专题09 直线中的对称与新定义问题（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题09 直线中的对称与新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、点关于点对称 1 类型二、点关于直线对称 2 类型三、直线关于点对称 3 类型四、直线关于直线对称 4 类型五、入射、反射光线背景下的对称问题 4 类型六、直线中的新定义问题 6 压轴专练 7 类型一、点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 2．已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 二、填空题 3．点P关于点M对称的点的坐标为 ． 类型二、点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 5．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 类型三、直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 2．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 4．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 类型四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 类型五、入射、反射光线背景下的对称问题 一、单选题 1．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 5．设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 类型六、直线中的新定义问题 一、填空题 1．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 二、解答题 5．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离. (1)求点到直线与直线的“折线距离”； (2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. (1)求满足的点的轨迹所围成的图形面积； (2)在中，求证：； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高二上·广西北海·期中）一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点的路径长为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 二、多选题 6．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山西长治·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，且，则 C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3 D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2 三、填空题 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 9．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 10．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 11．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 14．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是 . 四、解答题 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 17．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 直线中的对称与新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、点关于点对称 1 类型二、点关于直线对称 3 类型三、直线关于点对称 6 类型四、直线关于直线对称 9 类型五、入射、反射光线背景下的对称问题 12 类型六、直线中的新定义问题 17 压轴专练 23 类型一、点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 2．已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 二、填空题 3．点P关于点M对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据对称中心的概念以及中点坐标公式即可求解. 【详解】解：由题意得： 设对称点的坐标为 ，解得： 所以对称点的坐标为 故答案为： 类型二、点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得. 故选：A. 2．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，先根据对称得到方程，求出点坐标，数形结合得到，直线垂直于直线时，点到直线的距离最大，根据的斜率求出直线的斜率为，得到直线方程. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，解得，即 设点到直线的距离为， 又直线经过点，所以当垂直于直线时，取得最大值， 而， 因此直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 故选：B 二、填空题 4．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程. 【详解】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 类型三、直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 2．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 二、解答题 3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程. 【详解】因为，所以，所以交点是， 设直线的方程为，代入，则，所以， 因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为， 关于的对称点为，且在直线上， 所以，即， 所以直线的方程为. 4．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，然后由点到直线的距离为，列方程可求出的值，再求出点关于点对称，再在直线上任取一点，求出其关于点的对称点，从而可求出直线的方程； （2）设原点为关于直线的对称点为，则，当三点共线时取等号，然后求出直线的方程，联立直线的方程与直线的方程可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为， 因为点到直线的距离为， 所以， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 当时，， 则直线与轴交于点， 点，关于点的对称轴分别为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， （2）设原点为关于直线的对称点为，则， 所以， 所以当三点共线时取等号， 设，则，解得，即， 所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即. 类型四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 二、填空题 3．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线和关于直线对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程． 【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 类型五、入射、反射光线背景下的对称问题 一、单选题 1．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 故选：. 2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得． 【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 5．设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线， 所以直线的方程为，，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，,, 所以. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 类型六、直线中的新定义问题 一、填空题 1．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 【答案】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 【答案】 2 3 【分析】根据定义直接计算①，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得②. 【详解】对于①若则； 对于②，设，则， 函数图象如下所示：则. 故答案为：2；3 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 /0.5； 4. 【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【答案】8 【分析】结合有向距离定义，化简可得，由在直线l的同侧得，化简得的范围，由直线与直线的变化数形结合可得. 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论： 在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即点在直线的同侧；点在直线的异侧. 二、解答题 5．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离. (1)求点到直线与直线的“折线距离”； (2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)7 (2),证明见解析 【分析】（1）先求得坐标，由点到线的距离公式即可求解； （2）求得在上的镜像点，再结合即可求解. 【详解】（1）设，由题意可得：解得： 所以 （2）设在直线的镜像点， 由题意可得：解得：， 所以 又， 所以 所以， 所以动点在定直线上. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. (1)求满足的点的轨迹所围成的图形面积； (2)在中，求证：； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)存在，和 【分析】（1）先求得点的轨迹方程，画出图象，从而求得点的轨迹所围成的图形面积. （2）根据绝对值三角不等式以及曼哈顿距离的定义证得不等式成立. （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. 【详解】（1）设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则. 如图，点的轨迹是一个边长为的正方形， 点的轨迹所围成的图形面积为.    （2）设， 则 ， 当且仅当且时等号成立， 在中，. （3）点到直线的距离为. 设，则， 当时，，又此时，满足题意； 当时，， 又且恒成立，当且仅当时等号成立. 综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是和 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 一、单选题 1．（24-25高二上·广西北海·期中）一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点的路径长为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出关于轴的对称点,再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】点关于轴对称的点为， 则该光线从点到点的路径长为． 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．（23-24高二上·天津·期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案. 【详解】设与直线关于轴对称的直线的上一点为， 则在直线上，即得，即， 故与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：A 4．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】作点O关于直线的对称点C，则．点P到y轴的距离为，故可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 【详解】如图： 作点O关于直线的对称点C，则． 设，则有解得所以． 已知第一象限内的点，则， 而，，所以点P到y轴的距离为， 所以可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 过P作轴，显然有， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作轴，则即为最小值， 此时P的位置即为CH与直线的交点． 因为，所以的最小值为4． 故选：B. 5．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值， 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确； 对于②，定点、，动点， 满足， 则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，. 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确， 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝. 二、多选题 6．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 7．（24-25高二下·山西长治·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，且，则 C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3 D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2 【答案】AC 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义即可判断AB，对于C设，则利用三角不等式即可判断，对于D设，则，由二次函数即可判断. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：或1，故B错误； 对于C：设，所以，故C正确； 对于D：设，所以， 当时，，所以当时，则的最小值为，故D错误， 故选：AC. 三、填空题 8．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 故答案为： 9．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 10．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 【答案】 【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得. 【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 因为为的重心，，所以， 由光的反射原理可知，三点共线，所以， 即，解得（舍去）或. 故答案为： 14．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是 . 【答案】 【分析】设，将问题转化为求两点到原点距离之和的最小值与最大值的和， 结合图形可得答案. 【详解】设，. 则， 表示两点到原点距离之和. 如图，建立直角坐标系，其中. 注意到点在直线上（其中）， 过B作y轴垂线，垂足为.则， 设原点关于直线对称的点为，又直线斜率为-2. 则，即. 则由对称性， ，当且仅当C，B，D三点共线， 即DC垂直于y轴时取最小值； 又设DC垂直于y轴时，与直线交点为E. 则当点B位于点E上方或下方时，始终有， 要使最大，则点B需位于G点或H点， 可得最大值为. 则最小值与最大值的和是. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：对于求解含有根式的条件等式范围问题，可利用数形结合思想，将问题转化为距离相关的问题. 四、解答题 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 17．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离，几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：， 平方化简可得：， 解得：或，即， 所以直线方程为：或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$