精品解析： 河南省郑州市中原区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市中原区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量．下面我国四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（　　） A.  小鹏汽车 B. 蔚来汽车 C. 阿维塔汽车 D. 理想汽车 2. 在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在0.0000425秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 成语“水中捞月”是必然事件 B. “郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C. “在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 4. 无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用，无人机爱好者小军有一次操控无人机从O点出发派送物品到指定地点，如图是飞行路程S随时间t变化的关系图象．下列分析错误的是（　　） A. 无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为 B. 在内，无人机平均速度为 C. 在内，无人机在进行加速运动 D. 在内，无人机在进行匀速运动 5. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A. 若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B. 若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D. 若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 7. 如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图的运算程序中，第1次输入的x为27，则第2025次输出的结果（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，则当周长最小时，（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算： ______． 12. 一副初中专用三角板与按如图所示的方式摆放，，．当时，的度数为______． 13. “早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， ________随__________变化而变化． 14. 一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是______． 15. 如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为______． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 化简： （1）； （2）． 17. 如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． （1）P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______． （2）两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． ①猜“奇数”或“是偶数”； ②猜“是大于8的数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 18. 懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象出的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一条直线上，且．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又______（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （______）． 又∵______（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴______（同角补角相等）． 19. 如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示： 底边长x（cm） 1 2 三角形面积 3 6 （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）由上表可知，边上的高为________； （3）y与x的关系式可以表示为________； （4）当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点D，垂足为点F； ②连接，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 21. 如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分面积． 22. （1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河南省郑州市中原区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 近年来，我国的新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量．下面我国四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（　　） A.  小鹏汽车 B. 蔚来汽车 C. 阿维塔汽车 D. 理想汽车 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、B、C选项中的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形， 故A、B、C选项中的图形都是轴对称图形，不符合题意； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合， 故D选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在0.0000425秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 成语“水中捞月”是必然事件 B. “郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C. “在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义、随机事件、概率公式等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 根据概率的意义、随机事件、概率公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、成语“水中捞月”是不可能事件，故A不符合题意； B、“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天下雨的可能性很大，故B不符合题意； C、“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件，故C符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数不一定是100次，故D不符合题意． 故选：C． 4. 无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用，无人机爱好者小军有一次操控无人机从O点出发派送物品到指定地点，如图是飞行路程S随时间t变化的关系图象．下列分析错误的是（　　） A. 无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为 B. 在内，无人机的平均速度为 C. 在内，无人机在进行加速运动 D. 在内，无人机在进行匀速运动 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．根据图象信息逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知： A．无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为，说法正确，故本选项不符合题意； B．在内，无人机的平均速度为，说法正确，故本选项不符合题意； C．在内，无人机在停止运动，原说法错误，故本选项符合题意； D．在内，无人机在进行匀速运动说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 6. 小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A. 若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B. 若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D. 若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，由下列条件：①；②；③；④；不能判定的条件个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由同旁内角互补，两直线平行判定，故①不符合题意； ②由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故②符合题意； ③由内错角相等，两直线平行判定，故③不符合题意； ④由内错角相等，两直线平行判定，不能判定，故④符合题意， ∴不能判定的条件个数有2个． 故选：B． 8. 如图的运算程序中，第1次输入的x为27，则第2025次输出的结果（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律、流程图等知识点，发现输出规律成为解题的关键． 由第1次输入的x为27，依次求出第1次输出的结果是9，第2次输出的结果是3，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是3，第5次输出的结果是1，可得规律“即从第二次后，第奇数次输出为1，偶次输出为3”，再结合2025是奇数即可解答． 【详解】解：第1次输入的x为27，则第1次输出的结果是9，第2次输出的结果是3，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是3，第5次输出的结果是1，即从第二次后，第奇数次输出为1，偶次输出为3， 由2025是奇数，则第2025次输出的结果是1． 故选：A． 9. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点M，N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，，若，则当周长最小时，（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 连接．根据垂直平分，推出，所以当A、P、D在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 详解】解：如图，连接． 垂直平分， 当A、P、D在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． 点D是边的中点， 故选：B． 10. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． ①先证明，进而依据“”判定和全等得可判断①；②根据得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此得，继而得周长为可判断②；③设的延长线交于点H，证明和是等腰直角三角形得，由此得是等腰直角三角形，则可判断③；④假设，根据得，再根据得，进而得是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾，由此得假设是错误的，据此可判断④． 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式的除法，熟练掌握单项式除法运算法则是解题的关键． 利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一副初中专用三角板与按如图所示的方式摆放，，．当时，的度数为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质以及三角板的特点求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. “早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， ________随__________变化而变化． 【答案】 ①. 温度 ②. 时间 【解析】 【分析】根据自变量和因变量的定义：自变量是会引起其他变量发生变化的变量，是被操控的；因变量是由一些变化而被影响的量，是被测定或被记录的；进行求解即可． 【详解】解：“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜” 这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间的变化而变化， 故答案为：温度，时间． 【点睛】本题主要考查了自变量和因变量，解题的关键在于能够熟知二者的定义． 14. 一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的有关运算，掌握要使商最大，则被除数应该最大、除数最小成为解题的关键． 设这个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,，列出式子，根据要使商最大，被除数应该最大，除数最小，从而得到，进而完成解答． 【详解】解：设这个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,， ∴ ， ∵要使商最大，， ∴当时，商的最大，最大值为：． 故答案为：100． 15. 如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、翻折变换的性质、平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，，求得，再分两种情况讨论，一是，则，所以，由折叠得；二是，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 如图1，，则， ∴， ∵将沿折叠得， ∴； 如图2，，则， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、多项式除以单项式等知识点，熟练运算相关运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算单项式的乘除法，然后合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式的方法计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，一个均匀的转盘被平均分成12等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字． （1）P（转出的数字是4的倍数）______；P（转出的数字不是4的倍数）______． （2）两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜． ①猜“是奇数”或“是偶数”； ②猜“是大于8数”或“不是大于8的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由． 【答案】（1）， （2）选择②，猜“不是大于8的数”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 本题考查是游戏的公平性，随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：P（转出的数字是4的倍数）； P（转出的数字不是4的倍数）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择②，猜“不是大于8的数”，理由如下： ①“是奇数”或“是偶数“都是， ②“是大于8的数”的有4种，“不是大于8的数”的有8种，因此“是大于8的数”可能性是，“不是大于8的数”的可能性是， 因此，选择②，猜“不是大于8的数”，这样获胜的可能性为，获胜的可能性最大． 18. 懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象出的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一条直线上，且．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又______（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （______）． 又∵______（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴______（同角的补角相等）． 【答案】∠GHD；两直线平行，同旁内角互补；；∠EFN=∠G 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：如图（2），延长交于点， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；． 19. 如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示： 底边长x（cm） 1 2 三角形面积 3 6 （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）由上表可知，边上的高为________； （3）y与x的关系式可以表示为________； （4）当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________． 【答案】（1）底边长x，三角形面积y （2）6 （3） （4）9，36 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与x的关系式． （1）根据函数的定义找出自变量和函数； （2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，设边上的高为h，有三角形面积即可计算出高； （3）根据三角形面积公式表示出y与x的关系式； （4）根据三角形的面积公式求出面积，根据面积即可得出结论． 【小问1详解】 解：在这个变化过程中，自变量是底边长即x，函数是的面积即y， 故答案为：底边长x，三角形面积y； 【小问2详解】 由表可知，当面积为6时，底边长为2， 设边上的高为h， ， ， 故答案为：6； 【小问3详解】 ， 故答案为：； 【小问4详解】 当时，， 当时，， 当底边长由变化到时，三角形的面积从变化到， 故答案为：9，36． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：①作边垂直平分线交于点D，垂足为点F； ②连接，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 22. （1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）4或2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，正确作辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）由角平分线的性质可解答； （2）如图：作交延长线于点E，于点F，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图3，在上截取，连接，证明得出，由直角三角形的性质可即可解答；如图3：取的中点F，易证为等边三角形，，即点E与点F重合时也满足题意，即． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）；理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3：取的中点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即点E与点F重合时也满足题意， ∴． 综上所述，的长为4或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$