专题01 二次根式的性质的运用（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题01 二次根式的性质的运用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次根式的值是整数求字母的值 题型二、根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围 题型三、根据二次根式有意义求式子的值 题型四、根据字母取值范围和二次根式的性质化简二次根式 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型六、复合二次根式的化简 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次根式的值是整数求字母的值 1．（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 2．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024春·江苏·八年级专题练习）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 4．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 5．（2024春•鄂尔多斯月考）若是整数，则满足条件的最大自然数n是 　 　． 6．（2024春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 题型二、根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•白云区期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 10．（2024•莘县一模）已知函数，则x满足的条件是 　 　． 11．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　． 12．（2024秋•闵行区校级期中）如果•成立，那么x的取值范围是 　 　． 题型三、根据二次根式的非负性求式子的值 13．（2024·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 14．（2024春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若，则______. 15．已知，其中为整数，则的值为__________． 16．已知实数满足，则的值为_______． 17．已知实数满足，求的值是多少？ 18．已知实数x，y，a，b满足．求的值及的值． 题型四、根据字母取值范围和二次根式的性质化简二次根式 19．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）当时，化简得（   ） A． B． C． D． 20.若,化简的正确结果是       ． 21．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    22．已知x，y满足y5，试化简|y﹣5|． 23．（2024秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|． 24．已知：，求的值． 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 25．（23-24九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 26．已知，则化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 27．（2024春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　） A． B． C． D． 28．（2024春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________． 29．已知a、b、c是△ABC的三边，化简：． 30．（2024春•广州期中）已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 题型六、复合二次根式的化简 31．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 32．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 33．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 34．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）像…这样的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)若，且a，m，n为正整数，求a的值 35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 36．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：，善于思考的小青进行了以下探索： 设（为方便探究规律．设a，b，m，n均为正整数）， 则有． ∴，． 这样小青就找到了一种把部分形如的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小青的方法探索并解决下列问题： 当a，b，m，n均为正整数时， (1)若，用含m，n的式子分别表示a，b，得__________，__________； (2)①若，则__________，__________； ②若，且，求a的值． 1．（2024秋•如东县期末）x，y为实数，且，化简：． 2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a、b、c满足． (1)求证：； (2)求的平方根． 4．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 5．（2024秋•金水区校级期中）当a＝2022时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程： （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）当a＞3时，求|1﹣a|的值． 6．（2024春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。 例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4． （1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例． （2）化简． 7．（2024秋•唐河县月考）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）． 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件． 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题． （1）当2≤a≤5时，化简：　 　； （2）若等式成立，求a的取值范围． 8．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 10．（21-22八年级下·广东江门·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． (1)例如，∵， ∴______，请完成填空． (2)仿照上面的例子，请化简； (3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的性质的运用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次根式的值是整数求字母的值 题型二、根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围 题型三、根据二次根式有意义求式子的值 题型四、根据字母取值范围和二次根式的性质化简二次根式 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型六、复合二次根式的化简 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次根式的值是整数求字母的值 1．（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 3．（2024春·江苏·八年级专题练习）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 4．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 5．（2024春•鄂尔多斯月考）若是整数，则满足条件的最大自然数n是 　 　． 【答案】16． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得16﹣n≥0，得到n的取值范围，再根据题干要求进行判断即可． 【详解】解：∵是整数， ∴16﹣n≥0， 解得n≤16， 且n最大为16时，有， ∴满足条件的最大自然数n是16． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 6．（2024春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 题型二、根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，建立不等式求解，即可确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数，解得． 选项中只有，因此的值可能是4， 故选：D． 8．（2024春•白云区期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 2x﹣3＞0， 解得x． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的有意义的条、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为零成为解题的关键． 根据二次根式的有意义的条、分式有意义的条件，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵等式， ∴，解得：． 故选C． 10．（2024•莘县一模）已知函数，则x满足的条件是 　 　． 【答案】x≥﹣2且x≠3． 【分析】本题考查了求函数的自变形及分式、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【解答】解：∵函数， ∴x+2≥0，且x﹣3≠0， ∴x≥﹣2且x≠3． 故答案为：x≥﹣2且x≠3． 【点评】根据分式及二次根式有意义的条件分析求解即可． 11．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　． 【答案】x≥1且x≠2且x≠5． 【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得x﹣2≠0，根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1≥0，且x﹣1≠4，再解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣2≠0且x﹣1≥0且x﹣1≠4， 解得x≥1且x≠2且x≠5， ∴x的取值范围是x≥1且x≠2且x≠5， 故答案为：x≥1且x≠2且x≠5． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件和零次幂，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零． 12．（2024秋•闵行区校级期中）如果•成立，那么x的取值范围是 　 　． 【答案】x． 【分析】直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案． 【详解】解：∵•成立， ∴， 解得：x． 故答案为：x． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，正确得出不等式组是解题关键． 题型三、根据二次根式的非负性求式子的值 13．（2024·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．条件不足，无法计算 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值． 【详解】解：根据题意得： ， ，， 由可得，由可得， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键． 14．（2024春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若，则______. 【答案】 【分析】根据二次根式成立的条件得出关于的不等式组，求得，进而求出，代入即可求出答案． 【详解】∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和负整数指数幂的性质，熟练掌握以及（，为正整数）是解题的关键． 15．已知，其中为整数，则的值为__________． 【答案】0或2 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据为整数，得出或，分别代入，即可得出答案． 【详解】解：要使有意义，则， 解得：， ∵为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 综上分析可知：y的值为0或2． 故答案为：0或2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零． 16．已知实数满足，则的值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】 先对进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：16． 【点睛】 本题考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题的关键． 17．已知实数满足，求的值是多少？ 【答案】2009 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a-2009≥0，即a≥2009， ∴2008-a≤-1＜0， ∴a-2008+=a，解得=2008， 等式两边平方，整理得a-20082=2009． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 18．已知实数x，y，a，b满足．求的值及的值． 【答案】15 【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可． 【详解】解：由已知，得， ∴，∴， ∴， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键． 题型四、根据字母取值范围和二次根式的性质化简二次根式 19．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）当时，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 先利用已知条件确定y的符号，进而得到，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 20.若,化简的正确结果是       ． 【答案】 5﹣2x 【分析】先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简． 【详解】解：∵x＜2，         ∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；         ∴ +|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）         =﹣x＋2＋3－x＝5－2x． 21．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】2 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，，进而化简即可． 【详解】解：由数轴，得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：2． 22．已知x，y满足y5，试化简|y﹣5|． 【答案】﹣1． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， ∴y＜5， 则原式＝|y﹣5|5﹣y﹣（6﹣y）＝5﹣y﹣6+y＝﹣1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 23．（2024秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|． 【答案】6﹣x． 【分析】首先根据x的范围确定x﹣2、x+1以及x﹣3的符号，然后去掉绝对值符号进行化简即可． 【详解】解：∵﹣1≤x≤2， ∴x﹣2≤0，x+1≥0，x﹣3＜0， 则原式＝2﹣x+|x+1|+|x﹣3| ＝2﹣x+x+1+3﹣x ＝6﹣x． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解绝对值的性质是关键． 24．已知：，求的值． 【答案】2． 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果． 【详解】解：由可得， ， ∴， ∴y＞2， ∴ ＝﹣1+5﹣2 ＝2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出，y＞2是解题关键． 题型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 25．（23-24九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 26．已知，则化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次根式的性质及化简．首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ， 故选：A 27．（2024春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ∴1﹣m＞0， ∴原式 ， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 28．（2024春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________． 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 29．已知a、b、c是△ABC的三边，化简：． 【分析】由a，b，c为三角形三边，利用三角形三边关系判断即可得到结果． 【解答】解：∵a，b，c为△ABC三边， ∴a+b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0， 则原式＝0+a+c﹣b﹣（a+b﹣c）＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 30．（2024春•广州期中）已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 【分析】（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出c﹣6＝0且b﹣8＝0，求出c＝6，b＝8，再根据勾股定理求出a即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出a﹣6≥0，求出a≥6，所以a只能为10，再根据二次根式的性质进行计算，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1）∵直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足， ∴c﹣6＝0且b﹣8＝0， ∴c＝6，b＝8， 当a为直角边时，a2； 当a为斜边时，a10； 所以a为2或10； （2）要使有意义，必须a﹣6≥0， 所以a≥6， ∵26，10＞6， ∴a＝10， ∴ ＝a﹣6 ＝a﹣6+a﹣8 ＝2a﹣14 ＝2×10﹣14 ＝20﹣14 ＝6． 【点评】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，勾股定理，完全平方公式和二次根式的化简求值等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 题型六、复合二次根式的化简 31．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 32．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 33．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 34．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）像…这样的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)若，且a，m，n为正整数，求a的值 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查化简复合二次根式： （1）根据题意，构造完全平方公式，进行化简即可； （2）根据题意得到是一个完全平方式，进而推出或，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）∵ ∴是一个完全平方式， ∵，，均为正整数，且或， ∴或， ∴，此时或，此时． 35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴ ， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 36．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：，善于思考的小青进行了以下探索： 设（为方便探究规律．设a，b，m，n均为正整数）， 则有． ∴，． 这样小青就找到了一种把部分形如的式子化为完全平方式的方法．请你仿照小青的方法探索并解决下列问题： 当a，b，m，n均为正整数时， (1)若，用含m，n的式子分别表示a，b，得__________，__________； (2)①若，则__________，__________； ②若，且，求a的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）①根据（1）可得，然后由m，n均为正整数解题即可； ②根据题意，，首先确定m、n的值，通过分析，，然后即可确定a的值． 【详解】（1）解：， ∴，， 故答案为：，； （2）①由（1）可得， 又∵m，n为正整数， ∴， 故答案为：，； ②由（1）可得， ∵m，n为正整数且， ∴， ∴． 1．（2024秋•如东县期末）x，y为实数，且，化简：． 【分析】先根据、有意义的条件可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解可求x＝1，再把x＝1代入y3中，易求 y＜3，从而可对所求式子化简，并合并即可． 【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0， ∴x≥1，x≤1， ∴x＝1， 又∵y3， ∴y＜3， ∴|y﹣3|3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值．解题的关键是注意被开方式是≥0的． 2．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a、b、c满足． (1)求证：； (2)求的平方根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0； （1）根据算术平方根的非负性，即可得证； （2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得的值，进而求得的平方根． 【详解】（1）证明：∵，， ； （2）解： ，， ， ， ， ， 的平方根是． 4．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 5．（2024秋•金水区校级期中）当a＝2022时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程： （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）当a＞3时，求|1﹣a|的值． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案． （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案． （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】解：（1）故答案为：小亮． （2）故答案为：|a|． （3）∵a＞3， ∴a﹣3＞0，1﹣a＜0， ∴原式|1﹣a|， ＝|a﹣3|﹣|1﹣a| ＝a﹣3+（1﹣a） ＝a﹣3+1﹣a ＝﹣2． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 6．（2024春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。 例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围． 分析：原式=，而 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析． 解：原式=在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4． （1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例． （2）化简． 【答案】（1）数形结合思想，分类讨论思想；（2）17−2a或3或2a−17 【分析】（1）根据题中的解题过程即可得出结论； （2）分a＜7，7≤a≤10及a＞10三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）数形结合思想，分类讨论思想． （2）原式＝|7−a|＋|a−10| ①当a＜7时，原式＝7−a＋10−a＝17−2a； ②当7≤a≤10时，原式＝3； ③当a＞10时，原式＝a−7＋a−10＝2a−17． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论． 7．（2024秋•唐河县月考）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）． 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件． 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题． （1）当2≤a≤5时，化简：　 　； （2）若等式成立，求a的取值范围． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7； 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 8．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． （1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时， 原式； （2）解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 9．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 10．（21-22八年级下·广东江门·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． (1)例如，∵， ∴______，请完成填空． (2)仿照上面的例子，请化简； (3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果． （2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果． （3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值． 【详解】（1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴． （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：和熟练运用完全平方公式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$