精品解析：山西省太原市第四中学校2025-2026学年高三8月月考数学试题

山西省太原市第四中学校2025-2026学年高三8月月考数学试题 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如果函数，那么函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（6*3=18分） 9. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上的最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 11. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为3π B. 的增区间是 C. 是奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 三、填空题（5*3=15分） 12. 已知，求__________. 13. 已知偶函数的定义域为，且当时，，则______． 14. 函数的单调递增区间是______． 四、解答题 15. （1）计算： ； （2）化简： ． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 19. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原市第四中学校2025-2026学年高三8月月考数学试题 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念，找出同时满足集合和集合条件的的取值范围即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式求出并化简集合，然后由交集定义可得. 【详解】由解得，即， 由解得，即， 所以. 故选：D 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 4. 如果函数，那么函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 5. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 6. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 7. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数和对数的单调性可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 8. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 故选：C 二、多选题（6*3=18分） 9. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上的最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【解析】 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得此时函数单调递减，所以在区间上的最小值为，B正确； 对于C，因为，所以点是图象的一个对称中心，C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象不关于轴对称，D错误； 故选：BC. 【点睛】三角函数图象变换题的解题入手点 1.对于函数，其图象的基本变换有如下几种： （1）纵向伸缩变换：由的变化引起，时伸长，时缩短； （2）横向伸缩变换：由的变化引起，时缩短，时伸长； （3）横向平移变换：由的变化引起，时左移，时右移； （4）纵向平移变换：由的变化引起，时上移，时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 2.若变换前后的函数名不同，则需要先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论． 3.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来进行推． 11. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为3π B. 的增区间是 C. 是奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】由函数最值求解A，由周期求ω，结合特殊点的函数值求，即得函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可． 【详解】对于A，由图，，函数的最小正周期满足，则，故A正确； 对于B，由A可得，则，又因图象过点，则， 即，因，所以则得 令，解得，故B正确； 对于C，，因函数的定义域为，其图象显然不经过点，故不是奇函数，即C错误； 对于D，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）可得，故D错误． 故选：AB． 三、填空题（5*3=15分） 12. 已知，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算. 【详解】． 故答案为：. 13. 已知偶函数的定义域为，且当时，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 14. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）计算： ； （2）化简： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数运算律即可求得答案. （2）利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系即可化简. 【详解】（1）原式. （2）原式. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因，则. 从而； 【小问2详解】 因，则. 从而. 17. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【小问1详解】 ， 所以； 令，解得． 【小问2详解】 因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的表达式，利用最小正周期即可求出的值； （2）写出的表达式，即可求出的单调递增区间. 【小问1详解】 由题意， 在中， ， ∵的最小正周期为， ∴，解得. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，， ∴， 当单调递增时，，， 解得，， ∴的单调递增区间为． 19. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 【答案】（1）；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间． （2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程． 【小问1详解】 ， ． 由，，求得，， 函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由时，，， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $