专题02 二次根式的运算（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题02 二次根式的运算（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的乘除运算 题型二、二次根式的加减运算 题型三、二次根式的混合运算 题型四、二次根式与新定义问题 题型五、二次根式中的规律探究问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的乘除运算 1．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．计算： （1） （2）． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2) ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)（）． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、二次根式的加减运算 7．（2024春•大连月考）计算： （1）263； （2）6a． 8．（2024秋•上蔡县校级月考）计算： （1）； （2）． 9．计算下列各题： （1）； （2）（3）﹣（）． 10．（2024春•乐陵市期中）计算下列各题： （1）； （2）． 11．（2024秋•北碚区校级月考）计算下列各题： （1）； （2）． 12．计算下列各式： （1） （2） （3） （4）． 题型三、二次根式的混合运算 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 14．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 15．（2024春·全国·八年级期中）化简： (1) (2) 16．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2)． 17．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 18．计算： （1）（）×（）； （2）（5+2）×（5﹣2）﹣（21）2； （3）（）； （4）|3|+（2023﹣π）0﹣（）﹣2． 题型四、二次根式的新定义问题 19．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 20．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 21．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 22．（2024春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． (1)与　　是关于3的一组“关联数”； (2)若，，判断与是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 24．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 题型五、二次根式中 规律探究问题 25．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）2（2）3 验证：2 验证：3 （1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4　 　；5　 　； （2）通过上述探究你能猜测出：n　 　（n为自然数，且n≥2），并验证你的结论． 26．（2024秋•海淀区校级期中）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 以下为小桃桃的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： （1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 ； （2）应用运算规律化简：　 　． 27．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 28．（2024秋•莲池区期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：a11， 特例2：a2， 特例3：a32， 特例4：a42， 特例5：　 　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值． 29．（2024春•长沙期末）观察下列规律： ∵1﹣2＝﹣1， ∴． ∵2﹣3＝﹣1， ∴． ∵3﹣4＝﹣1， ∴． … （1）根据上面的信息猜想：　 　； （2）利用上面的规律计算：（）（1）． 20．（2024春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程： a1， a2， a3， …… （1）按照此规律，写出第五个等式a5＝　 　； （2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn； （3）在（2）的条件下，若xS2a1，试求代数式x2+2x的值． 1．计算： （1）（）×（）； （2）（a＞0，b＞0）． 2．（2024春·云南昆明·八年级云大附中校考期末）计算： (1)； (2)． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 4．（2024秋•市北区校级期末）计算： （1）； （2）． 5．（2024秋•市北区校级期末）计算： （1）； （2）． 6．（2024春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用表示数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______和______； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的其中一个数对是，求的值． 7．（2024秋•江陵县期中）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[3.14]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： （1）[（）]＝　 　，（）的小数部分为 　 ； （2）已知a，b分别是5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值． 8．（2024秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题． ； ； ； ； … 根据上面的规律，解决问题： （1）　 　＝　 　； （2）求（用含n的代数式表示）． 9．（2024春•漳平市期末）阅读理解： 材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．应用规律，快速计算：． 根据材料，回答问题： 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：　 　（填写一个符合上述运算特征的例子）． …… （2）发现规律：　 　（n为正整数），并证明了此规律成立． （3）应用规律： ①计算：； ②如果，那么n＝　 　． 10．（2024春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的运算（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的乘除运算 题型二、二次根式的加减运算 题型三、二次根式的混合运算 题型四、二次根式与新定义问题 题型五、二次根式中的规律探究问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的乘除运算 1．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 2．计算： （1） （2）． 【分析】 （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】解： （1）； （2）a2|b|． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用二次根式的乘法公式进行计算即可得出答案； （2）应用二次根式的乘法公式进行计算即可得出答案． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】（1）解：∵，有意义， ∴， ∴ ； （2）解：∵有意义， ∴， ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， （1）先进行平方差公式的运算，然后化简； （2）先进行二次根式的除法运算，然后化简； （3）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简； （4）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型二、二次根式的加减运算 7．（2024春•大连月考）计算： （1）263； （2）6a． 【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案； （2）直接化简二次根式，再合并得出答案． 【详解】解：（1）原式＝2×263×4 ＝4212 ＝14； （2）原式36a ＝23 ＝4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 8．（2024秋•上蔡县校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化为最简二次根式，然后去括号合并同类二次根式即可； （2）先化为最简二次根式，然后去括号合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）原式＝41285 ＝12115． （2）原式＝4 ＝3． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是化成最简二次根式． 9．计算下列各题： （1）； （2）（3）﹣（）． 【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接化简二次根式进而合并得出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 10．（2024春•乐陵市期中）计算下列各题： （1）； （2）． 【分析】（1）原式先化简二次根式后，再进行加减运算即可； （2）原式先化简，再把括号展开后再进行加减运算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（2024秋•北碚区校级月考）计算下列各题： （1）； （2）． 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及加减运算，掌握正确化简各个二次根式是关键． 12．计算下列各式： （1） （2） （3） （4）． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）原式2 ； （2）原式＝23 ； （3）原式＝3 ； （4）原式＝2x6x ＝x7． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 题型三、二次根式的混合运算 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式和二次根式的乘法，再计算加法即可得． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则运算，接着把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先变形为，再根据二次根式的除法法则运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（2024春·全国·八年级期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算二次根式的乘除运算，同时利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是银题的关键． （1）先化简各二次根式，再计算括号内的，然后计算除法，最后计算加减即可； （2）先用完全平方公式计算，二次根式除法法则计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行二次根式的乘除法运算，再利用二次根式的性质化简后合并即可； （）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．计算： （1）（）×（）； （2）（5+2）×（5﹣2）﹣（21）2； （3）（）； （4）|3|+（2023﹣π）0﹣（）﹣2． 【分析】（1）先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后根据乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式先根据平方差公式和完全平方公式计算即可得到结果； （3）原式先计算除法和乘法，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果； （4）原式先根据绝对值的代数意义，零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算，最后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝25﹣12﹣281 ＝﹣16； （3）原式＝﹣4 ＝﹣4； （4）原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及的知识点有：平方差公式、完全平方公式、零指数幂、绝对值、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序是解题关键． 题型四、二次根式的新定义问题 19．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 20．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 22．（2024春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2)-2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案． 【详解】（1）∵a与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）∵与是关于2的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． (1)与　　是关于3的一组“关联数”； (2)若，，判断与是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 【答案】(1) (2)与是关于3的一组“关联数”，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对新概念的理解，理解新概念是解题的关键． （1）根据“关联数”的意义列式，即可求解； （2）根据“关联数”的意义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当，时， ； （2）解：与是关于整数3的一组“关联数”；理由如下： ∵，， ∴ ， ∴与是关于整数3的一组“关联数”． 24．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 题型五、二次根式中 规律探究问题 25．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）2（2）3 验证：2 验证：3 （1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4　 　；5　 　； （2）通过上述探究你能猜测出：n　 　（n为自然数，且n≥2），并验证你的结论． 【分析】（1）利用所给等式的规律求解； （2）先利用题中规律得到n（n＞0），然后根据二次根式的性质和乘法法则进行验证． 【详解】解：（1）4；5； （2）n（n＞0）， 验证：n•（n＞0）． 故答案为；；． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 26．（2024秋•海淀区校级期中）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 以下为小桃桃的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： （1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 ； （2）应用运算规律化简：　 　． 【分析】（1）从数字找规律，即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： （n+1）， 故答案为为：（n+1）； （2） ＝2023 ＝2023 ＝2023， 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键． 27．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）（2）根据已知等式的规律可得结论； （3），在根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 28．（2024秋•莲池区期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：a11， 特例2：a2， 特例3：a32， 特例4：a42， 特例5：　 　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值． 【分析】（1）根据所给的式子的特点进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：特例5为：， 故答案为：； （2）∵a11， a2， a32， a42， ...， ∴， 故答案为：； （3）a1+a2+a3+…+a20 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 29．（2024春•长沙期末）观察下列规律： ∵1﹣2＝﹣1， ∴． ∵2﹣3＝﹣1， ∴． ∵3﹣4＝﹣1， ∴． … （1）根据上面的信息猜想：　 　； （2）利用上面的规律计算：（）（1）． 【分析】（1）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中式子的特点，先分母有理化，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）（）（1） ＝（）（1） ＝（1）（1） ＝2021﹣1 ＝2020． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点． 20．（2024春•金乡县期中）观察下列各式及其变形过程： a1， a2， a3， …… （1）按照此规律，写出第五个等式a5＝　 　； （2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn； （3）在（2）的条件下，若xS2a1，试求代数式x2+2x的值． 【分析】（1）根据上述的规律第五个等式a5； （2）根据（1）总结得到的规律，用含n的等式表示an，然后计算Sn，抵消合并后，即可得到Sn＝1； （3）利用完全平方公式，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）a5． 故答案为：； （2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为：an， ∴Sn＝a1+a2+a3+………+an＝11； （3）∵S2＝1，a1＝1， ∴xS2a111， ∴x2+2x ＝（x+1）2﹣1 ＝（1+1）2﹣1 ＝6﹣1 ＝5． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，属于规律型题，根据题意找出一般性规律是解本题的关键． 1．计算： （1）（）×（）； （2）（a＞0，b＞0）． 【分析】（1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】解： （1）（）×（） （﹣1）×（） 120 ＝60； （2） •（）•3• ＝（） ＝﹣9a2． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024春·云南昆明·八年级云大附中校考期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（2024秋•市北区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的乘法可以解答本题； （2）先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ＝5﹣2﹣[（1）（1）]×（1） ＝5﹣2﹣（2﹣1）×（1） ＝5﹣2﹣1×（1） ＝5﹣21 ＝4； （2） 22﹣21 ＝2+3﹣22﹣21 ＝8﹣4． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．（2024秋•市北区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的乘法可以解答本题； （2）先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ＝5﹣2﹣[（1）（1）]×（1） ＝5﹣2﹣（2﹣1）×（1） ＝5﹣2﹣1×（1） ＝5﹣21 ＝4； （2） 22﹣21 ＝2+3﹣22﹣21 ＝8﹣4． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（2024春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用表示数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______和______； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的其中一个数对是，求的值． 【答案】(1)(，2)和(2，) (2) (3) 【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入，即可； （2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明相等，求出y即可； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，即得出，解出x即可． 【详解】（1）∵，， ∴数对的一对“对称数对”是(，2)和(2，)． 故答案为：(，2)和(2，)； （2）∵数对的一对“对称数对”的两个数对相同， ∴， 解得：； （3）∵， ∴数对的“对称数对”分别为(，)和(，)． ∵数对的一对“对称数对”的其中一个数对是， ∴只可能为， 解得：． 【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键． 7．（2024秋•江陵县期中）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[3.14]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： （1）[（）]＝　 　，（）的小数部分为 　 ； （2）已知a，b分别是5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值． 【分析】（1）根据二次根式的混合运算化简，再估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分，代入求值即可． 【详解】解：（1）（） 4， ∵36＜40＜49， ∴67， ∴24＜3， ∴原式的整数部分是2，小数部分为4﹣2＝26， 故答案为：2，26； （2）∵4＜5＜9， ∴23， ∴﹣32， ∴2＜53， ∴a＝2，b＝52＝3， ∴4ab﹣b2 ＝4×2×（3）﹣（3）2 ＝8（3）﹣（9﹣65） ＝24﹣89+65 ＝10﹣2． 【点睛】本题考查了无理数的估算，代数式求值，二次根式的混合运算，无理数估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 8．（2024秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题． ； ； ； ； … 根据上面的规律，解决问题： （1）　 　＝　 　； （2）求（用含n的代数式表示）． 【分析】（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论； （2）利用（1）发现的规律解答即可． 【详解】解：∵中，1+2＝3， 6中，1+2+3＝6， 10中，1+2+3+4＝10， ∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果． ∵1+2+3+4+5+6＝21， ∴（1）21． 故答案为：，21； （2）由（1）中发现的规律可得： 1+2+3+•••+n． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键． 9．（2024春•漳平市期末）阅读理解： 材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．应用规律，快速计算：． 根据材料，回答问题： 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：　 　（填写一个符合上述运算特征的例子）． …… （2）发现规律：　 　（n为正整数），并证明了此规律成立． （3）应用规律： ①计算：； ②如果，那么n＝　 　． 【分析】（1）根据特例进行分析求解； （2）根据特例中数字变化规律进行分析求解； （3）①应用运算规律和二次根式的性质进行化简计算； ②根据①中得结论可解答． 【详解】解：（1）特例4，， 故答案为：； （2）由题意可得：，理由如下： ＝1 ＝1； 故答案为：； （3）① ； ②∵， ∴nn， ∴n＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查和二次根式的混合运算，读懂题目信息，理解各种简便运算方法的操作是解题的关键． 10．（2024春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标． 【答案】(1)（，）；（，） (2)+ (3)（﹣，﹣） 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，，即可； （2）根据材料一，双重二次根式的化简，将化为，再根据，即可化简； （3）根据，得；将化简得；根据，得，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，，即可求出的坐标． 【详解】（1）∵ ∴点（，）的“横负纵变点”为（，） ∵ ∴点（，）的“横负纵变点”为（，） 故答案为：（，）；（，）． （2） ∴化简得：． （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点（，） ∵ ∴（，） 故的坐标为：（，）． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$