专题09 规律探究型问题（13种类型）（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题09 规律探究型问题 目录 1 类型一、末尾数规律问题 1 类型二、单/多项式规律问题 3 类型三、数阵类规律探索 5 类型四、杨辉三角形规律探索 9 类型五、幻方类规律探索 13 类型六、表格类规律探索 18 类型七、跨学科规律探索（化学） 22 类型八、通过观察已知等式求解 24 类型九、通过观察已知等式，猜想第n个代数式 27 类型十、图形固定累加型 32 类型十一、图形递变累加型 36 类型十二、分区域累加型 39 类型十三、图形循环类规律探索 43 47 类型一、末尾数规律问题 1．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数字的变化规律，幂的乘方，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．计算，通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵， 由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 2．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是 ． 【答案】9 【分析】本题考查数字的变化规律．通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可． 【详解】解：，，，，，，，． 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为2， ，，，，，，，，， 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为7， 的末位数字是9， 故答案为：9． 3．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，本题得到2的指数幂的结果的个位数每4次循环，结合，从而可得答案，掌握探究的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， ∴个位数每4次循环， ∵每4个数的个位数之和为， ∴和的个位为0， ∵， ∴可分为组， ∴其运算结果中的个位为0； 故答案为：0． 4．（20-21七年级下·山东青岛·期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环，从而可以求得到的末位数字是多少． 【详解】∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…， 可以发现末位数字分别是3，9，7，1，3，9，7，1，可知每四个为一个循环， ∵2017÷4=504余1， ∴的末位数字与相同，即为3， ∵，2024÷4=506， ∴的末位数字与相同，即为1， ∴因为的值为负数，故末位数为11-3=8， 故答案为：8. 【点睛】本题考查尾数的特征，解题的关键是通过观察题目中的数据，发现其中的规律． 类型二、单/多项式规律问题 5．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．根据每个单项式的系数为分数，且分数的分子与单项式的个数相同，分母多1；再根据每个单项式的字母为a，且指数是1，2，3重复出现；最后再根据一正一负的规律写出答案． 【详解】解：， ， ， ∴第2024个单项式为， 故答案为：． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2023个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 7．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，数字的变化规律；判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 类型三、数阵类规律探索 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 【答案】(1)①97；②5； (2)不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16． （1）①依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；②先求出数的总个数，进而确定2025所在的列数即可；再根据同列上下两个数依次增加16，求出第n行第一个数，进而求出第n行第5个数即可； （2）通过假设存在这样的，则可列出方程：，解方程求解即可； （3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中后面的大数，据此解答即可． 【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，则第6行第1列的数是，又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，则第7行第1列的数是， 故答案为：97； ②数阵中的数共有：（个）， 数阵中一共有1013个数，每行有8个数，， ∴2025在数阵中排在第5列； 通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16， ∴第行的第一个数为：， ∴数阵中排在第行第5列的数可用表示为：， 故答案为：； （2）解：不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由如下： 假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948， 依题意，可列方程：， 解得：． ∵479是第240个奇数，， ∴479位于第30行第8个数， ∵479右边的数481位于第31行第1个数， ∴假设不成立， ∴不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948． （3）解：通过观察可知： 框住的最小值为：， 要使框住的值最大，则最后一个数2025必然在平行四边形中， 则框住的最大值为：， 则两者的差为：， 故S的最大值与最小值的差为：． 10．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）    (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为　　　； (2)十字框内五个数的和的最小值是　　　； (3)设正中间的数为，用式子表示十字框内五个数的和； (4)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2035？若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)75 (3)十字框内五个数的和为 (4)不能，理由见解析 【分析】（1）列出17周围的四个数，五个数相加，即可求解， （2）找到中间的数能取到的最小值，列出周围的四个数，五个数相加，即可求解， （3）用含的代数式，表示出周围的四个数，五个数相加，即可求解， （4）先求出中间的数，再找到中间的数在数阵中的位置，即可求解， 本题考查了数字类的规律探索，解题的关键是：熟练掌握字母表示数． 【详解】（1）解： 17周围的四个数分别为：5，15，19，29， ， 故答案为：， （2）解：根据图表可知，十字框中间的数，能取到的最小值是， 十字框内五个数的和的最小值是：， 故答案为：， （3）解：设正中间的数是，则其他四个数分别为：，，，， 五个数的和为：， 故答案为：十字框内五个数的和为， （4）解：由（3）可知：十字框内五个数的和为， 当和为2035时，， 因为407是第204个奇数，，所以407在第六列， 所以十字框不能框住和等于2035的五个数， 故答案为：不能． 11．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）下图的数阵是由全体奇数排成：    (1)图中“工”字形框内的七个数之和与中间的数有什么关系？算一算； (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的“工”字形框，这七个数之和还有这种规律吗？请说出理由． 【答案】(1)图中“工”字形框内的七个数之和是中间的数23的7倍 (2)移动“工”字，其框内七个数之和仍是中间的数的7倍，理由见解析 【分析】本题为数字规律探究题，整式的加减的应用； （1）先算出“工”字形框内7个数之和，继而判断与中间数的关系； （2）中间数为，则其余六个数为：，，，，，，得到这7个数之和即可求证． 【详解】（1）解：图中“工”字形框内的七个数之和是中间的数23的7倍； ， ； （2）解：移动“工”字，其框内七个数之和仍是中间的数的7倍． 理由为：设中间数为，则其余六个数为：，，，，， 则此七个数之和为： 即框内七个数之和仍是中间的数的7倍． 类型四、杨辉三角形规律探索 12．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形和数字类的规律探究，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 根据前几个数字的变化得到，计算出，，进而代入计算即可． 【详解】解：因为，，，，···， 所以， 故， ， ∴ ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从开始箭头所指的数组成一个锯齿形：，则在这些数中，第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，由规律可得，左边数为，，，，，右边的数为，，，，，然后根据规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由规律可得，左边数为，，，，，右边的数为，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． 图1中第8行第5个数是 ；图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10，记第n层的圆球数记，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的加减法，解题关键是观察图形的变化发现数字规律． ①根据从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和即可解决问题； ②根据题意得到于是得到求得于是得到结论． 【详解】解：①由题意可得：第行第个数是： 故答案为：； ②由题意得： ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 类型五、幻方类规律探索 16．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫图．将数字，，，，，，，，这个数分别填入如图所示的幻方的个空格中，要求每一横行，每一坚列以及两条斜对角线上的三个数之和都相等， 则：（1）图（1）中 ， ； （2）图（2）中 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式； （1）根据题意得出每一横行，每一坚列以及两条斜对角线上的三个数之和都为，进而用含的式子表示空格位置的数字，根据得出，进而求得； （2）同（1）的方法，设中间的数轴为，则左上角的数字为：，左下角的数字为，下面中间的数字为，根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵将数字，，，，，，，，这个数分别填入如图所示的幻方的个空格中，要求每一横行，每一坚列以及两条斜对角线上的三个数之和都相等 ， ∴每一横行，每一坚列以及两条斜对角线上的三个数之和都为 如图所示， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：，． （2）如图所示，设中间的数轴为，则左上角的数字为：，左下角的数字为，下面中间的数字为 ∴ 解得： 故答案为：． 17．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的加法及解一元一次方程、求代数式的值，关键在于理解题意，正确计算出a、b的值． 因为这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，因此；内圈右边的圆圈应填3，则或，或． 【详解】解∶这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或． 故答案为：或． 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方；用今天的数学符号表示，“洛书”就是一个把这个连续整数填入其中的三阶幻方；幻方需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)按《论语》十二章，图1中空格应填字，“夫”字所对应“洛书”中的数字是 ： (2)如图2，三阶幻方中间的数字是．用的代数式表示幻方中个数的和为 (3)图3是一个三阶幻方，求出标有的方格中所填的数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，根据幻方的定义，构造关于的一元一次方程是解题的关键． （1）对应幻方中的各数，可得出“夫”字所对应“洛书”中的数字是； （2）将对角线上的三个数相加，可得出对角线上三个数之和为，结合“幻方的每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等”，可得出每行的数字之和为，再，即可求出结论； （3）根据“每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等”，可补充图3中的部分数据，结合第一列及对角线上三个数字之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：“夫”字所对应“洛书”中的数字是． 故答案为：； （2）， 对角线上三个数之和为， 幻方中个数的和为． 故答案为：； （3）在图中补充部分数据，如图所示． 根据题意得：， 解得：． 答：标有的方格中所填的数是． 19．（24-25七年级上·广东佛山·期中）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等．这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和中心数． (1)如图2所示，则幻和 ； (2)若，求a的值是 ； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？(写出求解过程) 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式加减的求值，解题的关键是读懂题意，充分利用幻和解决问题． （1）由幻和中心数直接可得答案； （2）根据对角线、横行、纵列的数字之和都相等可求出a的值； （3）用x、y、m、n表示a、b、c、d，代入可得答案． 【详解】（1）解：∵幻和中心数， ∴幻和； 故答案为：； （2）解：如图： ∵幻和， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8； （3）解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 类型六、表格类规律探索 20．（23-24七年级上·广东深圳·期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为 ． 3 2 4 5 4 6 a 10 0 3 14 5 34 …… b x …… 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 【答案】98 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键．观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由图形中的数字分析得到： ， ， ， ， ， 根据表格规律可知，第n个表格中右上角的数， ∵， ∴， 即10在第8个表格中， 第n个表格中左上角的数， ∴， 根据表格规律可知，， ． 故答案为：98． 21．（21-22七年级上·江西南昌·期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：    根据此规律确定的值为 ，的值为 ，的值为 ． 【答案】 9 10 209 【分析】根据表格可知，右上角中的数等于左下角数的2倍，左上的数与左下的数差为1，右下角的数等于左下角的数与右上角的数的乘积加上左上角的数．据此规律即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：9，10，209． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是仔细观察表格，总结出表格中数据的规律． 22．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【综合与实践】圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量n（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 10.8 11.6 12.4 13.2 14 … 【数学思考】 （1）观察这些表格中数据的规律，用含n的代数式表示h． （2）当杯子的数量为15只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 【答案】（1）（2）这摞杯子的总高度为（3）一摞最多能叠36个杯子，可以一次性放进柜子里 【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，代数式求值．解题的关键是得到每增加一个杯子，高度增加． （1）根据表格可知：每增加一个杯子，高度增加，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式，求值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】解：（1）由表格可知：每增加一个杯子，高度增加， ∴； （2）当时，， ∴这摞杯子的总高度为； （3）当时，， ∴， ∴一摞最多能叠36个杯子，可以一次性放进柜子里． 23．（23-24七年级上·江苏常州·期中）根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似地，的值的变化规律是什么? (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小：______；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗?请直接写出______． 【答案】(1)，； (2)每增加，的值增加； (3)，． 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程，解题关键是根据题意，发现规律，列出方程求解． （1）把对应的值代入可得，的值； （2）仿照题目中的描述，语言叙述（）中的规律即可； （3）第一个代数式设代数式为：，根据的值每增加，代数式的值就减小得，从而可得解，第二个代数式根据当时，代数式的值为，可以设这个代数式为一次式：，再由已知确定符合条件的值即可． 【详解】（1）解：把代入得，，即； 把代入得，，即； 故答案为：，； （2）解：根据表中当取，，，，时，对应的的值为，，，，，可知， 每增加，的值增加； （3）∵要求的值每增加，代数式的值就减小， ∴设代数式为：，则 ∴， ∴代数式为：， ∵当时，代数式的值为， ∴设这个代数式为：， ∵的值每增加，代数式的值就增加， ∴， ， ∴这个代数式可以为：， 故答案为：，． 类型七、跨学科规律探索（化学） 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，设碳原子（C）的数目为（为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是数字规律探究题，读懂题意，找出规律，列出关系式是解题的关键．设碳原子的数目为，氢原子的数目为，由观察可知，进而即可得出答案． 【详解】解：设碳原子（C）的数目为（为正整数），氢原子的数目为， 观察可知，， ， ， ， 碳原子（C）的数目为，则它们的化学式为， 故选：A． 25．（24-25七年级上·吉林长春·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（   ） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即，碳原子1个， 第2种如图②有6个氢原子，即，碳原子2个， 第3种如图③有8个氢原子，即，碳原子3个， ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：，碳原子10个， ∴第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是32； 故选：B． 26．（24-25七年级上·浙江金华·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，回答下列问题： (1)请写出十烷的化学式： ； (2)请用含n的代数式表示n烷的化学式（，且n为整数）； (3)已知化学式，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类，一元一次方程的应用，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式． （1）根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十烷的化学式． （2）由（1）得出n烷的化学式的规律并用代数式表示出来即可． （3）根据有2024个，然后代入（2）中的代数式即可求出m的值． 【详解】（1）解：甲烷的化学式中的有1个，有（个， 乙烷的化学式中的有2个，有（个， 丙烷的化学式中的有3个，有（个， ， 十烷的化学式中的有10个，有（个， 即十二烷的化学式为， （2）解：由（1）可知：当时， n烷化学式中的有10个，有个， ∴n烷化学式为． （3）解：有2024个， 由（2）可知：当时， 则 类型八、通过观察已知等式求解 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器计算并观察： ， ， ， ， … 请计算为正整数时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律，结合已有的式子，观察规律，即可得出当为正整数时，． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴为正整数时，的值是， 故答案为： 28．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是43，已知，，，那么= ． 【答案】 【分析】此题主要考查了规律型：数字的变化类，找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系，根据列出方程，求出x问题得以解决． 【详解】解：由任意三个相邻数之和43可知： ， ， ， ， 可以推出：， ， ， 所以，， 因为， 则， 解得， 所以， ∵余2， 因此． 故答案为：． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一组数据：，，…，．记，则① ；② ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类规律、有理数的混合运算等知识点，找到数字的变化规律是解题的关键． 现把分子进行拆项，再进行整体拆项再求和即可解答． 【详解】解：①： ， ， ……， ∴； ② ． 故答案为：，． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 请用上面得到的规律计算： ． 【答案】100 【分析】根据规律解答即可． 本题考查了数的规律计算，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 类型九、通过观察已知等式，猜想第n个代数式 31．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列等式，并完成下列问题： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， (1)请你写出第个等式： ； (2)第（，且为整数）个等式可表示为： ； (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题中等式写出结果即可； （）由题中等式找出规律求解即可； （）利用（）中规律计算即可； 本题考查了数字类规律变化问题，由已知等式找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，第个等式为， 故答案为：； （2）解：∵第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， ∴第（，且为整数）个等式可表示为：， 故答案为：； （3）解：由（）得， ． 32．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 33．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 【答案】(1)25；6； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算，解题的关键是能找到式子的规律． （1）观察已知算式即可得结果； （2）观察给出的算式，可得规律； （3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（1）④， ∴式子④中，， 故答案为：25；6； （2）由（1）给出的算式可得第n个等式：； （3）原式 ． 34．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 【答案】(1) (2)3025 (3)24200 【分析】本题主要考查数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． （1）根据材料提示得到规律即可求解； （2）结合（1）中的规律，把代入计算即可求解； （3）根据题意，将变形为，结合（2）中计算即可求解． 【详解】（1）解：； ； ； … ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 类型十、图形固定累加型 35．（2024·陕西西安·模拟预测）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（    ）根小木棒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加根据此可求解． 【详解】：∵第个图形中木棒的根数为：， 第个图形中木棒的根数为：， 第个图形中木棒的根数为：， …， ∴第n图形中木棒的根数为：， 故选：D． 36．（20-21七年级上·陕西西安·期中）如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第个图形中小黑点的个数应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可． 【详解】第1个图形，1+1×4=5个； 第2个图形，1+2×4=9个； 第3个图形，1+3×4=13个； 第n个图形，1+4n个； 故选：A． 【点睛】本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键． 37．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）“链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．先根据已知图形得出第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：； 第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：； 第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：； ， 所以第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为， 当时，（个， 即中的值是． 故选：B． 38．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）    【答案】/ 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 39．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】(1)， (2)正方形地砖有块，三角形地砖有块 (3)正方形地砖和三角形地砖的总数量为块 【分析】本题主要考查图形的规律，整式的运算，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． 【详解】（1）解：第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； 第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ， ∴第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块； ∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：，； （2）解：根据第个图，六边形的个数为块，正方形地砖有块，三角形地砖有块， ∴用去块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块； （3）解：当时，正方形地砖有：（块），三角形地砖有：（块）， ∴（块）， ∴正方形地砖和三角形地砖的总数量为块． 类型十一、图形递变累加型 40．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的．第一个图案有1个正方形和4个三角形；第二个图案有4个正方形和8个三角形；第三个图案有9个正方形和12个三角形，……按照这一规律，则第8个图案中正方形和三角形的数量之和为（   ） A．94 B．96 C．98 D．100 【答案】B 【分析】此题考查了图形类规律，正确理解图形的变化规律得到计算规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 根据已知图案中正方形和三角形的数量得到计算规律：第n个图案有个正方形和个三角形，进而可得第8个图案中正方形和三角形的数量，即可解答． 【详解】解：第一个图案有1个正方形和4个三角形，而，； 第二个图案有4个正方形和8个三角形，而，； 第三个图案有9个正方形和12个三角形，而，； …… 第n个图案有个正方形和个三角形， ∴第8个图案有个正方形和个三角形， ∴． 故选：B． 41．（2020·重庆·中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（    ）    A．10 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数． 【详解】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， …… ∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n． 42．（23-24七年级下·重庆·期中）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 43．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律的探究，根据前四个图案，得到外侧边上的点的个数的一般性规律和内部三角形的个数的一般性规律，从而得到结果． 【详解】解：第一个图案，外侧边上有3个“●”，内部“△”的个数为1， 第二个图案，外侧边上有6个“●”，内部“△”的个数为， 第三个图案，外侧边上有9个“●”，内部“△”的个数为， 第四个图案，外侧边上有12个“●”，内部“△”的个数为， …… 第n个图案，外侧边上有个“●”，内部“△”的个数是， ∵内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴第17个图案时，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 故选：B． 类型十二、分区域累加型 44．（20-21七年级上·重庆·期末）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（    ） A．69 B．73 C．77 D．83 【答案】B 【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1）， 第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3， 第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4， 第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5， 第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6， …… 第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73 第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1） 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变换增加个数规律,列出代数式． 45．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑥个图案中黑点的个数为（   ） A．46 B．50 C．51 D．57 【答案】D 【分析】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图形的数据，正确找出规律，然后求解．先求出前面几个图形中“●”的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：第①个图案中“●”有：个， 第②个图案中“●”有：个， 第③个图案中“●”有：个， 第④个图案中“●”有：个， …… 第个图案中“●”有：个， 第⑥个图案中“●”有：个， 故选：D． 46．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，…… ，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（   ） A．97 B．95 C．87 D．85 【答案】A 【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是： （个）． 故选：A． 47．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 类型十三、图形循环类规律探索 48．（22-23七年级上·河南郑州·期末）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作得图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若图①中三角形的边长为3，操作4次后所得“雪花曲线”的周长是（　　） A．22．5 B．21 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据最开始和前两次的操作归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的， 即为， 第三个在第二个的基础上，多了其周长的，即为， 依此类推，则得到的第n个图形的周长是第一个周长的， 即其周长是， 当操作四次后时，． 故选：D． 49．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，两个相同的三角形的边长都为，一个微型机器人由A点开始按的顺序沿三角形的边循环运动，行走 停下，则这个微型机器人停在（    ） A．点A处 B．点 B 处 C．点 C 处 D．点 E 处 【答案】B 【分析】本题主要考查数形结合思想，解题的关键是找出运动的规律并求出 2023 除以6的商和余数．根据等边三角形和全等三角形的性质，可以推出，每行走一圈一共走了6个1米，，即正好行走了 337圈又，即落到B点． 【详解】∵ 两个相同的等边三角形的边长为， ∴机器人由点A 开始按的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为 ． ∵，即正好行走了 337圈又 ， ∴行走 停下，这个微型机器人停在B 点． 故选：B． 50．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（   ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2025对应的字“兴”， 故选：B． 51．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为奇数时，第个图的方块数为，代入求解即可． 【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示， 当时，第个图的方块数为， 当（为正整数）时，第个图的方块数为， 第个图中共有方块为 故答案为：． 52．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数. 【答案】7082 【分析】本题主要考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键． 根据长方形的周长及的长求出、的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，再计算，最后计算P点所对应的数． 【详解】解：∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵点A对应的数为， ∴点对应的数为5， 翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为； ∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2， ∴， ∴翻滚2022次有1011个周期， ∴， ∴P点所对应的数为． 故答案为：7082． 53．（20-21七年级上·江苏宿迁·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　； （2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　． （3）应用上述公式计算： ①2+4+6+…+100 ②1002+1004+1006+…+1100 ③1+3+5+7+…+99 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③． 【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； （2）根据表格归纳类推出一般规律即可得； （3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； ②利用的值减去的值即可得； ③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得． 【详解】（1）根据规律得：当时，和， 故答案为：42； （2）由表可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 归纳类推得：， 故答案为：； （3）①， ， ； ②， ， ， ， ， ； ③， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 54．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：    第②式： 第③式： 将这三个等式的两边相加，可以得到： 读完这段材料，请你思考后回答： （1） （2） （用含的式子表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题 （1） （2） （用含n的式子表示） （3）计算：． 【拓展应用】 直接写出下式的结果： 【答案】材料阅读一：（1）3080；（2）；材料阅读二：（1）2870；（2）；（3）19270；拓展应用：10100 【分析】材料阅读一： （1）根据题中所给的式子得出第⑳式：，代入进行计算即可得到答案； （2）根据题中所给的式子得出第式：，代入进行计算即可得到答案； 阅读材料二： （1）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （2）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （3）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； 拓展应用： 根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】阅读材料一： 解：（1）第①式：    第②式： 第③式：， …， 第⑳式：， ； （2）第①式：    第②式： 第③式：， …， 第式：， ； 阅读材料二： 解：（1）第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ， 故答案为：2870； （2）第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ， 故答案为：； （3）由题意得： ； 拓展应用： 解：根据题意得： ， 故答案为：10100． 【点睛】本题考查了数字类变化规律、有理数的混合运算，理解题意，根据题中所给的式子，抽象概括出第式：以及是解此题的关键． 55．（21-22七年级上·湖北随州·阶段练习）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并写出：＝ ． (2)已知|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，试求：的值． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题中的等式出现的规律和分式的运算得到； （2）先利用相反数和非负数的性质得到，，则，然后根据（1）中的结论把每个分式化为两个分数的差，最后进行加减运算即可； （3）每个分数题得到原式，然后与（2）中的计算方法一样． 【详解】（1）； 故答案为； （2）与互为相反数， ， ，，解得，， ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 56．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”． 例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)填空：当时， ________；当时，_______； (2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M（完全平方数：如，…，我们称0，1，4，9，16…为完全平方数） 【答案】(1)532，783 (2)见解析 (3)682或286 【分析】本题考查了完全平方数和新定义，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意进行求解即可； （2）设“万象数”M为，则N为，则，进而化简成9的倍数的式子即可证明； （3）由是72的倍数，可得是8的倍数，结合为整数，得出符合条件的值，再根据题意求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，∴， 故答案为：532，783； （2）证明：设“万象数”M为，则N为，则， ∵， ∴， ∴其“格致数”都能被9整除； （3）解：∵是72的倍数， ∴是8的倍数， ∴是8的倍数， ∵为整数， ∴， ∵， ∴， ∴或或或或， ∴或或或或或， ∵， ∴的值为或144或360或72或576或288， ∵是完全平方数， ∴的值为144或576， ∴M的值为682或286． 57．（2023七年级下·江苏·专题练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少 次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由； (3)若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值． 【答案】(1)7 (2)14，不能所有纸牌全正，见解析 (3)n＝1，3，5，7 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案； （3）根据将n张牌翻动次数，分几种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）①两张由反到正，变化：， ②两张由正到反，变化：， ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正， 故不能所有纸牌全正； 故答案为：14； （3）由题可知：． ①当时，由（1）可知能够做到， ②当时，由（2）可知无法做到， ③当时，总和变化量为6，，2，， ， 故可以， ④当时，总和变化量为8，，4，，0， 14无法由8，，4，，0组成， 故不可以， ⑤当时，总和变化量为10，，6，，2，， ， 故可以， ⑥当时，总和变化量为12，，8，，4，，0， 无法组合， 故不可以， ⑦当时，一次全翻完，可以， 故，3，5，7时，可以． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数+奇数＝偶数，偶数+奇数＝奇数”进行解答即可． 58．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）． 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 … … (1)第个数可表示为 　　；第个数可表示为 　　； (2)第个数是，第个数为，则　　，　　； (3)第个数可表示为 　　． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）通过观察发现，每组三个数，后一组的三个数分别比前一组的三个数大，由此可知第组数是，，，根据题意可得，求出的值即可； （3）由（2）的规律，可知第个数是． 【详解】（1）解：（1）第6个数比第3个数大2， ∴第6个数是， 第7个数比第4个数大2， ∴第7个数是， 故答案为：，； （2）解：第一组数是， 第二组数是， 第三组数是， …… ∴第n组数是，，， ∵……1， ∴第22个数是，第23个数是， ∵第个数是，第个数为， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴第个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每组数的规律，从而得到一般性结论是解题的关键． 59．（20-21七年级上·四川·阶段练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克． 【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得； （2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得； （3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得． 【详解】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1， 搭建第②个几何体的小立方体的个数为， 搭建第③个几何体的小立方体的个数为， 归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为， 故答案为：30； （2）第②个几何体的三视图如下：    由题意，每个小正方形的面积为， 则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； 第③个几何体的三视图如下：    则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为， 则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为， 因此，共需要油漆的克数为（克）， 答：共需要992克油漆． 【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键． 60．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），证明见解析 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． 【详解】（1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 规律探究型问题 目录 1 类型一、末尾数规律问题 1 类型二、单/多项式规律问题 2 类型三、数阵类规律探索 2 类型四、杨辉三角形规律探索 3 类型五、幻方类规律探索 5 类型六、表格类规律探索 7 类型七、跨学科规律探索（化学） 8 类型八、通过观察已知等式求解 10 类型九、通过观察已知等式，猜想第n个代数式 10 类型十、图形固定累加型 12 类型十一、图形递变累加型 14 类型十二、分区域累加型 15 类型十三、图形循环类规律探索 16 18 类型一、末尾数规律问题 1．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 2．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是 ． 3．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ． 4．（20-21七年级下·山东青岛·期中）观察下列等式：，，，，，，．解答下列问题：的末位数字是 ． 类型二、单/多项式规律问题 5．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 7．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 8．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 类型三、数阵类规律探索 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 10．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）    (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为　　　； (2)十字框内五个数的和的最小值是　　　； (3)设正中间的数为，用式子表示十字框内五个数的和； (4)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2035？若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由． 11．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）下图的数阵是由全体奇数排成：    (1)图中“工”字形框内的七个数之和与中间的数有什么关系？算一算； (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的“工”字形框，这七个数之和还有这种规律吗？请说出理由． 类型四、杨辉三角形规律探索 12．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从开始箭头所指的数组成一个锯齿形：，则在这些数中，第个数是 ． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． 图1中第8行第5个数是 ；图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10，记第n层的圆球数记，则 ． 15．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 类型五、幻方类规律探索 16．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫图．将数字，，，，，，，，这个数分别填入如图所示的幻方的个空格中，要求每一横行，每一坚列以及两条斜对角线上的三个数之和都相等， 则：（1）图（1）中 ， ； （2）图（2）中 ． 17．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方；用今天的数学符号表示，“洛书”就是一个把这个连续整数填入其中的三阶幻方；幻方需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)按《论语》十二章，图1中空格应填字，“夫”字所对应“洛书”中的数字是 ： (2)如图2，三阶幻方中间的数字是．用的代数式表示幻方中个数的和为 (3)图3是一个三阶幻方，求出标有的方格中所填的数是多少？ 19．（24-25七年级上·广东佛山·期中）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等．这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和中心数． (1)如图2所示，则幻和 ； (2)若，求a的值是 ； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？(写出求解过程) 类型六、表格类规律探索 20．（23-24七年级上·广东深圳·期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为 ． 3 2 4 5 4 6 a 10 0 3 14 5 34 …… b x …… 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 21．（21-22七年级上·江西南昌·期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：    根据此规律确定的值为 ，的值为 ，的值为 ． 22．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【综合与实践】圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量n（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 10.8 11.6 12.4 13.2 14 … 【数学思考】 （1）观察这些表格中数据的规律，用含n的代数式表示h． （2）当杯子的数量为15只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 23．（23-24七年级上·江苏常州·期中）根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 9 7 5 3 a … … 2 5 8 11 b … (1)【初步感知】______；______； (2)【归纳规律】表中的值的变化规律是：的值每增加，的值就减少．类似地，的值的变化规律是什么? (3)【问题解决】请直接写出一个含的代数式，要求的值每增加，代数式的值就减小：______；若要求的值每增加，代数式的值就增加，且当时，代数式的值为．你能找到这样的满足条件的代数式吗?请直接写出______． 类型七、跨学科规律探索（化学） 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，设碳原子（C）的数目为（为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·吉林长春·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（   ） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 26．（24-25七年级上·浙江金华·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，回答下列问题： (1)请写出十烷的化学式： ； (2)请用含n的代数式表示n烷的化学式（，且n为整数）； (3)已知化学式，求m的值． 类型八、通过观察已知等式求解 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器计算并观察： ， ， ， ， … 请计算为正整数时，的值是 ． 28．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是43，已知，，，那么= ． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一组数据：，，…，．记，则① ；② ． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 请用上面得到的规律计算： ． 类型九、通过观察已知等式，猜想第n个代数式 31．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列等式，并完成下列问题： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， (1)请你写出第个等式： ； (2)第（，且为整数）个等式可表示为： ； (3)运用上述结论，计算：． 32．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 33．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 34．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 类型十、图形固定累加型 35．（2024·陕西西安·模拟预测）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（    ）根小木棒． A． B． C． D． 36．（20-21七年级上·陕西西安·期中）如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第个图形中小黑点的个数应该是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）“链状烷烃”是一种无环的饱和烃类化合物，它们的分子结构是一个直线状的碳原子链，每个碳原子与两个氢原子和两个相邻碳原子相连.“链状烷烃”的分子式如、可分别按如图对应展开，则中的值是（    ） A． B． C． D． 38．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）    39．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；图2为有块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块；…. (1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； (2)若铺设这条小路共用去块六边形地砖，分别用含的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)当时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 类型十一、图形递变累加型 40．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的．第一个图案有1个正方形和4个三角形；第二个图案有4个正方形和8个三角形；第三个图案有9个正方形和12个三角形，……按照这一规律，则第8个图案中正方形和三角形的数量之和为（   ） A．94 B．96 C．98 D．100 41．（2020·重庆·中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（    ）    A．10 B．15 C．18 D．21 42．（23-24七年级下·重庆·期中）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 类型十二、分区域累加型 44．（20-21七年级上·重庆·期末）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（    ） A．69 B．73 C．77 D．83 45．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑥个图案中黑点的个数为（   ） A．46 B．50 C．51 D．57 46．（23-24七年级上·重庆巴南·期末）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，…… ，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（   ） A．97 B．95 C．87 D．85 47．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 类型十三、图形循环类规律探索 48．（22-23七年级上·河南郑州·期末）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作得图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若图①中三角形的边长为3，操作4次后所得“雪花曲线”的周长是（　　） A．22．5 B．21 C． D． 49．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，两个相同的三角形的边长都为，一个微型机器人由A点开始按的顺序沿三角形的边循环运动，行走 停下，则这个微型机器人停在（    ） A．点A处 B．点 B 处 C．点 C 处 D．点 E 处 50．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（   ） A．振 B．兴 C．中 D．华 51．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为 ． 52．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数. 53．（20-21七年级上·江苏宿迁·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　； （2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　． （3）应用上述公式计算： ①2+4+6+…+100 ②1002+1004+1006+…+1100 ③1+3+5+7+…+99 54．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：    第②式： 第③式： 将这三个等式的两边相加，可以得到： 读完这段材料，请你思考后回答： （1） （2） （用含的式子表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题 （1） （2） （用含n的式子表示） （3）计算：． 【拓展应用】 直接写出下式的结果： 55．（21-22七年级上·湖北随州·阶段练习）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并写出：＝ ． (2)已知|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，试求：的值． (3)探究并计算：． 56．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”． 例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)填空：当时， ________；当时，_______； (2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M（完全平方数：如，…，我们称0，1，4，9，16…为完全平方数） 57．（2023七年级下·江苏·专题练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少 次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由； (3)若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值． 58．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）． 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 … … (1)第个数可表示为 　　；第个数可表示为 　　； (2)第个数是，第个数为，则　　，　　； (3)第个数可表示为 　　． 59．（20-21七年级上·四川·阶段练习）用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 60．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$