专题22.1 直角三角形的性质（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题22.1 直角三角形的性质 教学目标 1. 知道直角三角形中两个锐角互余； 2. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半； 3. 学会直角三角形中30°角的性质及推论。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形的两个锐角互余，及其逆定理； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，及其推论； （3）直角三角形中30°角的性质，及其推论； （4）进一步学习反证法在几何证明中的应用。 2.难点 （1）直角三角形的性质的有关证明； （2）直角三角形的性质的综合应用。 知识点1 直角三角形的性质1 直角三角形有一个角是直角，根据三角形的内角和定理，可推角形的一个性质定理： 定理 直角三角形的两个锐角互余. 其逆命题也是正确的，即得到直角三角形的一个判定定理： 定理 两个锐角互余的三角形是直角三角形. 请自行证明上面两个定理. 【即学即练】 1．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和定理 根据直角三角形的两个锐角互余即可求解 【详解】解：在中，，， ∴， 故选：D 2．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：在中，，， 所以，则， 故选：B． 3．如图，在中，于点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、直角三角形的性质（两锐角互余）及三角形内角和定理，解题的关键是通过等腰三角形性质求出底角的度数，再利用直角三角形内角关系计算． 由和，求；利用得，在中求． 【详解】∵， ∴ 是等腰三角形，． ∵，三角形内角和为， ∴． ∵， ∴（垂直定义）． 在中，． 故选：C. 4．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点2 直角三角形的性质2 1.直角三角形的性质2 下面我们来研究直角三角形的另一些性质. 如图22-1-1,在Rt△ABC中，作射线CD与边AB交于点D,将∠ACB分成两个角，使∠ACD=∠A,就有∠BCD=∠B,可见Rt△ABC被分成了两个等腰三角形. 基于上面的分析，可以得到直角三角形的另一个性质定理： 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.证明直角三角形的性质2 如图22-1-2,已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB. 证明 如图22-1-2,过点C作射线CD′交边AB于点D',使∠ACD′=∠A, 根据题意，可知∠ACD′+∠BCD′=90°,由“直角三角形的两个锐角互余”,可得∠A+∠B=90°, 从而推出∠BCD′=∠B. 所以，CD′=AD′=BD′,即线段AB的中点D与点D′重合. 因此，CD=AD=BD,即：CD=AB 3.直角三角形的性质2的推论 例 如图22-1-3,已知：CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 证明∵CD是边AB上的中线，且CD=AB. ∴ CD=AD=BD. ∴ ∠A=∠ACD,∠B=∠BCD. ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴ ∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°. ∴∠A+∠B=×180°=90° ∴ △ABC是直角三角形(两个锐角互余的三角形是直角三角形). 因此，我们可以得到如下推论： 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形。 或这样表述： 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则这条边所对的角为直角。 另外,反证法在本节的应用请自主学习。 【即学即练】 1．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 故选：D 2．直角三角形斜边上的中线长为 4，则该直角三角形的斜边长是（　　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形的性质，斜边上的中线长度等于斜边的一半，利用这一关系直接计算即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长为4， ∴该直角三角形斜边长为． 故选：A． 3．如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：中，是的中点， ， 故选：B． 4．如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用直角三角形斜边上的中线的性质求出即可． 【详解】解：∵在中，，垂足为D， ∴是直角三角形； ∵E是的中点． ∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）； 又∵， ∴； 故答案为：10 知识点3 直角三角形的性质3 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【即学即练】 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：C 2．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，于，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，以及角度和线段长度之间的关系．解题的关键在于确定和的角度，进而求得和的长度，最终计算出的总长．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用直角三角形的性质求出的长度，最后求出的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，中，，，D为中点，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质．先根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而得出角相等，再利用含角的直角三角形的性质求出的长度． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于，， ， ， 在中， ，， ． 故选：C． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵中，， ， 故选：B． 【变式1】．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和定理 根据直角三角形的两个锐角互余即可求解 【详解】解：在中，，， ∴， 故选：D 【变式2】．如图，，于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握相关的性质是解题的关键． 根据垂线的性质可得，根据平行线的性质可得，利用“直角三角形两个锐角互余”计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 题型02 两个锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 【变式1】．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 【变式2】．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 题型03 直角三角形中30°角的性质 【典例1】．如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握角直角三角形的性质（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）． 根据题意和直角三角形的性质“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”即可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ，即， ∴， 故选：C ． 【变式1】．在中，，，．则的长度是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查含的直角三角形的性质，解题的关键是熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：在中， ∵， ， 故选：B． 【变式2】．如图，将绕点A旋转一定的角度得到，，，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A旋转得到， ∴， 故选：C． 题型04 直角三角形中30°角的性质的几何应用 【典例1】．如图，在中，，于，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，以及角度和线段长度之间的关系．解题的关键在于确定和的角度，进而求得和的长度，最终计算出的总长．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用直角三角形的性质求出的长度，最后求出的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】．如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质．先利用线段垂直平分线的性质可得：，利用直角三角形的两个锐角互余可得：，再从而得，在中利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型05 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例1】．在中，斜边的长为10，则斜边上的中线长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：斜边上的中线长为． 故选：C 【变式1】．如图，在中，，点为的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握该直角三角形的特征． 根据直角三角形特征：直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：，且是的中点， ， ， ． 故选：． 【变式2】．用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（    ） A．cm B．cm C．2cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，D为边的中点， ∴ 故选：B 题型06 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的几何应用 【典例1】．如图，，，，为中点，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】．如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，于点D，E是的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质．设，可得，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：设， ∵，，即， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型07 直角三角形的性质的实际应用 【典例1】．小帅沿着坡角为的斜坡行走了6米，那么他上升的高度是 米． 【答案】3 【分析】本题考查了30度的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：如图所示： 依题意，米， 则（米） 即他上升的高度是米， 故答案为：3． 【变式1】0．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握含30度的直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解 【详解】如图所示， 由题可知：，， ∴， ∴米； 故选：D． 【变式2】．如图1，是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 过作于点，过作于点，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图： ， ∴在中，， 同理可得：， ∵A与B之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：C； 题型08 解答证明题 【典例1】．已知：如图在△ABC中，AD⊥BC，，求证△ABC是直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】可以通过角之间的转化推出∠BAC为直角即可． 【详解】∵AD⊥BC， ∴∠BAD+∠B=90°， ∵∠1=∠B， ∴∠1+∠BAD=∠BAC=90°， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】 本题考查了直角三角形两锐角互余以及直角三角形的判定，正确得到∠BAC=90°是解题的关键． 【变式1】．如图，在中，是高，， 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先结合题意确定，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”易得，再证明，进一步可得． 【详解】证明：∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在中，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质可得，再证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…， 求证：…；3．写出证明过程．） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】如图，根据等腰三角形的性质得，∠A=∠1，∠2=∠B，根据三角形的内角和定理得出，∠1+∠2+∠A+∠B=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可推出答案． 【详解】 已知：如图，在ΔABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB． 求证：ΔABC是直角三角形． 证明：∵ CD是AB边上的中线， ∴ AD=BD=AB， 又CD=AB， ∵ AD=BD=CD， ∴ ∠A=∠1，∠2=∠B， ∴∠1+∠2=∠A+∠B， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 【变式4】．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为15 【分析】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， （1）根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：是的斜边边上的中线，且， ， ， 是等边三角形， 的周长为15． 【变式5】．如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含角的直角三角形的性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， ∵，， ∴． 【变式6】．已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1)4； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边中线 等于斜边的一半等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由含30度角的直角三角形可知，再由等角对等边可得出． （2）连接，由直角三角形的性质可知，从而证得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ，， ， ， ． 一、单选题 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两个锐角互余是解题的关键. 根据直角三角形的两个锐角互余计算即可. 【详解】解：根据题意得， 故选：A. 2．如图，中，，，则（　　） A．3 B．4 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，根据原理可得． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选：A． 3．已知中，，是斜边上的中线，若，则（ ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得答案． 【详解】在中，，是斜边上的中线， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，在中，，．则长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用两个直角等量代换得出，再利用角所对的直角边是斜边的一半求出的长度，然后则的长度可求． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 5．如图，在中，，，点D是上一点，连接，，，则长是（        ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，然后根据三角形外角的性质求得，从而得到，最后根据等角对等边可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键． 6．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 【答案】C 【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解． 【详解】∵的三个内角比为1：1：2， ∴∠A=180°=90°， ∴∠ABC=45°， 在Rt△ABD中，， ∴∠ABD=30°， ∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键． 7．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中斜梁，立柱，且顶角，则（　　） A．16m B．8m C．4m D．2m 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到再利用含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）    A．50° B．40° C．30° D．25° 【答案】A 【分析】先根据直角三角形中两锐角互余求出，然后在Rt△CDB中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，再由外角定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ，点E是的中点， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 9．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ，， ， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ， ， ． 故选：C． 10．如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证△ABD≌△CAE，推出∠ABD=∠CAE，求出∠BPF=∠APD=60°，得出∠PBF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC． ∴∠BAC=∠C． 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE． ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°， ∴∠PBF=30°． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解题的关键是求出∠PBF=30°． 二、填空题 11．Rt△ABC中，锐角，则另一个锐角= ． 【答案】/65度 【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得． 【详解】解：在中，， 另一个锐角， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握理解直角三角形的两锐角互余是解题关键． 12．如图，在中，，，则点B到边的距离为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，然后根据所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 即点B到边的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 13．如图，在中，，，，，则为 cm． 【答案】9 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，根据含角的直角三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 14．如图，已知是等边三角形，于点，于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形． 根据等边三角形的性质可得,再根据得，根据含的直角三角形三边关系可计算出然后再利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 故答案为：3． 15．如图，点D在的延长线上，于点E，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理得出，再根据三角形的外角性质得出即可． 本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵点D在的延长线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图所示，在直角坐标系中，的顶点，且，则点 C 的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握点的坐标特点，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 如图：过点C作于点D，根据点得，再根据等腰直角三角形性质得，由此可得点C的坐标． 【详解】解：如图：过点C作于点D， ∵点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故答案为． 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可推出，则可得到，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 18．如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，，，均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质等，由等边三角形的性质得，进而得，由等腰三角形的性质得，故得，再利用直角三角形的性质可得，，即得到的边长为，据此解答即可求解，由等边三角形和直角三角形的性质找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴同理可得，，， ∴， ∴，， ∴的边长为， 的边长为， 的边长为， ， ∴的边长为， ∴的边长为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，，，，平分，若，求的长． 【答案】 【分析】通过倒角得出，进而得出，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结果； 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查了含角的直角三角形、角平分线的定义；熟练掌握直角三角形中角所对的直角边与斜边的数量关系是解题的关键． 20．如图，在中，，，平分交于点D． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到和的关系，然后即可得到和的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立； （2）根据30°角所对的直角边和斜边的关系，可以得到的长． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． 21．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定， 先连接，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得为等腰三角形，然后根据“三线合一”解答即可. 【详解】证明：连接， 为边上中线， ． 又 ， 为等腰三角形． 又 ∴点是的中点． 22．如图，在中，． (1)尺规作图：在线段上作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点D到直线的距离为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2cm 【分析】（1）根据题意作出的垂直平分线即可； 【详解】（1）如图所示，点D即为所求， （2）由（1）可知，为的垂直平分线 ∴ ∴ ∵，cm ∴cm． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)当点在的中点时，；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当点在的中点时，，根据等腰三角形的性质得出平分，再根据角平分线的性质即可得到结论； （2）由题意得，进而得出，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在的中点时，，理由如下， 如图，连接， 是的中点， 平分， ，， ； （2）解：是的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有三角板进行旋转，让两个的顶点放置在一起，取的中线，让绕点任意旋转． 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段与的位置存在平行的情况． 问题解决： (1)如图1，将绕点顺时针旋转，请判断与平行吗？并说明理由； (2)当顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)有，旋转角为 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结论：．延长交于点H．证明可得结论； （2）存在．如图2中，当时，旋转角为．利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1） ； 理由：如图，延长交于点， ， 为的中线， ， ，， ，是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转， ，， ， ， ， ， ； （2）当旋转角为时， ， 理由：如图2：延长，交于点， 由（1）得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ∴旋转角． 25．已知点在轴正半轴上，以为边作等边，．其中是方程的解． (1)求点的坐标； (2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求度数； (3)如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了算术平方根的非负性，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）根据算术平方根的非负性，即可求解； （2）先证明，可得，由四边形内角和定理求解即可； （3）证明，可得，可求，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ， ∵， ； （3）解：的值不会发生变化，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的值不发生变化，其值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1 直角三角形的性质 教学目标 1. 知道直角三角形中两个锐角互余； 2. 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半； 3. 学会直角三角形中30°角的性质及推论。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形的两个锐角互余，及其逆定理； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，及其推论； （3）直角三角形中30°角的性质，及其推论； （4）进一步学习反证法在几何证明中的应用。 2.难点 （1）直角三角形的性质的有关证明； （2）直角三角形的性质的综合应用。 知识点1 直角三角形的性质1 直角三角形有一个角是直角，根据三角形的内角和定理，可推角形的一个性质定理： 定理 直角三角形的两个锐角互余. 其逆命题也是正确的，即得到直角三角形的一个判定定理： 定理 两个锐角互余的三角形是直角三角形. 请自行证明上面两个定理. 【即学即练】 1．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点，则等于（　　） A． B． C． D． 4．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 知识点2 直角三角形的性质2 1.直角三角形的性质2 下面我们来研究直角三角形的另一些性质. 如图22-1-1,在Rt△ABC中，作射线CD与边AB交于点D,将∠ACB分成两个角，使∠ACD=∠A,就有∠BCD=∠B,可见Rt△ABC被分成了两个等腰三角形. 基于上面的分析，可以得到直角三角形的另一个性质定理： 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.证明直角三角形的性质2 如图22-1-2,已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB. 证明 如图22-1-2,过点C作射线CD′交边AB于点D',使∠ACD′=∠A, 根据题意，可知∠ACD′+∠BCD′=90°,由“直角三角形的两个锐角互余”,可得∠A+∠B=90°, 从而推出∠BCD′=∠B. 所以，CD′=AD′=BD′,即线段AB的中点D与点D′重合. 因此，CD=AD=BD,即：CD=AB 3.直角三角形的性质2的推论 例 如图22-1-3,已知：CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 证明∵CD是边AB上的中线，且CD=AB. ∴ CD=AD=BD. ∴ ∠A=∠ACD,∠B=∠BCD. ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴ ∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°. ∴∠A+∠B=×180°=90° ∴ △ABC是直角三角形(两个锐角互余的三角形是直角三角形). 因此，我们可以得到如下推论： 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形。 或这样表述： 在三角形中，一边上的中线等于这条边的一半，则这条边所对的角为直角。 另外,反证法在本节的应用请自主学习。 【即学即练】 1．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 2．直角三角形斜边上的中线长为 4，则该直角三角形的斜边长是（　　　） A．8 B．6 C．4 D．2 3．如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 4．如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 知识点3 直角三角形的性质3 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【即学即练】 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 2．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，于，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，D为中点，则的大小为 ． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，，于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型02 两个锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型03 直角三角形中30°角的性质 【典例1】．如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】．在中，，，．则的长度是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】．如图，将绕点A旋转一定的角度得到，，，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 题型04 直角三角形中30°角的性质的几何应用 【典例1】．如图，在中，，于，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．2 【变式2】．如图所示，在 中，，，为 边的垂直平分线，，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型05 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例1】．在中，斜边的长为10，则斜边上的中线长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【变式1】．如图，在中，，点为的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（    ） A．cm B．cm C．2cm D．cm 题型06 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的几何应用 【典例1】．如图，，，，为中点，则 ． 【变式1】．如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的大小为 ． 【变式2】．如图，在中，，于点D，E是的中点，，则 ． 题型07 直角三角形的性质的实际应用 【典例1】．小帅沿着坡角为的斜坡行走了6米，那么他上升的高度是 米． 【变式1】．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．10米 D．12米 【变式2】．如图1，是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 题型08 解答证明题 【典例1】．已知：如图在△ABC中，AD⊥BC，，求证△ABC是直角三角形． 【变式1】．如图，在中，是高，， 求证：． 【变式2】．如图，在中，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式3】．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…， 求证：…；3．写出证明过程．） 已知： 求证： 证明： 【变式4】．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【变式5】．如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式6】．已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 一、单选题 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，则（　　） A．3 B．4 C．6 D．不确定 3．已知中，，是斜边上的中线，若，则（ ） A．3 B．5 C．6 D．10 4．如图，在中，，．则长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在中，，，点D是上一点，连接，，，则长是（        ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 7．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中斜梁，立柱，且顶角，则（　　） A．16m B．8m C．4m D．2m 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）    A．50° B．40° C．30° D．25° 9．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．Rt△ABC中，锐角，则另一个锐角= ． 12．如图，在中，，，则点B到边的距离为 ． 13．如图，在中，，，，，则为 cm． 14．如图，已知是等边三角形，于点，于点，若，则 ． 15．如图，点D在的延长线上，于点E，若，，则的度数是 ． 16．如图所示，在直角坐标系中，的顶点，且，则点 C 的坐标是 17．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 18．如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，，，均为等边三角形，若，则的边长为 ． 三、解答题 19．如图，，，，平分，若，求的长． 20．如图，在中，，，平分交于点D． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，求的长． 21．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 22．如图，在中，． (1)尺规作图：在线段上作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点D到直线的距离为，求的长． 23．在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为、． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，求的长． 24．综合实践： 动手操作： 小明在学完旋转后，利用两个相同的含有三角板进行旋转，让两个的顶点放置在一起，取的中线，让绕点任意旋转． 发现结论： 在旋转的过程中，发现线段与的位置存在平行的情况． 问题解决： (1)如图1，将绕点顺时针旋转，请判断与平行吗？并说明理由； (2)当顺时针旋转一周时，还存在平行的情况吗？若有，请求出旋转的角度；若无，请说明理由． 25．已知点在轴正半轴上，以为边作等边，．其中是方程的解． (1)求点的坐标； (2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求度数； (3)如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$