第2章 特殊三角形 单元培优卷 2025-2026学年浙教版 数学八年级上册

2025-2026学年浙教版（2024) 数学八年级上册第2章 特殊三角形单元培优卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．国家大力发展新能源汽车，下列新能源汽车的车标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题中，假命题是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．对顶角相等 C．若，则 D．如果直线，，那么直线 3．在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A．， B．，， C．， D．， 4．如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 10．如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（　　） A．18 B．24 C．25 D．36 二、填空题（每题3分，共18分） 11．“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）． 12．如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答：　 　． 13．如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为　 　． 14．如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动　 　． 15．如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ． （1）若 ，则 的度数为　 　； （2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为　 　． 16．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当时，S△DEF＝1﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣3； … 直接写出，当时，S△DEF＝　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数． 18．如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上． （1）仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰． （2）仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰． 19．如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。 （1）证明： ΔAEB≌ΔADC； （2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。 20．今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问：索长几何?(选自《九章算术》) 题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺(如图).在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.这根绳索有多长? 将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦与股的差为d，求弦长c. （1）试用a， d表示c； （2）查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法. 21．【概念学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”． （1）【概念理解】 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线； （3）【概念应用】 在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数． 22．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点， （1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形 （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长 23．如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F （1）求证：AE=BD； （2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积. 24．在中，，；于点D，点E，F分别在，上，且，与交于点N． （1）如图1，当点E与点A重合时， ①求证：； ②直接写出的值． （2）如图2（图在答题卷上），当点E在边上时， ①依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】四条边相等的四边形是正方形；假 12．【答案】垂直平分 13．【答案】10 14．【答案】 15．【答案】（1）125° （2）25°<m<65° 16．【答案】 17．【答案】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°； ∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝100°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝50°， ∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°． 18．【答案】（1）解：如图，等腰即为所求（答案不唯一）． ， ， ∴为以为腰的等腰三角形． （2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）． ， ， ∴为以为底的等腰三角形． 19．【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C =45°， ∵BE⊥BC， AD⊥AE， ∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACB=45° E ， ∠BAE=∠CAD， ∴△AEB≌△ADC(ASA)； （2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F， ∵CD=3BD=3， ∴BD=1， ∴BC=4， ∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC， ∴BF=AF=2， ∴DF =1， ∴AD= (负值舍去)。 20．【答案】（1）解：设弦长为c，因为弦与股的差为d，所以股长为c-d，勾长为a。 根据勾股定理可得： 展开得则方程变为 移项可得两边同时除以2d，解得c 因此，能用a，d表示c， （2）设木杆长高为h，表示绳长，利用勾股定理列方程解答即可. 21．【答案】（1）是 （2）解：∵∠A=36°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°-36°-48°=96°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°， ∴∠BCD=∠B=∠ACD， ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°， 在△ABC和△ACD中， ∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC， ∴△ABC与△ACD互为“形似三角形” ∴CD为△ABC的等腰分割线. （3）解：105°或112.5° 22．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB ∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵E为AB的中点 ∴CE=DE=AB. ∴△ECD是等腰三角形. （2）解：过E作EG⊥CD ∵CE=DE ∴CD=2CG ∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点 ∴ BE=CE=4， CE⊥AB. ∵ BF=1 ∴EF =3， ∴在Rt△CEF中，CF=5 ∴EG= ∴在Rt△CEG中， ∴CD=2CG= 23．【答案】（1）解：由题意可得，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE ∴∠ACE= ∠BCD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE=BD （2）解：∵△CDE是等腰直角三角形， ∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°， ∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45° （3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H 由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°， ∵BC∥DE， ∴∠BCE=∠CED=45° ∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE =180°-90°-45°=45° ∴∠CDG=45°， ∴CG=DG， 在 Rt△CDG中，根据勾股定理可得CG=DG=1， ∴BG=BC+CG=3+1=4， 在Rt△BDG中， ∴AE=BD=， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE= ∠CBD， ∵∠AHC= ∠BHF， ∴∠ACH=∠BFH=90° 24．【答案】（1）①证明：，， 是等腰直角三角形， ∴AD=CD. ，， ， ∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD， ∴∠BAF=∠BCD， 在△ADN和△CDB中， ， ​​​​​​②； （2）解：①如图1， ②的值不变，理由如下： 过点作分别交，于点G，M，如图2，所示： ∵EM//AB，，， ∴CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°， △CGE是等腰直角三角形， ∴EG=CG. ，CD⊥ME， ， ∴∠EMF+∠MEF=90°=∠EMF+∠MCG， ∴∠MEF=∠MCG， ， ∴EN=CM=2CF， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$