专题07 双曲线的方程及其几何性质11大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题07 双曲线的方程及其几何性质11大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双曲线的定义及其应用 1 题型二、双曲线的标准方程（重） 2 题型三、双曲线的焦点三角形（重） 4 题型四、双曲线中的最值与范围 7 题型五、双曲线的几何性质 10 题型六、根据a,b,c齐次式求双曲线的渐近线 12 题型七、求双曲线的离心率（重） 15 题型八、求双曲线离心率的取值范围 19 题型九、与双曲线有关的轨迹方程问题 21 题型十、双曲线的实际问题 24 题型十一、双曲线的综合问题（难） 28 B综合攻坚・能力跃升 33 题型一、双曲线的定义及其应用 1．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 4．已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 题型二、双曲线的标准方程 5．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为 ． 6．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 7．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 8．设是等轴双曲线右支上一点，是左、右焦点，若，，则该双曲线的方程为 ． 9．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、双曲线的焦点三角形 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 11．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上不同于长轴顶点的一点，当最大时，为等边三角形.记的外接圆为圆，当时，圆的面积为（   ） A． B． C． D． 13．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C上，若，则 ． 14．双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 题型四、双曲线中的最值与范围 15．已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 16．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 17．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 18．如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 题型五、双曲线的几何性质 19．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 20．已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 21．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 22．（多选）若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则（    ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的渐近线夹角的正切值为 D．的实轴长是虚轴长的倍 23．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 题型六、根据a,b,c齐次式求双曲线的渐近线 24．双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 25．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 26．过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 27．双曲线左右焦点为，在双曲线上存在一点，使且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 28．过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ． 题型七、求双曲线的离心率 29．已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 32．已知双曲线的焦点三角形的内切圆圆心为，重心为，则双曲线的离心率为 ． 33．双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，若为正三角形，则该双曲线的离心率为 ． 34．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为 ． 题型八、求双曲线离心率的取值范围 35．已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 38．已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 题型九、与双曲线有关的轨迹方程问题 39．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 40．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A．长轴长为2的椭圆的一部分 B．长轴长为的椭圆的一部分 C．实轴长为2的双曲线的一部分 D．实轴长为的双曲线的一部分 42．（多选）已知是异于点的动点，且满足（表示斜率），动点的轨迹加上点构成曲线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线的离心率为 B．当时，曲线有渐近线，且渐近线方程为 C．当时，直线被曲线所截得的弦长为 D．当时，设点，过原点的直线与曲线交于两点，则面积的最大值为 43．动点在圆上运动，已知定点，则线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ 题型十、双曲线的实际问题 44．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 45．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（    ）    A． B． C． D． 46．某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 47．某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．    (1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ (2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． (3)有多少株树苗沿PB运输较近？ 题型十一、双曲线的综合问题 48．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 49．如图所示，是双曲线右支上一点，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 50．（多选）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，，是双曲线的实轴的顶点，，是虚轴的顶点，，是左、右焦点，在双曲线上且直线过右焦点，并且轴．以下几个选项中说法正确的是（   ）    A．双曲线是黄金双曲线 B．若，则该双曲线是黄金双曲线 C．若，则该双曲线是黄金双曲线 D．若，则该双曲线是黄金双曲线 51．（多选）已知曲线其中则（   ） A．存在使得为两条直线 B．不存在使得为圆 C．若为双曲线，则越大，的离心率越大 D．若为椭圆，则越大，的离心率越小 52．（多选）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（   ） A．点到Γ的渐近线的距离为2 B．直线，的斜率之积为2 C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条 D．若直线l过点A，且，则 1．已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 3．已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 5．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（    ） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 6．（多选）已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（   ） A． B．为直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为2 8．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 9．已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 双曲线的方程及其几何性质11大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双曲线的定义及其应用 1 题型二、双曲线的标准方程（重） 2 题型三、双曲线的焦点三角形（重） 4 题型四、双曲线中的最值与范围 7 题型五、双曲线的几何性质 10 题型六、根据a,b,c齐次式求双曲线的渐近线 12 题型七、求双曲线的离心率（重） 15 题型八、求双曲线离心率的取值范围 19 题型九、与双曲线有关的轨迹方程问题 21 题型十、双曲线的实际问题 24 题型十一、双曲线的综合问题（难） 28 B综合攻坚・能力跃升 33 题型一、双曲线的定义及其应用 1．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 3．已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 4．已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 【答案】C 【详解】解：因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2， 又因为， 所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支． 故选：C 题型二、双曲线的标准方程 5．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由已知，为双曲线的一个焦点，即焦点在轴上，所以， 由，得，所以， 由，得，解得． 故答案为：． 6．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】过点，可知所求双曲线的焦点在轴上，且， 因为所求双曲线与双曲线的离心率相等； 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为． 故答案为：. 7．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 8．设是等轴双曲线右支上一点，是左、右焦点，若，，则该双曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】由题知双曲线的标准方程为，则， 又，，则，， 所以，即， 整理得到，解得，所以双曲线的方程为， 故答案为：. 9．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 题型三、双曲线的焦点三角形 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    11．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题易知，又，又，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 故选：C. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上不同于长轴顶点的一点，当最大时，为等边三角形.记的外接圆为圆，当时，圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当点是的上、下顶点时，最大，此时为等边三角形， 则，即，故椭圆的离心率为. 当时，设圆的半径为，由正弦定理可知， 又，故圆的面积为. 故选：A. 13．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C上，若，则 ． 【答案】 【详解】设，，，因为， 所以，所以， 即， 在中，由余弦定理得， 两式联立得，，又， 又， 所以，即． 故答案为：.    14．双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 【答案】或 【详解】由题可知三点共线， 三点共线，如图，连接，， 设，则，因为，所以， 又，所以，， 所以，， 所以，得， 则． 故答案为： 题型四、双曲线中的最值与范围 15．已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 16．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 17．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    18．如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【详解】因双曲线为，则. 为双曲线上一点，当在左支上时，由双曲线定义可得: , 当且仅当三点共线时取等号； 当在右支上时，， 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 又，则的取值范围为． 题型五、双曲线的几何性质 19．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为， 右焦点到其渐近线的距离为. 故选：B. 20．已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为， 故选：A 21．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 22．（多选）若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则（    ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的渐近线夹角的正切值为 D．的实轴长是虚轴长的倍 【答案】AC 【详解】由题意，，则， 所以，则，即， 所以，故A正确； 而，所以， 所以渐近线方程为或， 即或，故B错误； 当两条渐近线其中一条渐近线的斜率为时，设其倾斜角为，则， 而两条渐近线夹角的正切值为， 当两条渐近线其中一条渐近线的斜率为2时，设其倾斜角为，则， 而两条渐近线夹角的正切值为， 而，则实轴长是虚轴长的2倍，故D错误. 故选：AC. 23．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，其焦点坐标为， 对于双曲线，可得，其焦点坐标为， 故， 此时，则其渐近线方程为. 故选：D 题型六、根据a,b,c齐次式求双曲线的渐近线 24．双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 又，则的横坐标为， 根据对称性不妨设在轴上方， 由，解得，则， 于是，故， 即，，化简可得， 于是，即， 故渐近线方程为：. 故选：B 25．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，焦距均为， ，，，则，， 由题意可得：， 因为，则， 可得，即， 又因为，即，可得，解得， 可得，且双曲线的焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 26．过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对称性，不妨设，另一个焦点为，连接， 也不妨设l与渐近线垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，且l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 则由对称性可知，，又， 所以有， 因此由对称性可知渐近线的斜率， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 27．双曲线左右焦点为，在双曲线上存在一点，使且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】延长交另一支于，连接，由于双曲线关于原点成中心对称， 所以为平行四边形，所以，， 设，，在中，由余弦定理得①， 由双曲线定义可得，即②， 由①-②整理可得， 在中由余弦定理得③， 由③-②整理可得， 所以，即，所以渐近线方程为． 故答案为： 28．过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】如图，取双曲线的左顶点为点，连接，因直线过原点， 得四边形为平行四边形， 则，设点，因， 又由可得代入上式，化简可得，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 题型七、求双曲线的离心率 29．已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线左焦点为，连接，因为，，所以三点共线，A、B分别在双曲线两支上，且，，根据双曲线的定义可知，，，在和中，由余弦定理可得， ， 又，整理化简可得，所以， 故选：D．    30．设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作， 由题意知． 因为，所以四边形为正方形， 得． 由双曲线的定义可得， 即，所以， 得． 又因为，所以， 得，． 在中，，得到， 所以． 故选：A．    31．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 32．已知双曲线的焦点三角形的内切圆圆心为，重心为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【详解】因为焦点三角形的内切圆圆心为，所以内切圆半径为. 如图，设点在右支上，， 设，则由三角形重心为，可得，解得，所以， 则 解得． 故，从而， 即，可得． 故答案为：. 33．双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，若为正三角形，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图3，利用双曲线定义，设，    由得，，， 在中，由余弦定理得， 即，故． 故答案为：. 34．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】假设点在第二象限，如图，设，则． 由双曲线的定义得，． 因为，所以在中，， 即，整理得， 所以，， 故在中，，即， 整理得，所以．又，所以．    故答案为：. 题型八、求双曲线离心率的取值范围 35．已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式， 得点到直线的距离，点到直线的距离. 因，则. 由 ,则. 故选：C． 36．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 37．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设点，其中，易知点，且有， 则. 因为，所以在第一或第三象限，由双曲线的对称性， 不妨令点在第一象限，则， 则，且， 由基本不等式可得， 所以存在点，使得直线PA，PB的斜率之和为， 即，所以． 故答案为：． 38．已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，    则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 故答案为： 题型九、与双曲线有关的轨迹方程问题 39．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 40．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B.    41．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A．长轴长为2的椭圆的一部分 B．长轴长为的椭圆的一部分 C．实轴长为2的双曲线的一部分 D．实轴长为的双曲线的一部分 【答案】D 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则，    因为是锐角三角形，所以， 则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 故点P的轨迹为实轴长为的双曲线的一部分． 故选：D 42．（多选）已知是异于点的动点，且满足（表示斜率），动点的轨迹加上点构成曲线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线的离心率为 B．当时，曲线有渐近线，且渐近线方程为 C．当时，直线被曲线所截得的弦长为 D．当时，设点，过原点的直线与曲线交于两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】设，则． 对于A和B，由得曲线方程为：， 故曲线为双曲线，其中， ∴双曲线离心率为，渐近线方程为，即，故A，B正确. 对于C，由得曲线方程为：， 故曲线表示圆，其中圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴直线被曲线所截得的弦长为，故C错误. 对于D，由得曲线方程为：， 故曲线表示椭圆，上、下顶点坐标分别为. ∵（是原点），，， 当直线与轴重合时取最大值2， ∴面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 43．动点在圆上运动，已知定点，则线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】当时，如下图，垂直平分， 所以，则， 所以． 所以点的轨迹是以为焦点，实轴的双曲线； 当时，如下图，垂直平分， 所以，则， 所以是以为焦点，长半轴的椭圆； 当时，的垂直平分线必过圆心，此时； 当时，点的轨迹为圆. 题型十、双曲线的实际问题 44．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 45．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的焦距为2c， 由题意，得，所以，解得， 所以，由及余弦定理， 得， 即，所以， 的面积， 设P到公路l的距离为h，则，所以， 即P到公路l的距离为， 故选：D. 46．某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 【答案】 【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 47．某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．    (1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ (2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． (3)有多少株树苗沿PB运输较近？ 【答案】(1)应通过入口运输路程较短. (2)能，界线的方程为：. (3)一共有30株树苗沿PB运输较近. 【详解】（1）由题可知，因为，，， 所以，，. 则与. 所以从应通过入口运输路程较短. （2）存在这样一条界线，使得从两边运输的距离一样. 设点在界线上，有，整理，    根据双曲线的定义可知，这条界线是以为、为焦点的双曲线的右支. 则，即，又因为， 所以界线的方程为：. （3）判断在双曲线中的位置，，在双曲线的右侧，所以一共有30株树苗沿PB运输较近. 题型十一、双曲线的综合问题 48．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上， 则，，两式作差， 得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为． 故选：B. 49．如图所示，是双曲线右支上一点，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 【答案】存在 【详解】当轴时，的坐标为，此时，，所以． 当点在第一象限且与轴不垂直时，设， ，， ． 又， 所以，所以． 当点在第四象限且与轴不垂直时，由对称性知也成立． 当在轴上时，，，所以还是成立． 综上，存在，使得恒成立． 50．（多选）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，，是双曲线的实轴的顶点，，是虚轴的顶点，，是左、右焦点，在双曲线上且直线过右焦点，并且轴．以下几个选项中说法正确的是（   ）    A．双曲线是黄金双曲线 B．若，则该双曲线是黄金双曲线 C．若，则该双曲线是黄金双曲线 D．若，则该双曲线是黄金双曲线 【答案】ABCD 【详解】选项A：由，可知：， 所以， 所以该双曲线是黄金双曲线，故A正确． 选项B：由，可得，两边同除以， 得，从而，该双曲线是黄金双曲线，故B正确． 选项C：，，， 因为，所以， 即，由B正确可知该双曲线为黄金双曲线，故C正确． 选项D： 因为直线过右焦点，并且轴， 所以则， 由易得是等腰直角三角形， 所以，即， 从而，由B正确可知该双曲线为黄金双曲线，故D正确． 故选：ABCD. 51．（多选）已知曲线其中则（   ） A．存在使得为两条直线 B．不存在使得为圆 C．若为双曲线，则越大，的离心率越大 D．若为椭圆，则越大，的离心率越小 【答案】AC 【详解】对于A，若，则曲线，即，为两条直线，故A正确； 对于B，若C为圆，则，由，，可得，解得，满足，故B错误； 对于C，时，，若C为双曲线，则，即，得. 曲线可化为， 故双曲线C的离心率为， 当时，单调递增，故C正确. 对于D，若C为椭圆，则，且，所以. 可化为， 若，即，， 则椭圆C的离心率为， 当时，单调递增，故D错误； 故选：AC. 52．（多选）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（   ） A．点到Γ的渐近线的距离为2 B．直线，的斜率之积为2 C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条 D．若直线l过点A，且，则 【答案】BCD 【详解】由，可得，焦点坐标为， 因为直线过点且与轴垂直，则直线的方程为， 将代入双曲线的方程，可得，即， 所以重心的坐标为，即， 又由以为直径的圆的方程为，代入可得， 解得，即，所以，此时 对于A中，由，可得其渐近线方程为， 则焦点到的距离为，所以A错误； 对于B中，设且，则，所以B正确； 对于C中，由，设直线与双曲线交于零点， 当直线垂直轴时，此时直线的方程为，则，此时， 此时，当交点在同一支上时，不存在直线，使得； 又由，可得，此时， 当交点在两支上时，存在2条直线，使得， 综上可得，使得的直线共有2条，所以C正确； 对于D中，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 其中，， 且， 因为，可得， 则 代入可得，整理得，即， 当时，此时，且， 由弦长公式，可得， 根据双曲线的对称性得：当时，可得，所以D正确. 故选：BCD.    1．已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，， ，N两点均在双曲线C上，， 由①-②得， 知，，即，即，， 设直线MN的方程为，即， 联立得， 消去y并整理得，， 则，． ， 令，解得或，因为故． 故选:C． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 3．已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据题意画出大致图像为： 双曲线的渐近线方程为：，即. 设，根据点到直线的距离公式可得： . 因为直线垂直于渐近线， 所以直线的斜率分别为. 所以直线的方程为. 联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：， 进而， 联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：， 进而， 所以四边形的面积为： ， 因为点在双曲线上，所以，化简得， 所以四边形的面积为：. 又因为四边形的面积为定值，则， 所以，此时离心率为. 故选：A. 4．已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线可知：， 所以，， 令，则，解得：，不妨设， 所以， 因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：， 所以，又因为，所以，， 所以，所以， 因为，所以的高为， 所以， 又因为， 解得：，同理， 所以. 故选：D. 5．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（    ） A．长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B．长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C．实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D．实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【答案】D 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则， 因为是锐角三角形，所以， 则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 离心率为， 故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分． 故选：D 6．（多选）已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】   由题知，且，所以. 又因为为直径，在圆上，所以. 结合图像易知与相似，则有，即， 则，故A正确； 由A知，，， ，故B错误； ，故C正确； 由A知，，则，且点在渐近线上， 不妨设渐近线方程为，则，则，即. 则，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选）已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（   ） A． B．为直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BC 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由圆，圆心为，半径为， 因为渐近线与圆相切， 所以，解得，故A错误； 而，则，即，所以， 则，则， 即，所以为直角三角形，故B正确； 周长为 ，当且仅当三点共线时等号成立， 则周长的最小值为，故C正确； 设，，，则，即， 所以， 则时，取得最小值，故D错误. 故选：BC. 8．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 【答案】(1)段：；NP段： (2)，距离最小为 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线在定点为左右焦点的双曲线的右支上，且， 所以，且道路起点到东西方向主干道的距离为， 则线路所在的曲线方程为，即， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆， 其方程为， 故道路曲线方程为段：，段：. （2）设，又，则， 当点在线路上，由（1）知，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，由（1）知，则， 又，则当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小，最小距离为. 9．已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$