5.5 三元一次方程组 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上中下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束,中禾3束,下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组: 3x+2y+z=39， 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26。 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 在这个方程组中，3x+2y+z=39,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26。都含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。 怎样解三元一次方程组呢？ 解二元一次方程组的基本思路是什么？你认为用类似的思路可以求解三元一次方程组吗？请你试一试。 尝试•思考 例.解方程组: 3x+2y+z=39， ➀ 2x+3y+z=34, ② x+2y+3z=26 ③ 解：由➀，得 z=39-3x-2y。 ④ 把④分别代入②③化简，得 x-y=5， ⑤ 8x+4y=91。 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 x= ， y= 。 解：把x= ，y= 代入④，得z= 。 经检验，x= ，y= ，z= 适合原方程组。 x= ， 所以原方程组的解是 y= ， z= 。 （1）在解上面的方程组时，你能用代人消元法先消去未知数x（或y),从而得到方程组的解吗？ （2）你还有其他方法吗？与同伴分享各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系。 尝试•交流 回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流。 尝试•交流 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 尝试•交流 消元 消元 1.一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字,百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2。求这个三位数。 1.解：设个位为x，十位为y，百位为z。 x+z+y=14， ➀ 则 x+z=y， ② 7z-2=x+y。 ③ ➀-②得y=7 ④ 将④分别代入②、③得 x+z=7， 7z-2=x+7。 解得 x=5， z=2。 ∴原方程组的解为 x=5， y=7， z=2。 答：这个三位数为275。 2.解方程组: x+y+z=26， ➀ x-y=1, ② 2x-y+z=18。 ③ 2.解：➀-②，得2x+z=27。 ④ ③-②，得x+z=17。 ⑤ ④-⑤，得x=10。 把x=10代入⑤得 10+z=17，解得z=7。 把x=10代入②得 10-y=1，解得y=9。 ∴原方程组的解为 x=10， y=9， z=7。 1、都含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。 2、像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。 3、三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。 作业一：习题5.5 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$