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据解析式直接求值即可得到结果； （2）根据已知条件解方程即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为，所以，所以 9．（1）定义在上的函数满足，求和； （2）定义在上的函数满足，，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）令、得到方程组，即可求对应函数值； （2）令，求得，令，结合已知即可求. 【详解】（1）令，则①， 令，则②， 联立①②，解得； （2）令，则，解得， 令，则，解得． 题型四、函数的定义域 10．(25-26高一上·北京第八十中学·)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件列不等式组求函数定义域. 【详解】要使函数有意义，则 且. 所以所求函数的定义域为. 故选：C 11．(25-26高一上·浙江精诚联盟·月考)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 12．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 题型五、求解函数解析式 13．(23-24高一上·浙江宁波六校联盟·期中)已知函数的定义域为，且对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例分析判断；对于B：利用反证法，假设存在，使得，令，结合题意分析证明. 【详解】对于选项A：例如函数符合题意，则，故A错误； 对于选项CD：例如符合题意，则，故C错误； 令，则，可知，故D错误； 对于选项B：反证：假设存在，使得， 令， 则， 可得，这与假设相矛盾，故假设不成立， 所以对任意，，故B正确； 故选：B. 14．(24-25高一上·吉林通化梅河口博文学校·)根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 15．(24-25高一上·河北三河第一中学·月考)（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 题型六、函数的单调性 16．已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及最值的定义，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，在区间内，由于区间左端点取不到， 所以没有最小值，A错误； 对于B，在区间内，因为区间右端点取不到， 则没有最大值，B错误； 对于C，在区间内，的最小值为，C正确； 对于D，在区间内，因为区间端点取不到， 则没有最大值，D错误． 故选：C. 17．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【详解】（1）由， 故此令，则， 则. （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 18．(25-26高一上·甘肃甘南州临潭县第一中学·)求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，. (2) 【分析】（1）通过去绝对值，得到，画出函数图象即可求解； （2）通过去绝对值，，画出函数图象即可求解. 【详解】（1）因为 ， 画出函数图象如图所示， 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，. （2）， 函数的大致图象如图所示. 由图易知函数的单调递增区间是. 19．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式； （2）观察图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 题型七、已知函数的单调性求参数 20．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 21．(22-23高一上·上海朱家角中学·月考)已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 22．已知二次函数，且． (1)若函数的图象关于直线对称，求的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，，解方程组即可得解； （2）首先得或，其次分或两种情况讨论即可求解. 【详解】（1），则． 因为的对称轴为直线， 解得， 则， 故． （2）因为在上单调， 则对称轴不在区间内， 即或． （i）当时，有或． 又，即， 则或， 结合得； （ii）当时，有或． 由得或， 结合得， 综上，的取值范围是． 题型八、函数的值域 23．(24-25高二下·江苏徐州·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 24．函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 25．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 题型九、已知函数值或值域求参数 26．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 27．(23-24高一上·福建龙岩·期末)已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 28．(23-24高一下·广东梅州曾宪梓中学·期中)已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 29．(23-24高一上·福建福州鼓山中学·)已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 题型十、函数的最值 30．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B 31．已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 32．已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)若且，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、讨论，利用奇偶性定义判断可得答案； （2）分、、、讨论，利用的单调性可得答案． 【详解】（1）①当时，． 由知为奇函数． ②当时，,而，故为非奇非偶函数； （2）， ①当时，有在上单调递增， ． ②当时，有在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以． ． 当时，,所以； 当时，,所以． ③当时，有，在上单调递增， 在上单调递减，此时． ④当时，有，在上单调递增， 此时． 综上所述，当时，． 题型十一、已知函数最值求参数 33．(24-25高一上·安徽亳州黉学高级中学·月考)若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D 34．(24-25高一上·广东广雅中学·)已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析. 35．(24-25高一上·上海闵行区·期末)若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 36．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第六中学校·月考)若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出函数在上的最小值为，再利用二次函数的基本性质以及分段函数的最值可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十二、判断函数的奇偶性 37．（多选）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A令；B令，再令；C利用单调性定义证明；D先求出，再根据抽象函数关系式化简，求证即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则， ∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵， ∴，即， 故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴， ∵，∴， 又奇函数为增函数，∴， ， 即，故D正确. 故选：ABD. 38．(24-25高一上·广东鹤山纪元中学·期中)已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 39．已知函数． (1)判断的奇偶性与单调性； (2)若，求的解集． 【答案】(1)奇函数，在单调递增，在单调递增 (2) 【分析】（1）由奇函数定义判断奇偶性，由单调性定义及奇函数性质判断单调性；（2）写出其等价不等式组，再利用单调性求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数； 任取，且， 则 ， 因为，且，所以， 又，所以，即， 故在单调递增， 由函数为奇函数可得在单调递增； （2）由题意得等价于或 由（1）得是奇函数，因为，所以， ①即 解得或； ②即解得， 综上，的解集为． 题型十三、利用函数奇偶性求值 40．(25-26高一上·河南南阳六校·月考)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【详解】由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 41．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 42．(24-25高一下·贵州黔南州荔波高级中学·)若函数是上的周期为3的偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据条件可得， ，由此可求结论. 【详解】因为函数是上的周期为3的偶函数， 所以，， 又， 所以， 故答案为：. 题型十四、利用函数奇偶性求解析式 43．(24-25高二下·浙江学考适应性·月考)已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 44．(24-25高一上·上海嘉定区·期末)已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 45．(24-25高二下·山东烟台莱州第一中学·)若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. （2）有分段函数解析式，画出函数图像，根据函数图形的单调区间，列出参数的不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是 46．(24-25高一下·安徽马鞍山第八高级中学·)已知函数为奇函数，且 (1)求的解析式 (2)求证：在区间上单调递增； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据，求出参数的值，最后检验即可. （2）根据单调性的定义求出即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，且定义域为， 可得，即，解得， 又，解得，所以， 对任意的，， 满足为奇函数，综上可得， （2）任意的，，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在区间上单调递增. 题型十五、利用函数奇偶性求不等式 47．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 48．已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出的图象关于直线对称，然后分析出在和上的单调性，最后逐项分析函数值大小关系． 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，由条件可知在上单调递减，所以在上单调递增． 对于A，，所以A错误； 对于B，因为，所以，所以B错误； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为且，所以，所以D错误． 故选：C. 49．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数为偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 令，，则，即， 因为，所以，所以； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 题型十六、利用函数奇偶性单调性比较大小 50．已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的奇偶性以及在上有单调性，且，判断函数在上单调递增，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，得，又在上有单调性， 所以在上有单调性，且为严格单调递增， 对于A：由，则，不正确； 对于B：由题意知，且，故，正确； 对于C：由于，，故，不正确； 对于D：由题意知，且，，所以，不正确； 故选：B． 51．已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，知函数周期，利用函数的周期性与对称性将，，转移到同一个单调区间，再利用函数的单调性比较函数值的大小． 【详解】因为定义在上的偶函数在上为增函数， 所以在上单调递减，又因为，，即函数周期， 所以，，又，所以， 故选：B． 题型十七、已知奇偶性求参数 52．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 53．设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义域是关于原点对称求出，再结合求出即可. 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 故答案为：. 54．(24-25高一下·广西北海海城区北京第八中学北海实验学校·期中)已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据题设得到，再应用周期性及解析式得，最后应用基本不等式“1”的代换求的最小值. 【详解】由题设，则， 所以，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 故答案为：4 题型十八、奇偶性周期性求值 55．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意有成立，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由为奇函数结合已知等式可得函数周期，利用周期从而可求得结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以的周期为， 所以． 故选：A． 56．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 57．(25-26高二上·湖北武汉部分学校·模拟)已知函数的定义域为R，满足，若的图像关于直线对称，且，则（   ） A．92 B．-205 C．100 D．-19 【答案】A 【分析】根据对称以及题中条件可得，进而可得，利用赋值可得，，即可代入求解. 【详解】由于的图像关于直线对称，则， 故， 又，故， 因此，， 故 故， 由及可得，，解得 又，故， ， 故选：A 题型十九、幂函数求值与求解析式 58．(23-24高一上·贵州黔南州·期末)已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 59．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 60．(24-25高一上·贵州黔南州·期末)已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1)，图象见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式，并画出图象； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设（为常数），则 ，所以， 所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示. （2）函数在上单调递减.证明如下： 根据题意，得函数，定义域为. ，，且， . 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 题型二十、幂函数的定义域 61．(24-25高一上·湖南长郡十八校·)已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 62．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 63．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 题型二十一、幂函数的值域 64．(21-22高二下·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 65．(23-24高一上·广东佛山顺德区郑裕彤中学·月考)函数的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 66．(23-24高一上·江苏宿迁青华中学·)已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 题型二十二、函数恒成立 67．(25-26高一上·黑龙江龙东联盟·月考)若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分情况讨论，再借助二次函数的图象即可求解. 【详解】因为， 所以当时，恒成立； 当时，，则需； 当时，，则需. 设，则解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：A. 68．已知指数函数（，且）． (1)若函数在上具有奇偶性，求的值； (2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求函数在上的最大值． 【答案】(1)当时，是偶函数；当时，是奇函数． (2) (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出的值，即可得出结论． （2）由函数的单调性得出． 方法一：由参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围； 方法二：令，对参数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出该函数在上的最小值，根据可求得实数的取值范围． （3），则，令，令，其中 ，对实数的取值分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出的表达式． 【详解】（1），则． 若函数为偶函数，则，即， 所以对任意的恒成立，因为，且，， 则，解得． 若函数为奇函数，则， 即对任意的恒成立， 因为，以，解得． 综上，当时，是偶函数；当时，是奇函数． （2）方法一：时，，是上的增函数， 故由得， 因为，且，所以恒成立，所以． 设，令，则， 令， 则函数在上单调递减，所以，故， 即的取值范围为． 方法二：时，，是上的增函数， 故由得， 即对任意的恒成立． 令，则， 若，即，函数在上单调递增， 只需，解得或，因为，所以； 若，即，与矛盾，不符合题意； 若且，即，只需， 解得，与矛盾，不符合题意． 综上，的取值范围是． （3）因为，所以， 令，当时，，令． 当时，在上单调递增，则； 当时，， 若，则函数在上单调递增，则； 若，则，则函数在上单调递增，； 若，则，则． 综上所述， 【点睛】“动轴定区间”型二次函数最值的求法 （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果． 69．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用求参数的值，再检验； （2）利用定义证明函数的单调性； （3）利用函数单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，进一步求解参数的取值范围. 【详解】解：（1）因为的定义域为，且是奇函数, 所以，解得， 此时， 则，满足题意， 所以． （2）由（1）可得，函数在上单调递减，证明如下： 在上任取且， 则， 因为且，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减． （3）因为， 所以， 由（2）可知函数在上单调递减，所以， 即在上恒成立， 则，或， 所以或，即． 所以实数的取值范围为． 70．(24-25高一上·山东日照·期中)已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用单调性定义按照步骤进行证明即可得在区间上单调递增； （2）根据成中心对称图形的充要条件代入解方程组可得对称中心； （3）依题意利用对称中心并对函数的对称轴进行分类讨论，得出两函数对应值域的包含关系解不等式即可得实数m的取值范围. 【详解】（1）函数在上单调递增， 证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （3）因为的图象关于点对称，由题可知：， 任取，则，所以， 故，； 所以在上有解，转化为在能成立， 令，， 所以原问题等价于，； ①当时，不成立； ②时，即，此时， 解得：或，与无交集，舍去； ③当，即时，符合题意， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题中的有解问题关键在于利用对称中心得出两函数在对应定义域内的转化关系，得出相应不等式即可解得实数的取值范围. 题型二十三、函数有解 71．（多选）(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【分析】A选项，令得到，再令得；B选项，令，且得，B正确；C选项，令得，C错误；D选项，两边加1得，由B知，在R上单调递增，故，参变分离的在上有解，求出的最大值为，所以. 【详解】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中，令得 ，故， 故不是奇函数，C错误； D选项，两边加1得 ， 因为，， 所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故， 在上有解， 在上有解， 其中， ，故当，即时，取得最大值， 最大值为，所以， 则取值范围是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，两边加1得到 ，转化为时，有解，再结合函数单调性得到不等式，参变分离进行求解 72．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像， 然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】关于的不等式在上有解， 即关于的不等式在上有解， 作出两函数与的图像，如下图：    当与相切时，则，即， 由，解得：； 当过点时，得. 由图可知，，因此实数的取值范围为. 故答案为： 题型二十四、抽象函数问题 73．已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 74．(23-24高一上·湖北华中科技大学附属中学·月考)定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 75．(24-25高一上·安徽亳州涡阳县·期末)已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 76．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 一、单选题 1．(24-25高一下·海南海口·期末)已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断. 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数是偶函数，A错误； 对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，令，得，则， 令，，得，则，，C错误； 对于D，由为偶函数，得，D正确. 故选：D 二、多选题 2．已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B．是上的单调递减函数 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】根据已知条件，通过赋值法，结合函数单调性、奇偶性定义，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：函数的定义域为，对任意实数满足， 令，得， ，又 ， 令，得， ，解得，故A正确； 选项B：当时，， 设，则，则， ， ，即， ，则在上单调递增，故B错误； 选项C：若为偶函数，则，与，矛盾，故C错误； 选项D：令，则，即， ，即函数为奇函数，故D正确． 故选：． 3．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期末)已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（    ） A．直线是的对称轴 B．在上单调递减 C． D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 【答案】ACD 【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可. 【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数， 所以，则， 即，所以4为函数的一个周期. 对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同， 由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误； 对C, ，则 又，所以，正确； 对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同， 且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确. 故选：ACD 三、填空题 4．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 5．(24-25高一下·吉林白城实验高级中学·期末)已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 6．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 7．(24-25高一上·四川南充·期末)已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式的解集可得，，，再由二次函数的最大值求得，进而可得函数解析式； （2）由题设有，应用分类讨论求解一元二次不等式的解集即可. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，且1和3是方程的两根， ∴，，即，， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴时，， ∴，，， 故函数解析式为. （2）由，得，即， 由得：或， ①当时，即，则或， ②当时，即，则或， ③当时，即，则或， 综上，当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 8．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可； 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数的概念 1 题型二、判断两个函数是否相等 2 题型三、求函数值 2 题型四、函数的定义域 2 题型五、求解函数解析式 3 题型六、函数的单调性 3 题型七、已知函数的单调性求参数 4 题型八、函数的值域 4 题型九、已知函数值或值域求参数 4 题型十、函数的最值 5 题型十一、已知函数最值求参数 5 题型十二、判断函数的奇偶性 6 题型十三、利用函数奇偶性求值 6 题型十四、利用函数奇偶性求解析式 6 题型十五、利用函数奇偶性求不等式 7 题型十六、利用函数奇偶性单调性比较大小 7 题型十七、已知奇偶性求参数 7 题型十八、奇偶性周期性求值 8 题型十九、幂函数求值与求解析式 8 题型二十、幂函数的定义域 8 题型二十一、幂函数的值域 9 题型二十二、函数恒成立 9 题型二十三、函数有解 9 题型二十四、抽象函数问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数的概念 1．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·广东广州第二中学·月考)已知是从集合到集合的函数.如果且，则满足条件的集合的个数是 . 3．(24-25高一上·山东济宁·期末)给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 题型二、判断两个函数是否相等 4．(24-25高一上·浙江嘉兴桐乡茅盾中学·)下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 5．(25-26高一上·河北玉田县第一中学·)下列函数中与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·甘肃甘南藏族合作藏族中学·期末)下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 题型三、求函数值 7．（多选）(24-25高一上·河南九校联盟·月考)若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 9．（1）定义在上的函数满足，求和； （2）定义在上的函数满足，，求． 题型四、函数的定义域 10．(25-26高一上·北京第八十中学·)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一上·浙江精诚联盟·月考)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 12．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型五、求解函数解析式 13．(23-24高一上·浙江宁波六校联盟·期中)已知函数的定义域为，且对任意正实数x，y都成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·吉林通化梅河口博文学校·)根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 15．(24-25高一上·河北三河第一中学·月考)（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 题型六、函数的单调性 16．已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 17．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 18．(25-26高一上·甘肃甘南州临潭县第一中学·)求下列函数的单调区间 (1)； (2)函数的单调递增区间是_____. 19．(24-25高一上·福建莆田第九中学·期中)已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 题型七、已知函数的单调性求参数 20．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．(22-23高一上·上海朱家角中学·月考)已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 22．已知二次函数，且． (1)若函数的图象关于直线对称，求的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 题型八、函数的值域 23．(24-25高二下·江苏徐州·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 24．函数在区间上的值域为 ． 25．函数的值域为 . 题型九、已知函数值或值域求参数 26．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 27．(23-24高一上·福建龙岩·期末)已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 28．(23-24高一下·广东梅州曾宪梓中学·期中)已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 29．(23-24高一上·福建福州鼓山中学·)已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十、函数的最值 30．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 31．已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 32．已知函数， (1)判断函数的奇偶性； (2)若且，求函数在区间上的最大值． 题型十一、已知函数最值求参数 33．(24-25高一上·安徽亳州黉学高级中学·月考)若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 34．(24-25高一上·广东广雅中学·)已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．(24-25高一上·上海闵行区·期末)若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 36．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第六中学校·月考)若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 题型十二、判断函数的奇偶性 37．（多选）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 38．(24-25高一上·广东鹤山纪元中学·期中)已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 39．已知函数． (1)判断的奇偶性与单调性； (2)若，求的解集． 题型十三、利用函数奇偶性求值 40．(25-26高一上·河南南阳六校·月考)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 41．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 42．(24-25高一下·贵州黔南州荔波高级中学·)若函数是上的周期为3的偶函数，且，则 ． 题型十四、利用函数奇偶性求解析式 43．(24-25高二下·浙江学考适应性·月考)已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 44．(24-25高一上·上海嘉定区·期末)已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 45．(24-25高二下·山东烟台莱州第一中学·)若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 46．(24-25高一下·安徽马鞍山第八高级中学·)已知函数为奇函数，且 (1)求的解析式 (2)求证：在区间上单调递增； 题型十五、利用函数奇偶性求不等式 47．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 48．已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（    ） A． B． C． D． 49．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 题型十六、利用函数奇偶性单调性比较大小 50．已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 51．已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型十七、已知奇偶性求参数 52．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 53．设是偶函数，且定义域为，则 ． 54．(24-25高一下·广西北海海城区北京第八中学北海实验学校·期中)已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 ． 题型十八、奇偶性周期性求值 55．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意有成立，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 56．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 57．(25-26高二上·湖北武汉部分学校·模拟)已知函数的定义域为R，满足，若的图像关于直线对称，且，则（   ） A．92 B．-205 C．100 D．-19 题型十九、幂函数求值与求解析式 58．(23-24高一上·贵州黔南州·期末)已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 59．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知幂函数经过点，则的值是 ． 60．(24-25高一上·贵州黔南州·期末)已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 题型二十、幂函数的定义域 61．(24-25高一上·湖南长郡十八校·)已知幂函数的定义域是，则 ． 62．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 63．函数的定义域为 ． 题型二十一、幂函数的值域 64．(21-22高二下·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．(23-24高一上·广东佛山顺德区郑裕彤中学·月考)函数的最大值是 . 66．(23-24高一上·江苏宿迁青华中学·)已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 题型二十二、函数恒成立 67．(25-26高一上·黑龙江龙东联盟·月考)若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 68．已知指数函数（，且）． (1)若函数在上具有奇偶性，求的值； (2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求函数在上的最大值． 69．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 70．(24-25高一上·山东日照·期中)已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 题型二十三、函数有解 71．（多选）(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 72．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ． 题型二十四、抽象函数问题 73．已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 74．(23-24高一上·湖北华中科技大学附属中学·月考)定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 75．(24-25高一上·安徽亳州涡阳县·期末)已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 76．(24-25高一上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 一、单选题 1．(24-25高一下·海南海口·期末)已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 二、多选题 2．已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B．是上的单调递减函数 C．为偶函数 D．为奇函数 3．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期末)已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（    ） A．直线是的对称轴 B．在上单调递减 C． D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 三、填空题 4．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 5．(24-25高一下·吉林白城实验高级中学·期末)已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 四、解答题 6．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 7．(24-25高一上·四川南充·期末)已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 8．(24-25高一上·江西智慧上进期末联考·期末)已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $