第3章 勾股定理（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

第3章 勾股定理 单元复习 教学目标 ①‌理解勾股定理的内容‌：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2）； ②‌探索定理的发现过程‌：通过观察几何图形或利用代数方法验证猜想，培养推理能力； ③‌应用定理解决实际问题‌：能够运用勾股定理解决古典名题（如折竹问题、引葭赴岸等）及现代测量问题； ④‌掌握逆定理的应用‌：理解勾股定理逆定理的条件，并能判断三角形是否为直角三角形。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理的数学表达式及其几何意义； （2）勾股定理在解决实际问题中的建模能力、逻辑思维和推理能力。 2.难点 （1）从具体情境中抽象出数学模型（如将折竹问题转化为方程）； （2）培养学生的创新思维能力。 ‌ 知识点01 勾股定理的探究 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 等于斜边的 。 符号语言：如图，在中，，则： 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 。 2.勾股定理的运用： ①已知直角三角形的任意两边长，求 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 ； ③在网格中绘制长度为无理数的 ； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等； ⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。 3.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 4.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 ； ②根据同一种图形的面积 不同的表示方法，列出等式，推导出 。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏·专项）如图，在中，是边上的高，已知，，，则的长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．17 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A．75 B．100 C．120 D．125 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，，平分交于点．求的长． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 5．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 知识点02 勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 ，那么这个三角形是 。 2.勾股数概念：如果三个 a，b，c满足关系： ，则称a，b，c为勾股数。 注意：a，b，c要成为勾股数必须同时满足两个条件：（1）满足a2+b2=c2；（2）a，b，c必须是正整数；这里最易被忽略的是条件（2），千万要注意！ 3.若a，b，c为勾股数，且k为正整数，则ka，kb，kc也为勾股数。 4.常用勾股数：如；；；等。 5. 用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）；2）（为正整数）； 3）（，为正整数）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，，是的三边，则． B．若，，是的三边，则． C．若，，是的三边，，则． D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）在中，，，的对边分别记为a，b，c，根据以下条件，①；②；③；④．其中能判定为直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，，(1)证明：是直角三角形；(2)求的长． 4．（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的．(3)若， 则的面积是 ． 知识点03 勾股定理的简单应用 勾股定理及逆定理将 与 关系有机结合起来，在解决 和 中有着广泛的应用。 1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出 ，建立数学模型； （2）确定所求的线段所在的 三角形；若找不到就添加 构造直角三角形； （3）确定三边，找准 边和 边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2、勾股定理及其逆定理的主要应用： （1）勾股定理的常见实际应用问题：梯子滑动问题、轮船航行问题、信号站（中转站）选择问题、台风（噪音）、爆破问题、超速问题、风吹莲动问题、折竹抵地问题等； （2）解决与勾股定理有关的面积计算。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 2．（24-25八年级下·绵阳市·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；(2)若，求工厂C到B市的距离． 5．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． (1)求的长；(2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 6．（24-25·山东临沂·八年级统考期末）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点、处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． 题型01 勾股定理的相关运算 【典例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【变式2】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，是的斜边上的一点，且，过点D作的垂线，交于点E．若，，则的长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，，分别以、为边作正三角形、，过点作交延长线于点，连接，若，则的长是 ． 【变式4】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在斜边上，连接．若，，则四边形的面积为 ． 题型02 勾股定理逆定理的相关运算 【典例1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若； (1)求证：平分；(2)求点D到直线的距离． 【变式2】（24-25八年级下·湖北·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．(1)求证：；(2)求三角形花园的面积． 【变式3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长； (2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 【变式4】（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 题型03 图形面积与勾股树相关问题 【典例1】（24-25八年级下·海南·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·课后作业）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________；(2)设，，，试判断的形状并说明理由；(3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 【变式4】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 题型04 以弦图为背景的相关计算问题 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ；（4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【变式2】（2025·浙江·三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【变式4】（24-25八年级上·江苏·期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 题型05 勾股定理中的分类讨论和方程思想 【典例1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，于点，且，则的长为__________． 【典例2】（25-26八年级上·广东·周测）在三角形纸片中，，，．将沿过点A的直线剪开，使其变成两个三角形，且其中一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【变式2】（25-26八年级上·湖北·随堂练习）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． (1)当时，_______；(2)当时，的形状是_______三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使． 题型06 勾股定理的证明方法 【典例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】（1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】（3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解：我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明．帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，，∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵，即　　　∴． 【变式2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【变式3】（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【变式4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：         （1）与的位置关系为______．（2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题：已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹） 题型07 勾股定理逆定理的实际应用1（古典名题） 【典例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【变式3】（24-25八年级下·山西·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．    题型08 勾股定理逆定理的实际应用2（现代测量等） 【典例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【变式1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【变式3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【变式4】（25-26八年级上·山东·单元测试）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 题型09 直角三角形的判定与勾股数的探究 【典例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【变式4】（25-26八年级上·成都·课后作业）推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 题型10 勾股定理逆定理的综合证明 【典例1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．(1)求的度数．(2)求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求：(1)的度数．(2)连接，求的长． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 【变式3】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．(1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．    题型11 勾股定理与折叠问题 【典例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式3】（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 题型12 勾股定理与最短路径问题 【典例1】（24-25八年级下·山东阶段练习）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·成都·阶段练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 题型13 在网格中判断直角三角形（或构造直角三角形） 【典例1】（25-26七年级上·江苏·课后作业）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)求图1中的面积；(2)图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为的格点； ②的面积是_________．(3)如图3，已知，以为边向外作正方形，连结．若，求六边形的面积． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，连接、，以为圆心，为半径画弧交 于点，则的度数为 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形：(1)在图①中，以线段为边画正方形，该正方形的面积为______； (2)请在图②中画出一个直角三角形（顶点均在格点上），其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数． 【变式3】（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）如图，每个小正方形的边长为2，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 题型14 用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 【典例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段；②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使；③在线段上任取一点，设；④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【变式3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 题型15 利用勾股定理证明线段的关系（含平方、根号） 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，． (1)如图1，求的长；(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：；(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如下图，在四边形中，，连接交于点．(1)若，试说明：．(2)若，，，求的面积． 【变式3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）（1）在中，，为边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到． ①如图1，线段、、之间的数量关系为______； ②如图2，于点，延长至点，使，以为底边作等腰，连接，请判断、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图3，，连接，求的值． 【变式4】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）【问题探究】（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图，四边形中，，，，，，求的值． 1．（24-25八年级上·江苏·期末）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（   ）． A．3、4、5 B．3、5、7 C．9、12、15 D．8、15、17 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 5．（2025·广东深圳·三模）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则的长为（      ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 9．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，在中，．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则 ． 10．（24-25八年级下·成都·期中）已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 12．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 13．（2025·江西宜春·三模）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为 ． 14．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 15．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，点、、、A是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则点表示的数是 ． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    17．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究：八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度；(2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．(3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 19．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】(1)在一直角三角形中：①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 20．（24-25八年级下·云南昆明·期末）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】(1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长；(3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 22．（24-25八年级下·湖北·期末）如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 单元复习 教学目标 ①‌理解勾股定理的内容‌：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2）； ②‌探索定理的发现过程‌：通过观察几何图形或利用代数方法验证猜想，培养推理能力； ③‌应用定理解决实际问题‌：能够运用勾股定理解决古典名题（如折竹问题、引葭赴岸等）及现代测量问题； ④‌掌握逆定理的应用‌：理解勾股定理逆定理的条件，并能判断三角形是否为直角三角形。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理的数学表达式及其几何意义； （2）勾股定理在解决实际问题中的建模能力、逻辑思维和推理能力。 2.难点 （1）从具体情境中抽象出数学模型（如将折竹问题转化为方程）； （2）培养学生的创新思维能力。 ‌ 知识点01 勾股定理的探究 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 。 符号语言：如图，在中，，则： a2+b2=c2 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 直角三角形 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 斜边 。 2.勾股定理的运用： ①已知直角三角形的任意两边长，求 第三边 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 数量关系 ； ③在网格中绘制长度为无理数的 线段 ； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等； ⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。 3.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 4.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 割补 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变 ； ②根据同一种图形的面积 两种 不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理 。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏·专项）如图，在中，是边上的高，已知，，，则的长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．17 【答案】D 【详解】解：是边上的高 在中，，，， ，， 在中，，， 故答案选：D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A．75 B．100 C．120 D．125 【答案】B 【详解】解：∵平分平分，∴， ， 即，∴为直角三角形， 又∵，平分平分，∴ ∴，由勾股定理可知．故选B． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，，平分交于点．求的长． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，，，∴，∴， ∵平分，，，∴， ∴，解得． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：4 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ，即 故答案为： 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2，即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得：； ； 又；；即 又，，；，；故答案为：4 5．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【答案】(1)；；；17(2)96 【详解】（1）解：①明：∵中间小正方形的边长为，∴小正方形的面积为． 又∵四个直角三角形的面积为：，∴大正方形的面积为：． ②又∵大正方形的边长为，∴大正方形的面积还可以表示为， ③ ④∵，， 故答案为：；；；17； （2）解：设， ∵外围轮廓（实线）的周长为48， 则． 在中，解得，即，． 知识点02 勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是 直角三角形 。 2.勾股数概念：如果三个 正整数 a，b，c满足关系： a2+b2=c2 ，则称a，b，c为勾股数。 注意：a，b，c要成为勾股数必须同时满足两个条件：（1）满足a2+b2=c2；（2）a，b，c必须是正整数；这里最易被忽略的是条件（2），千万要注意！ 3.若a，b，c为勾股数，且k为正整数，则ka，kb，kc也为勾股数。 4.常用勾股数：如；；；等。 5. 用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）；2）（为正整数）； 3）（，为正整数）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，，是的三边，则． B．若，，是的三边，则． C．若，，是的三边，，则． D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 【答案】D 【详解】解：A、未限定为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意； B、虽指明，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足；若c为直角边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意； C、已知，则a为斜边，应满足，而非，故错误，不符合题意； D、由变形得，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正确，符合题意．故选D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）在中，，，的对边分别记为a，b，c，根据以下条件，①；②；③；④．其中能判定为直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵，∴，∴能判定为直角三角形； ②∵，且，∴最大角为， ∴不能判定为直角三角形； ③∵，∴，∴， ∴最大角为，∴能判定为直角三角形； ④∵，∴设（）， ∴，∴，∴能判定为直角三角形． ∴能判定为直角三角形的有①③④，共3个．故选：C． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，，(1)证明：是直角三角形；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，， ，是直角三角形； （2）解：是直角三角形，， ， 4．（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 【答案】(1)小路的长为；(2)12秒． 【详解】（1）解：∵， ∴在中， ，∴小路的长为； （2）如图所示：过B作， 当小狗在小路上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ∵，∴，即， ∴，则， 即，， ∵由题意可得：，则， 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的．(3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1)(2)见解析(3)24 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，．故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得，则，即． ∵，∴； （3）∵，∴，∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设，由（2），得， ∴，解得，∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴．故答案为：24． 知识点03 勾股定理的简单应用 勾股定理及逆定理将 图形 与 数量 关系有机结合起来，在解决 实际问题 和 几何应用 中有着广泛的应用。 1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出 几何图形 ，建立数学模型； （2）确定所求的线段所在的 直角 三角形；若找不到就添加 辅助线 构造直角三角形； （3）确定三边，找准 直角 边和 斜 边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2、勾股定理及其逆定理的主要应用： （1）勾股定理的常见实际应用问题：梯子滑动问题、轮船航行问题、信号站（中转站）选择问题、台风（噪音）、爆破问题、超速问题、风吹莲动问题、折竹抵地问题等； （2）解决与勾股定理有关的面积计算。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中，答：小鸟至少飞行米，故选：C． 2．（24-25八年级下·绵阳市·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2) 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：如图所示，过点C作于D， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∵，∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，∴， ∵台风中心移动的速度为，且，∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米(2)珍珍的观点正确，见解析 【详解】（1）解：∵，∴．在中，， 由勾股定理得，即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵，∴． 在中，由勾股定理得． ∵，，，∴， ∴，即，∴是垂线段，∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；(2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，，．且， ∴，∴，根据垂线段最短，∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则，根据勾股定理，得，解得， 答：工厂C到B市的距离为． 5．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． (1)求的长；(2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， ∴在中，； （2）解：在中，，， ， ． 6．（24-25·山东临沂·八年级统考期末）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点、处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． 【答案】乙船南偏东方向航行，理由见解析 【详解】解：由题意得，（海里），（海里）， 在中，∵，， ∴，∴是直角三角形，且， ∴，∴乙船南偏东方向航行． 题型01 勾股定理的相关运算 【典例1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理推出，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理：，，， ∴， 故答案为：34． 【变式1】（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：过作， ，，， ∵是线段上的动点（不含端点、）．，或4， ∵线段长为正整数，∴可以有三条，长为4，3，4，∴点的个数共有 3 个，故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，是的斜边上的一点，且，过点D作的垂线，交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，连接， ∵是的斜边，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴在中，，故答案为：13． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，，分别以、为边作正三角形、，过点作交延长线于点，连接，若，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵均为等边三角形，∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在斜边上，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，，， ∵，∴，即， 在和中，，∴； ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形的面积，故答案为：． 题型02 勾股定理逆定理的相关运算 【典例1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】66 【详解】解：∵，∴，∵，，∴， ∵，，，∴，∴是直角三角形，∴， ∵，，∴，， ∴， ∵，， ∴，故答案为：66． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，是三角形的高线，直线交于点，交于点，若； (1)求证：平分；(2)求点D到直线的距离． 【答案】(1)证明见解答(2)3 【详解】（1）证明：中，，，， ，是直角三角形，， ，，，， 是三角形的高线，，， ，平分； （2）解：过点作于，平分，，设点到直线的距离是， 则，解得．故点到直线的距离是3． 【变式2】（24-25八年级下·湖北·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．(1)求证：；(2)求三角形花园的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：∵ ∴，∴， ∴是直角三角形，且，∴； （2）解：设，则，∵，∴， ∴，解得：，即的长为，∴， ∴三角形花园的面积为． 【变式3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长； (2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3， ∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，∴BN=； （2）解：∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点， ∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG． ∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD， ∴EC2=DE2+DB2，∴4NG2=4MN2+4FM2，∴NG2=MN2+FM2，∴点M，N是线段FG的勾股分割点． 【变式4】（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴， ∴为直角三角形，，如下图，过点作于点， ∵，∴，解得， 根据题意，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形， 连接，如图，则，∵，∴， ∴，∴当时，的长取最小值， 此时，∴四边形为矩形， ∴，∴长的最小值为．故答案为：． 题型03 图形面积与勾股树相关问题 【典例1】（24-25八年级下·海南·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【详解】解：∵一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形， ∴“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为；……；∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·课后作业）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【答案】（1）①12  13  ②24  25  ③40  41  （2） 【详解】解：（1）①∵，，∴5，12，13是一组勾股数； ②∵，，∴7，24，25是一组勾股数； ③∵，，∴9，40，41是一组勾股数； 故答案为：12，13；24，25；40，41 （2）由（1）可知一般规律的表达方式：n，，(n为奇数，且 )． 证明：；， ∴，即n，，(n为奇数，且 )是一组勾股数． 【变式3】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________；(2)设，，，试判断的形状并说明理由；(3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)或(2)是直角三角形，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①当，为直角边时：，； ②当为斜边时：，， 综上所述，或，故答案为：或； （2）是直角三角形 理由：； 是直角三角形 （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为， 是以为斜边的直角三角形，， ，，． 【变式4】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【答案】(1)12，16，20；，， (2)9，40，41；，， (3)10，24，26；，， 【详解】（1）解：由题意可得：勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （2）解：由题意可得：勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （3）解：由题意可得： 勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：，，．（，且n为正整数） 题型04 以弦图为背景的相关计算问题 【典例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ；（4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）∵，， ∴∴ （2）∵，∴；∴；故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且，，， 这个风车的外围周长是，故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形， 设，，，，， ，， 矩形的面积为， 解得：或，或，当时，，当时，， ．故答案为：． 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【详解】解：一个直角三角形的面积为．故选：C． 【变式2】（2025·浙江·三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：正方形，， 正方形，，，M是的中点，， 在和中，，，，， 由题意可知，，，，， ，，，，， ，，设，则，， 在中，，，解得：，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示：根据题意，得，， ∵，∴，即，∴，∴， ∴这个风车的外围周长是．故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·江苏·期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】10 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，∴， ∵朱入与朱出的三角形全等，∴，∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，∴， ∴，∴阴影部分面积为 ， ∵，，∴，即阴影部分的面积为10．故答案为：10． 题型05 勾股定理中的分类讨论和方程思想 【典例1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，于点，且，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，，由勾股定理可知，，， 同理，在中，由勾股定理可知，， ，代入得， ，解得，，故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·广东·周测）在三角形纸片中，，，．将沿过点A的直线剪开，使其变成两个三角形，且其中一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 【答案】或 【详解】解：若是等腰三角形，则， ，； 若是等腰三角形，则，设，则， ，，，解得，， ；故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【答案】10 【详解】解：设，,∴， 由勾股定理得即，解得，∴，故答案为：10． 【变式2】（25-26八年级上·湖北·随堂练习）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，，∴ ∴∴是直角三角形； （2）解：连接，∵是的垂直平分线，∴，∴设，则， ∵在中，，∴，∴，∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，，∴或， 由折叠可知：，∴， 当时，在中，由勾股定理得：，∴，∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴，∴；综上所述：的长为3或；故答案为：3或． 【变式3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． (1)当时，_______；(2)当时，的形状是_______三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使． 【答案】(1)(2)等腰(3)当或时， 【详解】（1）解：当时，，则， ∴．故答案为：． （2）解：当时，，∴，即点C是的中点， ∵，∴是的垂直平分线，∴， ∴的形状是等腰三角形．故答案为：等腰． （3）解：，， 根据勾股定理，得， 当点在上时， ，，， 设，，∴在中，， ∴，解得：，，∴，解得：． 如图：当点在的延长线上，，， ∴，．设，， 在中，，∴，解得：， ，，解得．综上，当或时，． 题型06 勾股定理的证明方法 【典例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【材料学习】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】（1）材料中的方法体现的数学思想是______； A.函数思想　　B.分类讨论思想　　C.数形结合思想　　D.整体思想 （2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】（3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想，故答案为： C；                      （2）如图，∵∴ 又 ∴∴，∴． （3）∵，∴，∵，∴，∴， 过点作于点，∴， 在和中，，∴，解得： 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解：我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明． 现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明．帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．      已知：中，，，，，，D、C、A共线． 求证：． 证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式． 证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M， ∵，，∴　　　　　　． 请你利用，计算． ∵，即　　　∴． 【答案】见解析 【详解】证明：如图1，∵， ∴，，，． ∴（用a，b表示面积）． 如图2，延长交于M，∵，，∴． ∵，即 ∴∴即∴． 【变式2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接，由题意，得，， ， ，化简得． 【变式3】（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴，∴． ∵，∴，∴． ∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为， ∴，∴，化简，得． 【变式4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：         （1）与的位置关系为______．（2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题：已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析； 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：，， ，，， ，，故答案为：；, （2）∵， ，故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， ∴，即． 问题再探：解：如图，即为所求；    题型07 勾股定理逆定理的实际应用1（古典名题） 【典例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【答案】/ 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：，则，解得：， 答：木柱长为尺．故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 【答案】A 【详解】解：设折断处离地面的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得：，∴，解得：， 即折断处离地面的高度为3米．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【详解】解：丈尺，设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：，解得，芦苇的长度为，故选D． 【变式3】（24-25八年级下·山西·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．    【答案】 【详解】解：如图，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长有（x-4）尺，    在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-4）2=x2，解得，x=14.5,故答案为：14.5． 题型08 勾股定理逆定理的实际应用2（现代测量等） 【典例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【答案】(1)是，见解析；(2)观景台与观景台之间距离的长为． 【详解】（1）在中，∵，， ；； ∴∴，即 根据垂线段最短，∴是露营区到湖边的最短路径； （2）∵∴ ∴在中，由勾股定理得解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 【变式1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米 【详解】解：∵米，米，米， ∴，∴是直角三角形，， 在中，∵米，米， ∴米，∴米， 答：条河的宽度为米． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为(2)此时物体C升高了 【详解】（1）解：根据题意得． ，， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了，即，， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为，， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 【变式3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1)(2)小丽在家能听到广播，计算见解析(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【详解】（1）解：， 又，，是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形，，，解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，，根据勾股定理，， ；移动广播车的速度为10米／秒，秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 【变式4】（25-26八年级上·山东·单元测试）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【详解】（1）解：∵两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，， ∴，，，∴（海里）， 答：，两点之间的距离为海里； （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ∵，∴（海里）， 答：该轮船行驶的最短距离为海里． 题型09 直角三角形的判定与勾股数的探究 【典例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，∴是直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴，∴∴是直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴设， 又∵，，∴是直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴，∴不是直角三角形，故D符合题意．故选D． 【变式1】（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13 【答案】A 【详解】解：A、都不是整数，不符合勾股数定义，符合题意； B、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； C、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； D、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意；故选A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61(2)和 【详解】（1）解：∵，∴下一组勾股数为：11、60、61；故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵，，∴， 又∵，且为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：和． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，数10是“完美勾股数”，故答案为：是； （2）证明： ，，是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：，， ，， ，， 又，，即，， 有一个因式为，，∴另一个因式为． 【变式4】（25-26八年级上·成都·课后作业）推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）解：图②中，；图③中，，故答案为：，； （2）解：如图①，作边上的高，垂足为． 设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得．因为，所以． 如图②，作边上的高，垂足为．设，则在和中， 由勾股定理，得，整理，得．因为，所以． （3）解：如图①，设，则．同（2）可得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为． 题型10 勾股定理逆定理的综合证明 【典例1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．(1)求的度数．(2)求的面积． 【答案】(1)(2)15 【详解】（1）解：∵等边，∴． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，∴是等边三角形．∴； ∵，∴． 在和中，，∴．∴， ∵，∴是直角三角形，． ∴． （2）作，交延长线于点H， ∵， ∴边上的高就是，∴． 【变式1】（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求：(1)的度数．(2)连接，求的长． 【答案】(1)的度数是(2)的长是 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，∴， ∵在，，∴，解得：， ∵，，∴， ∴是直角三角形，， ∴，∴的度数是． （2）解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵由（1）得：，∴，∵，∴，， ∵在中，，∴，∵，∴， ∴在中，，∴的长是． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 【答案】 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形，∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ 且 ，∴ 是等边三角形，∴ ，； 在 中，，，，∵ ，即 ， ∴ 是直角三角形，，∴ ， 又∵ ，∴ ．故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．(1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．    【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴线段能组成直角三角形； （2）解：．理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点，∴， 又∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴， ∴在中，， ∵，∴，∵，∴，即． 题型11 勾股定理与折叠问题 【典例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点，．由折叠的性质，得． 设，则．在中，由勾股定理得， ．解得．．故答案为： （2）连接，，当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ，在中，由勾股定理得． 设．由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得，．解得 线段的值最小时，的长度为．故答案为： 【变式1】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：由折叠知，，∵D是的中点，，∴， 设，∵，则， 在中，，由勾股定理，得，解得，∴．故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：，，，， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得解得， 的面积，故选：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 设，，， 沿翻折，点A与点B重合，， 在中，，，，即， 解得．故选：B． 【变式4】（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是长方形，，，，， 由折叠的性质得：，，， 设，则，在中，由勾股定理得：， 即，解得：，故答案为：． 题型12 勾股定理与最短路径问题 【典例1】（24-25八年级下·山东阶段练习）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【详解】解：将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径， 过B作于点D，则， 在中，由勾股定理得：， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为，∴圆柱的底面周长为，∴． ∵，．∴，在中，，即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是．故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·成都·阶段练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，，所以，所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故答案为：15． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【详解】解：展开后图形是：∵底面周长为12cm，高18cm，∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（），故答案为：30． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 【答案】这只蚂蚁的最短行程是 【详解】解：如图，将墙面展开与地面处于同一平面内，过点P作于点G，连接． 由题意，得，∴由勾股定理，得． ∵，∴由勾股定理，得，∴． 故这只蚂蚁的最短行程是． 题型13 在网格中判断直角三角形（或构造直角三角形） 【典例1】（25-26七年级上·江苏·课后作业）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)求图1中的面积；(2)图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为的格点； ②的面积是_________．(3)如图3，已知，以为边向外作正方形，连结．若，求六边形的面积． 【答案】(1)(2)①图见解析②8(3)31 【详解】（1）解：； （2）①如图，即为所求； 由图和勾股定理，得：，符合题意； ②； （3）由题意，将六边形放入由边长为1的小正方形组成的网格中，如图： ∴ ． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，连接、，以为圆心，为半径画弧交 于点，则的度数为 ． 【答案】45° 【详解】解：如图所示，连接，∵ ∴∴是等腰直角三角形，∴故答案为：45°． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形：(1)在图①中，以线段为边画正方形，该正方形的面积为______； (2)请在图②中画出一个直角三角形（顶点均在格点上），其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：如图①，正方形即为所求． 由勾股定理得，，该正方形的面积为，故答案为：； （2）解：如图②，即为所求；由题意知，，，， ∵，∴为直角三角形． 【变式3】（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）如图，每个小正方形的边长为2，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【详解】解：连接，如图所示： ∵每个小正方形的边长为2，∴，， ∴，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：． 题型14 用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 【典例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5(2)20(3)①见解析，；② 【详解】（1）解：①在中，， 在中，，故答案为：，； ②连接，由①得，而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形，∴，， 在中，， ∴的最小值为5，即的最小值是5；故答案为：5； （2）解：如图，设，，，，则， 在中，，在中，； ∴，而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为20， 即的最小值为20．故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵，∴的最小值为，∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴，，， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵， ∴以，，为边的三角形的面积为，故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F， 设，， 当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值， ，， ，，（平行线间距离相等）， 同理得：，中，，， ，代数式最小值为5， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段；②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使；③在线段上任取一点，设；④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得，∴， 为最小值，即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得，；∴， 由（1）中得方法知的最小值为，即的最小为17． 【变式3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 【答案】(1)5(2)10(3) 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，，∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形：其中，，，，于点， ∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，所以的值为． 题型15 利用勾股定理证明线段的关系（含平方、根号） 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，． (1)如图1，求的长；(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【答案】(1)(2)；见解析(3)或 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵，∴，∴，∴，设， 在中，，， ∵，∴，∴，在中． （2）∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，同理，∴， 在中，，在中，，∴ （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，即，∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， ∵，∴，∴， 综上，当点到直线的距离等于时，或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：；(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，D是的中点，∴， ∵，∴，∴，由题意得：， ∴，∴，∴； （2）解：，理由如下：∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如下图，在四边形中，，连接交于点．(1)若，试说明：．(2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：，． ，，． （2）（2）如图，过点A作，垂足为F． ，，． ，，， ，，． 【变式3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）（1）在中，，为边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到． ①如图1，线段、、之间的数量关系为______； ②如图2，于点，延长至点，使，以为底边作等腰，连接，请判断、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图3，，连接，求的值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2） 【详解】解：（1）①，理由如下：连接，如图所示： 由旋转得，，∴，即， ∵∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴；故答案为：； ②，理由如下：连接、． ∵   ∴ ∵由旋转得， 又∵   ∴ ∵在与中，∴≌   ∴ ∵，∴∴ ∵在与中，∴≌   ∴ ∵由①得，   ∴   ∴ （2）方法一：将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转得，   ∴ 又∵   ∴   ∴ ∴   ∴ 方法二：过点作于点，交的延长线于点，连接． ∵   ∴ ∵   ∴ ∴≌，∴    ∴   ∴∴   ∴． 【变式4】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）【问题探究】（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图，四边形中，，，，，，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2），见解析；（3）． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，，， 在和中，，，； （2）解：如图所示，在的外部作，使，，连接、， ，，，， 在和中，，，，， ，，， ，，， ，，； （3）解：如图所示，，，是等边三角形， ，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，连接， 则，，是等边三角形，，， 由旋转得，，， ，，．故答案为：． 1．（24-25八年级上·江苏·期末）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（   ）． A．3、4、5 B．3、5、7 C．9、12、15 D．8、15、17 【答案】B 【详解】解：A、，长为3，4，5的三条边，能组成直角三角形，选项A不符合题意； B、，长为3，5，7的三条边，不能组成直角三角形，选项B符合题意； C、 ，长为9、12、15的三条边，能组成直角三角形，选项C不符合题意； D、，长为8，15，17的三条边，能组成直角三角形，选项D不符合题意．故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：根据折叠可得，，设，则， 在中，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，解得，故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点，∴，由折叠得，，设，则， 在中，，∴，解得，∴，故选：． 4.（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米，即门铃恰好自动响起，则的长为4米，故选：C． 5．（2025·广东深圳·三模）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设图中八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ，， ，即，，故选：A． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴，∴， ∵在中，，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，解得或（负值舍去）．故选：B． 7．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵和都是等腰直角三角形，∴，，， ∴，即，∴，故结论①正确； ∵，∴，∴，故结论②正确； ∵，∴，， ∵，，∴，，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，∴，故结论③正确； ∵在中，，在中，，∴， ∵，，∴，故结论④正确．综上，正确的结论有4个．故选：D 8．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 【答案】A 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点 ∴，，分三种情况讨论， ①如下图，∵，∴； ②如下图，过点作于点，则， ∵，∴； ③如下图，∵，∴． ∵，∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10．故选：A． 9．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，在中，．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则 ． 【答案】9 【详解】解：在中，，则 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则, 故答案为：9． 10．（24-25八年级下·成都·期中）已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 【答案】5或 【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况： ①边长为4的边为斜边，此时，则，得； ②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则，得． 综上，或5．故答案为：5或． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上取点E，使得，连接，， ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，过点C作于点H，∴， ∵在中，，，∴， ∵，即，∴， ∴，∴的最小值为．故答案为： 12．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 13．（2025·江西宜春·三模）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 14．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺，在中，，解之得， ∴水深为(尺)．故答案为：12． 15．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，点、、、A是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为3，∴，， ∵，∴，∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点F表示的数为．故答案为：． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 17．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究：八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度；(2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米(2)风筝的牵引线的长是41米 【详解】（1）解：∵，∴， 在中，由勾股定理得：，， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得： ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．(3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：作出的共边直角三角形如图1所示，即为所求作的三角形； （2）解：取的中点O，连接、， 由勾股定理得，， ∵，点O为的中点，∴，，∴， 又∵，∴，∵，， ∴，即，解得，，∴； （3）证明：分别延长、交于点F，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 又∵，∴，又∵，∴平分． 19．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】(1)在一直角三角形中：①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②；(2)1． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，∴，， ∵，∴，解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，，∴，∴（负值舍去）， ∵∴，解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵，∴、是直角三角形， ∵，，∴，∵，， ∴，即，∴，∴． 20．（24-25八年级下·云南昆明·期末）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】(1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 【答案】(1)边上的高为(2) 【详解】（1）解：如图，作边上的高， ，， ，，解得， （2）过点C作于点F，如图3，∵是边的中线，∴， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即，得：，， ，， ，即， ． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长；(3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析(2)见解析，25千米(3)5 【详解】（1）证明：如图， ∵∴，，，∴， ∴梯形的面积，四边形的面积，的面积， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ，化简得； （2）解：过作于，，，， 四边形是长方形，，，千米，千米，千米， 千米，（千米）， 作点关于直线的对称点，则，，∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形，则千米，千米， （千米），（千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则∴，， ∴，∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形，∴，， ∴，∴， ∴的最大值，最大值为． 22．（24-25八年级下·湖北·期末）如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)，见解析 【详解】（1）解：由旋转可知，，． ，，是等边三角形，∴，， ∵，． 在和中，，，，， ，即．故答案为：，； （2）解：．∵，，∴， 由旋转可知，，，，． 在和中，，，， ， ∴，∴， ∵，，∴，∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$