12.5 全等三角形的判定（进阶）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.5 全等三角形的判定（进阶） 题型一 添加条件使三角形全等 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可． 【详解】解：已知， 加上①，可用“”来判定． 加上②，可用“”来判定． 加上③，可用“”来判定 加上④不能判定 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，在和中，，请添加一个条件 ，使得，添加正确的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定，即可判断答案． 【详解】若添加，不满足全等三角形的判定，故选项A不符合题意； 若添加，不满足全等三角形的判定，故选项B不符合题意； 若添加，不满足全等三角形的判定，故选项C不符合题意； 若添加平分，则，，满足“”, 可判断，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是： （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质． 先证明，又因为，根据全等三角形的判定定理，在与中只需要再加一对对应边相等即可使，所此求解即可． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴当添加时，则在与中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·北京大兴·阶段练习）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，，再添加一个条件，可以证明． (1)同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：，则的理由是______ 同学乙添加的条件是：，则的理由是______ 同学丙添加的条件是：，则的理由是______ (2)若添加的条件是，证明：． 【答案】(1)；； (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点， （1）根据全等三角形的判定定理逐一进行证明即可得解； （2）根据全等三角形的判定定理推出，再根据全等三角形的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可； 熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】（1）同学甲：在和中， ， ∴， 故答案为：； 同学乙：在和中， ， ∴， 故答案为：； 同学丙：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． 题型二 确定全等三角形的对数 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在等腰三角形的底边的高上取一点E，连接，，则图中全等三角形的对数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，注意不要漏解．由已知证出，从而运用全等三角形性质及判定方法证明，． 【详解】解：图中的全等三角形共有3对． 理由如下：∵，， ∴，，， 在与中， ， ∴， 在与中 ， ∴． 在与中 ， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，为的平分线，、、…为的平分线上的若干点．如图1，连接、，图中有1对全等三角形；如图2，连、、、，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，明确题意，准确找出规律是解题的关键，根据题意可得如图1，,共有对全等三角形；如图2：,，，共有对全等三角形；如图3：,,,,,,共有对全等三角形，由此发现规律，即可得到答案． 【详解】解：如图1：∵为的平分线， ∴, ∵, ∴, ∴共对全等三角形； 同理，如图2：,， ∴, ∵, ∴, ∴共对全等三角形； 同理，如图3：,,,,,,共有对全等三角形， 由此发现，第个图形，全等三角形有对， ∴第个图形中有对全等三角形， 故选：B． 7．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 【答案】（1）SAS；（2）3；（3）6；（4） 【分析】（1）利用SAS判定△ABD≌△ACD即可； （2）由（1）知△ABD≌△ACD，利用SAS证△ABE≌△ACE，从而得到BD=CD，BE=CE，则可利用SSS证△BDE≌△CDE，即可得出答案； （3）由（2）知△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，再利用SAS证△ABF≌△ACF，利用SSS证△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，即可得出答案； （4）由（1）（2）（3）总结出规律即可求解． 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：SAS； （2）由（1）知△ABD≌△ACD， ∴BD=CD， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE， ∴BE=CE， 在△BDE和△CDE中， ， ∴△BDE≌△CDE， ∴全等三角形共有3个， 故答案为：3； （3）同理可得△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，共有6对全等三角形， 故答案为：6； （4）第1个图有1对全等三角形， 第2个图有3=对全等三角形， 第3个图有6=对全等三角形， … 第x个图有对全等三角形， 故答案为：． 【点睛】本题词考查全等三角形的判定，图形找规律，熟练掌握全等三角形的判定理是解题的关键． 题型三 网格中确定全等三角形 8．（22-23八年级上·湖北荆州·阶段练习）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：C． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可． 【详解】解：如图： 由网格可知， ∴， 由网格可知均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故A可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故B可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故D可以证明全等，不符合题意； 如图： 由上可得，而是钝角三角形， 故与不可能全等，故C符合题意， 故选：C． 11．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，都在网格的交点上，点，若在该网格内找一点，使得与全等，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据网格及勾股定理确定点的位置，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点， (1)图中格点的面积是_______； (2)按要求画图： ①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形； ③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段． 【答案】(1) (2)①见解析②见解析③见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形面积公式求解即可． （2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可． ②利用轴对称法画出图形即可． ③画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：的面积， 故答案为：； （2）解：①如图，即为所画（答案不唯一） ②如图，即为所画（答案不唯一） ③如图，即为所画（答案不唯一） 题型四 灵活选用判定方法证明全等 13．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，点在上．    (1)图中全等三角形有：___________；（写出所有的全等三角形） (2)请你选择其中一组进行说明它们为什么会全等？ 你选择的证明是______________________． 证明： 【答案】(1) (2)，；见详解 【分析】（1）由全等三角形的判定方法容易得出结果； （2）由得出即可． 【详解】（1）解：图中全等三角形有；故答案为：； （2）选择；理由如下： ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定；熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)依题意补全图形，并证明； (2)如果，，求，的长． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】（）依题意补全图形，由，，得，，再通过同角的余角相等得出， 然后根据“”即可求证； （）由勾股定理得出，再通过等面积法，求出，然后根据勾股定理求出，最后由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图， 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，         ∴，         ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴ ； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，          ∴，      ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了按语句画图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于H． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键． （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： 由（2）知，， 是等边三角形． 17．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质， 对于（1），根据角平分线的性质得，再结合已知条件根据“斜边直角边”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的性质求出，再根据角平分线的性质求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分，且， ∴． ∴在和中， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 题型一 全等三角形与尺规作图 18．（22-23八年级上·北京东城·期中）（1）如图，在平面直角坐标系中，点． ①在图中画出关于y轴对称的，并直接写出点和点的坐标； ②的面积为 ； ③在x轴上存在点P，使得的值最小，则点P的坐标为 ． （2）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． 是格点三角形． ①在图1中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 【答案】（1）①见解析，；②；③；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）①根据轴对称的性质分别作出的对称点，连接即可，写出的坐标；②用所在矩形面积减去周围三个小三角形的面积即可；③作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点； （2）①根据全等三角形的性质结合格点三角形作图即可；②根据全等三角形的性质结合格点三角形作图即可． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求， 由图形知，，； ②的面积， 故答案是：； ③如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， 由图形知，点即为所求，点P的坐标为， 故答案为：； （2）①如图，即为所求， ②如图，即为所求． 【点睛】本题考查了轴对称变换作图，轴对称的性质，格点作图，全等三角形的性质，读懂题意，根据题目要求正确作图是关键． 19．（20-21八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长1），有一格点三角形ABC（三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定依据题目要求画出图形即可． 【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上． (1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查做出轴对称图形，全等三角形判定及性质． （1）根据点坐标到直线的距离即可得出； （2）作点关于直线对称点，连接，交于点即可； （3）延长交于点，则即为所求，再利用全等三角形判定及性质即可求出． 【详解】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示； （2）作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示； 则的周长 点即为所求； （3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示： ．，， ， ， ， ， ． 即为所求边上的高． 题型二 多次证全等求解或证明结论 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可； （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可．； （3）通过边边角画出反例即可． 【详解】（1）解：∵， 在和中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）解：如图，在和，， 和不全等； ．   【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 22．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，是边上的中线，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长到点H，使，连接．证，得，．再证明，即可得证． 【详解】证明：延长到点H，使，连接． ∵是边上的中线， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴，． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，同角的补角相等，中线定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质是解题的关键． 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等边中，点P为内一点，连接，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为______； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出，则，，再利用证明，得． 【详解】（1）， 证明：是等边三角形， ，， ． ∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴ ， ； （2）①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， ∵ ， ∴，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 24．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)的长为． 【分析】本题考查了几何与坐标，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①先得到是等腰直角三角形，再得出，，利用三角形外角的定义即可求解； ②作轴于点轴于点，则，证明，得到，即可求解； （2）作于点，则，先证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②如图1，作轴于点轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴； （2）解：如图2，作于点，则， ，，轴于点，轴于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴的长为． 题型三 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 25．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 27．（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，请求出的长． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)的长度为或 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故； （3）根据，得，分两种情况：①当在线段上时，,得到； ②当在延长线上时，，得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中，， ， ； （2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ； （3）解， ∴， ①当在线段上时，如图： ∵， ， 由（2）知 ； ②当在延长线上时，如图： ∵， ， ； 综上所述，的长度为或． 题型四 全等三角形的动态问题 28．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过 秒时，与全等．（注：点与不重合） 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质；设点经过t秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出t的值即可． 【详解】解：设点经过秒时，与全等；此时， 分情况讨论： （1）当点在点的左侧时，，则， ∴， ∴； （2）当点E在点B的右侧时， ①，时，， ∴； ②，时，， ∴． 综上所述，点经过或或秒时，与全等． 故答案为：或或． 29．（22-23八年级下·北京平谷·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 【答案】6或 【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当时，即， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，点C在射线上， ∴，即， ∵， ∴． 若以为顶点的三角形与全等，则或，即或， 如图1所示，当时，，      ∴； 如图2所示，当时，，      ∴． 综上所述，的长为6或． 故答案为：6或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 30．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动的时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 题型五 全等三角形的应用 31．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； (2)猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】(1)和的长相等，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2）解：． 理由：延长交于点，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）【问题情境】如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【方案解决】同学们想出了如下的两种方案： 方案一：如图①，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 方案二：如图②，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使．接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． (1)方案一是否可行？请说明理由． (2)方案二是否可行？请说明理由． (3)明明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要_______就可以了，请把明明所说的条件补上． 【答案】(1)可行，理由见解析 (2)可行，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）证明 即可； （2）证明 即可； （3）补充条件，证明 即可． 【详解】（1）解：方案一可行，理由如下： 在和中， ， ， ； （2）解：方案二可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：补充条件， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·吉林长春·期末）伊通河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量伊通河两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点向西走到点，在点插上一根标杆，继续向西走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一条直线上． 测量示意图 (1)第一小组方案中需要的工具有____________； (2)第一小组测得米，请你根据第一小组的方案计算河宽； (3)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1)测角仪、皮尺 (2)8米 (3)可行，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等角对等边可得米，即可解答； （3）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答； 【详解】（1）解：第一小组方案中需要的工具有测角仪、皮尺， 故答案为：测角仪、皮尺； （2）解：由题意得：， ， ， ， 米， 河宽为米； （3）第二小组的方案可行， 证明：由题意得：，，， ， ， 只要测得就能得到河宽． 34．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)， 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键． （1）根据可证明与全等； （2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴即 ∴； （2）解：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴又， ∴． 故答案为：，． 35．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或． 36．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则 ，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 37．（24-25八年级上·北京·期中）已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． (1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． (2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． (3)线段从图2的位置出发，绕着点顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，下列说法始终正确的有______． 平分 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交延长线于点，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行内错角相等可得，利用可证得，于是可得，，即为中点，利用等式的性质可推出，由三线合一即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，又可证得为等边三角形，于是有，进而可得，于是得解； （3）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，由三线合一可得，故说法正确；由三线合一可知，平分，而，故说法错误；由各三角形之间的面积关系可得，故说法错误；由各角之间的和差关系可得，故说法正确；综合以上，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长交延长线于点， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为中点， ，， ， 即：， 为等腰三角形， 又为中点， ； （2）解：如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰三角形，， 又， ， 故说法正确； 由三线合一可知，平分， 而， 故说法错误； ， ， ， ， 故说法错误； ， 故说法正确； 综上，在运动的过程中，上述说法始终正确的有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质（和），等式的性质，三线合一，多边形内角和问题，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 38．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，，，连接，N为的中点． (1)如图，若A、M、D共线，求的值；    (2)如图，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1) (2)依然成立,证明见解析 【分析】（1）延长与，相交于点E．由可证，于是可证，则，再结合已知条件可证是等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”可证，于是得证． （2）延长至点I，使，连接．易证，于是，再利用五边形的内角和并结合已知条件可证及周角定义可证，因此，于是可证，则，结合可证，，于是得证． 【详解】（1）延长与，相交于点E．（如图）    ∵ ∴ ∴ N为的中点，则 ∴ ∴，， ∵ ∴ 即，又 ∴（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高） ∴， ∴． （2）上述结论仍然成立．理由如下： 延长至点I，使，连接（如图）    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴， 又 ∴（等腰三角形底边上的中线是底边上的高） ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的“三线合一”、多边形内角和等知识点，解题的关键是构造全等三角形． 39．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【详解】（1）解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 40．（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案； （2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案； （3）连接，作于点M，于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案． 【详解】（1）解：如图1中，    作轴于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 则； （2）解：如图2中，作轴于点，并延长交的延长线于点，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中，   ， ， ， 又， ， 点的纵坐标为； （3）解：如图3中，连接，作于点，于点，    ∵点E在的平分线上，平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，   ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.5 全等三角形的判定（进阶） 题型一 添加条件使三角形全等 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，在和中，，请添加一个条件 ，使得，添加正确的是（    ）    A． B． C． D．平分 3．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是： （写出一个即可）．    4．（23-24八年级上·北京大兴·阶段练习）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，，再添加一个条件，可以证明． (1)同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：，则的理由是______ 同学乙添加的条件是：，则的理由是______ 同学丙添加的条件是：，则的理由是______ (2)若添加的条件是，证明：． 题型二 确定全等三角形的对数 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在等腰三角形的底边的高上取一点E，连接，，则图中全等三角形的对数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，为的平分线，、、…为的平分线上的若干点．如图1，连接、，图中有1对全等三角形；如图2，连、、、，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 题型三 网格中确定全等三角形 8．（22-23八年级上·湖北荆州·阶段练习）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，都在网格的交点上，点，若在该网格内找一点，使得与全等，则点的坐标为 ． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点， (1)图中格点的面积是_______； (2)按要求画图： ①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形； ③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段． 题型四 灵活选用判定方法证明全等 13．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，点在上．    (1)图中全等三角形有：___________；（写出所有的全等三角形） (2)请你选择其中一组进行说明它们为什么会全等？ 你选择的证明是______________________． 证明： 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)依题意补全图形，并证明； (2)如果，，求，的长． 16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于H． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 17．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在四边形中，，，于点F，交于点E，连结，若平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型一 全等三角形与尺规作图 18．（22-23八年级上·北京东城·期中）（1）如图，在平面直角坐标系中，点． ①在图中画出关于y轴对称的，并直接写出点和点的坐标； ②的面积为 ； ③在x轴上存在点P，使得的值最小，则点P的坐标为 ． （2）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． 是格点三角形． ①在图1中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 19．（20-21八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长1），有一格点三角形ABC（三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注．    20．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上． (1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹） 题型二 多次证全等求解或证明结论 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）   22．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，是边上的中线，，，．求证：． 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等边中，点P为内一点，连接，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为______； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 24．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 题型三 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 25．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 26．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 27．（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，请求出的长． 题型四 全等三角形的动态问题 28．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过 秒时，与全等．（注：点与不重合） 29．（22-23八年级下·北京平谷·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 30．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 题型五 全等三角形的应用 31．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； (2)猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）【问题情境】如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【方案解决】同学们想出了如下的两种方案： 方案一：如图①，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 方案二：如图②，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使．接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． (1)方案一是否可行？请说明理由． (2)方案二是否可行？请说明理由． (3)明明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要_______就可以了，请把明明所说的条件补上． 33．（24-25八年级上·吉林长春·期末）伊通河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量伊通河两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点向西走到点，在点插上一根标杆，继续向西走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一条直线上． 测量示意图 (1)第一小组方案中需要的工具有____________； (2)第一小组测得米，请你根据第一小组的方案计算河宽； (3)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 34．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 35．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 36．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 37．（24-25八年级上·北京·期中）已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． (1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． (2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． (3)线段从图2的位置出发，绕着点顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，下列说法始终正确的有______． 平分 38．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，，，连接，N为的中点． (1)如图，若A、M、D共线，求的值；    (2)如图，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    39．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 40．（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$