精品解析：2024年湖南长沙天心区长郡中学丘成桐少年班选拔数学试题

2024年长郡中学丘成桐少年班选拔数学试卷 1. 计算题． （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． 2. 式子：___________+___________+___________+___________+___________+___________）÷___________．在“___________”里，填以内各不相同的质数，使是整数，并且尽可能大． 3. 一长方形纸片的长为1．将它按如图所示的方式折一下，剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为一次操作）：再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去．若在3次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形、求原长方形纸片的宽． 4. 一次数学竞赛中，某校获奖同学的总平均分为80分．其中8名获一等奖的同学的平均分为95分，有2名获三等奖同学的平均分为70分，其余的同学获二等奖，平均分为75分，该校这次竞赛中获二等奖的同学的人数有多少？ 5. 甲、乙、丙、丁四人从同一地点出发都去某地，甲先走了一段时间，然后乙、丙、丁三人一起同时出发，经过6小时后，乙追上甲；经过9小时后，丙追上甲；经过12小时后，丁追上甲，已知乙每小时行27千米，丙每小时行23千米，那么丁每小时行多少千米？ 6. 唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米，唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第次指令，米老鼠就以原速度的倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果唐老鸭想在比赛中获胜，它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次？ 7. 韩信分油：有两个合伙卖油的商人，要把剩下的十斤油平分．但当时没有带秤，只有十斤的一个油篓，七斤的一个油罐，三斤的一个油葫芦．两人把油倒来倒去，折腾了半天也没开．这时韩信正从这里经过．他问明原因，在马上略一思索，就想出了分油的方法．两个商人用韩信的办法去分，果然把十斤油平分了．试问：韩信想出了怎样的分油办法？ 8. 求所有的正整数和质数，使得． 9. 一块合金含铜与锌比为，用此合金制造铜锌之比为的新合金63克，问要加铜还是加锌，加___________（铜或锌）___________克． 10. 时针速度是分针速度的___________，分针速度是秒针速度的___________． 11. 红、黄、蓝三面旗子，不同的颜色、顺序和数量表达不同意思，共可表达___________种意思． 12. 用6个长、宽、高分别为1、2、3的小长方体组成一个大长方体，则这个大长方体的表面积最小为___________． 13. 用“+、-、×、÷”将19、20、21、22组成24：___________． 14. 两个数的最大公因数是75，最小公倍数是450，且这两个数差最小，求这两个数分别是___________和___________． 15. 从1，2，…，2006中，至少要取出______个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2008 16. 在50人的班级中，组织了3个课外活动小组，其中参加体育组的25人，参加音乐组的25人，参加美术组的22人；同时参加音乐、体育两组的11人，同时参加音乐、美术两组的10人，同时参加美术、体育两组的9人，三组都参加的5人，试问在这个班级中这3个小组都未参加的有___________人． 17. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是_____． 18. ___________． 19. 如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是___________． 20. 观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为___________． 21. 如图，有的砖块若干块，我打算用它们来构造一个大的积木，当我拼到如图的形体时，我已用尽了所有的砖块，那么我原来共有___________块砖块． 22. 除以的余数是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长郡中学丘成桐少年班选拔数学试卷 1. 计算题． （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【解析】 【分析】本题考查了小数，分数的运算以及解方程； （1）通过将转化为，然后利用乘法结合律和分配律进行简便计算； （2）先将分数和百分数化为小数，再按照先算括号里，后算括号外的顺序进行计算； （3）将分子中的转化为，然后利用乘法分配律展开，再进行化简计算； （4）先去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为来求解方程； （5）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为求解方程； （6）先分别计算分子分母中的式子，再进行除法运算； （7）按照先算小括号，再算中括号，最后算括号外的顺序，同时涉及分数、小数、百分数的运算； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 【小问5详解】 【小问6详解】 【小问7详解】 2. 式子：___________+___________+___________+___________+___________+___________）÷___________．在“___________”里，填以内各不相同的质数，使是整数，并且尽可能大． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. 7 ⑥. 5 ⑦. 2 【解析】 【分析】本题考查以内的质数，熟练掌握其定义是解题的关键．题目中要求尽可能大，所以被除数尽可能大，填、、、、7、5，除数尽可能小，填2，最后验证是整数即可． 【详解】以内的质数有2、3、5、7、、、、， 题目中要求尽可能大，所以被除数填、、、、7、5，这六个数的和为， 除数填2，则， 故答案为：、、、、7、5、2． 3. 一长方形纸片的长为1．将它按如图所示的方式折一下，剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为一次操作）：再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去．若在3次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形、求原长方形纸片的宽． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和正方形的性质以及正方形、矩形的面积公式以及分类讨论思想在几何题目中的运用．由图可知，第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长-原矩形的宽，即为：；再求出二次操作后剩下的矩形的边长；根据x的求值范围不同进行讨论，求出满足题意的x值即可． 【详解】解：由图可知， 第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长原矩形的宽，即为：； 第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：，， 在3次操作后， 图1，当，时，， 解得：； 图2，当，时，， 解得：； 图3，； 图4，， 解得：． 综上所述，原长方形纸片的宽为或或或． 答：原长方形纸片的宽为或或或． 4. 一次数学竞赛中，某校获奖同学的总平均分为80分．其中8名获一等奖的同学的平均分为95分，有2名获三等奖同学的平均分为70分，其余的同学获二等奖，平均分为75分，该校这次竞赛中获二等奖的同学的人数有多少？ 【答案】20人 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设该校这次竞赛中获二等奖的同学的人数有x人，根据总平均分乘以总人数一等奖的总分二等奖的总分三等奖的总分，据此列方程求解即可． 【详解】解：设该校这次竞赛中获二等奖的同学的人数有x人， ， 解得， 答：该校这次竞赛中获二等奖的同学的人数有20人． 5. 甲、乙、丙、丁四人从同一地点出发都去某地，甲先走了一段时间，然后乙、丙、丁三人一起同时出发，经过6小时后，乙追上甲；经过9小时后，丙追上甲；经过12小时后，丁追上甲，已知乙每小时行27千米，丙每小时行23千米，那么丁每小时行多少千米？ 【答案】丁每小时行21千米 【解析】 【分析】本题考查行程问题，根据题意，我们应先看乙和丙的速度差千米小时，然后看看6小时的时候甲、乙、丙的位置，6小时乙追上了甲，甲、乙在同一个位置，6小时丙距离乙还有千米，这说明丙距离甲也是24千米，现在变成丙与甲同时出发，经过小时后，丙追上了甲，丙与甲的初始距离为24千米，为了追这24千米，丙花了3小时，丙的速度每小时要比甲快千米，则甲的速度为千米/小时；再回头看6小时的情况，乙6小时走了千米，甲6小时走了千米，因为甲先出发走了一段时间，这个时候甲、乙相遇，说明千米就是甲提前走的那一段距离，最后是12小时丁追上了甲，甲的路程为：千米，同时也就是丁的路程了，至此可算出来丁的速度为：千米小时． 【详解】解：（千米小时） （千米小时） （千米） （千米） （千米小时） 答：丁每小时行21千米． 6. 唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米，唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第次指令，米老鼠就以原速度的倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果唐老鸭想在比赛中获胜，它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次？ 【答案】13次 【解析】 【分析】米老鼠跑完全程用的时间为：（分）， 唐老鸭跑完全程的时间为：（分）， 唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠的时间为：， 当n次取数为1、2、3、4……13时， 米老鼠浪费时间为（分）， 22.1（分）>（20分）， 因为米老鼠早到（分）， 所以唐老鸭要想获胜，必须使米老鼠浪费的时间超过20分钟，因此唐老鸭通过遥控器至少要发13次指令才能在比赛中获胜． 【详解】解：米老鼠跑完全程用的时间为：（分）， 唐老鸭跑完全程的时间为：（分）， 米老鼠早到（分）， 唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠的时间为：， 当n取数为1、2、3、4……13时， 米老鼠浪费时间为（分）， 22.1（分）>（20分）， 所以唐老鸭要想获胜，必须使米老鼠浪费的时间超过20分钟，因此唐老鸭通过遥控器至少要发13次指令才能在比赛中获胜． 答：如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是13次． 故答案为：13次． 【点睛】本题考查分析题意，理解题意的能力，从唐老鸭通过遥控器每次发出指令会浪费米老鼠多少时间切入，找准数量关系是解题的关键． 7. 韩信分油：有两个合伙卖油的商人，要把剩下的十斤油平分．但当时没有带秤，只有十斤的一个油篓，七斤的一个油罐，三斤的一个油葫芦．两人把油倒来倒去，折腾了半天也没开．这时韩信正从这里经过．他问明原因，在马上略一思索，就想出了分油的方法．两个商人用韩信的办法去分，果然把十斤油平分了．试问：韩信想出了怎样的分油办法？ 【答案】 第一步，倒满油葫芦，油葫芦的油再倒入油篓，进行次，最初容器中还剩斤；，； 第二步，油篓里有斤油，倒入油罐斤，还剩斤在油篓；； 第三步，从油罐倒入油葫芦斤，油罐里还剩斤；； 第四步，把油葫芦的斤油倒入油篓，油篓中有斤油；； 第五步，把最初容器中的斤倒入油罐；． 【解析】 【分析】本题考查了推理问题，利用油篓、油罐、油葫芦之间的数量解决即可，弄清题中的数量关系是解题的关键． 【详解】略 8. 求所有的正整数和质数，使得． 【答案】 【解析】 【分析】对于这类含有两个未知数且一个为质数的方程求解问题，通常的思路是先对给定方程进行变形和整理，使其呈现出便于分析的形式，比如因式分解后的形式．然后根据因数的性质、质数的特点以及正整数的条件，分情况讨论未知数的可能取值，逐步缩小取值范围，最终确定满足方程的正整数和质数的值．本题主要考查了因数分解、质数的性质、最大公约数的概念以及方程的求解．熟练掌握因式分解的方法，能够灵活运用质数的特性（如质数的因数只有1和其本身），准确分析最大公约数的关系，并通过分情况讨论来逐步求解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 因为， 所以，即是与的最大公因数只能为或． 情况一：当即与互质时，由于是质数，且， 因此只能整除或． 若，则，， 即，那么，，． 而与在质数的情况下，经过对不同质数值的代入分析和推导，发现无法满足等式，所以该情况不成立． 若，则，．对，当时，，且，经过对不同质数值的代入和推导，也不满足等式关系，所以该情况也不成立． 情况二：当时由前面的讨论可知，若，将会出现与前面讨论类似的矛盾情况，即会有或，导致无法满足等式， 所以． 设，因为，则． 将，代入（此时），可得 解得． 当时，，． 故答案为． 9. 一块合金含铜与锌比为，用此合金制造铜锌之比为的新合金63克，问要加铜还是加锌，加___________（铜或锌）___________克． 【答案】 ①. 锌 ②. 14 【解析】 【分析】此题主要考查了比的应用．首先根据合金含铜与锌的比是，新合金的铜与锌之比为，可得需要添加锌；然后根据新合金的铜与锌之比为，可得新合金的铜占，再根据分数乘法的意义，用新合金的总重量乘以铜占比例，求出铜的重量是多少克；最后根据分数除法的意义，用铜的重量除以它占原来合金的重量的比例，求出需要原来合金多少克，再用新合金的重量减去需要原来的合金的重量，求出需要添加锌多少克． 【详解】解： （克）； 答：需要加锌，加14克． 故答案为：锌，14． 10. 时针速度是分针速度的___________，分针速度是秒针速度的___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了对时钟的认识，秒针走一圈为1分钟，分针走圈，分针走一圈为1小时，时针走圈，由此即可得出结论． 【详解】解：从钟面可以看出，当秒针走一圈为1分钟，分针走圈，当分针走一圈为1小时，时针走圈， 时针速是分针速度的，分针速度是秒针速度的， 故答案为：，． 11. 红、黄、蓝三面旗子，不同的颜色、顺序和数量表达不同意思，共可表达___________种意思． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了排列组合问题，正确列出所有情况是解题关键．根据不同的颜色、顺序和数量表达不同意思，列出一面旗子、两面旗子、三面旗子的所有情况，由此即可得． 【详解】解：一面旗子：有红、黄、蓝3种意思， 两面旗子：有红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄，共6种意思， 三面旗子：有红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红，共6种意思， 所以（种）， 故答案为：15． 12. 用6个长、宽、高分别为1、2、3的小长方体组成一个大长方体，则这个大长方体的表面积最小为___________． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了长方体，要使大长方体的表面积最小，需先确定小长方体最大面，拼接在一起的面越多，所得长方体的表面积最小，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，将6个小长方体按如图方式拼接成大长方体， 则表面积为 答：这个大长方体的表面积最小为66， 故答案为：66． 13. 用“+、-、×、÷”将19、20、21、22组成24：___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了四则运算，解题的关键是运用逆推法或凑数法，进行一步一步的推导，即可得出答案． 【详解】解： ； 或 ， 故答案为：或． 14. 两个数的最大公因数是75，最小公倍数是450，且这两个数差最小，求这两个数分别是___________和___________． 【答案】 ①. 150 ②. 225 【解析】 【分析】本题考查了最大公约数，最小公倍数的计算，掌握概念和计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设甲数为，乙数是， ∴， ∴当，时，差最小， ∴，， 故答案为： ． 15. 从1，2，…，2006中，至少要取出______个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2008 【答案】503 【解析】 【分析】 【详解】填503.理由：从1，2，…，2006中选出两个奇数，和为2008的共有如下501组： ． 由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2008. 16. 在50人的班级中，组织了3个课外活动小组，其中参加体育组的25人，参加音乐组的25人，参加美术组的22人；同时参加音乐、体育两组的11人，同时参加音乐、美术两组的10人，同时参加美术、体育两组的9人，三组都参加的5人，试问在这个班级中这3个小组都未参加的有___________人． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查容斥问题，由容斥原理可知：各组人数之和，减去同时参加两组的人数，再加上同时参加三组的人数，即为参加课外活动小组的总人数，用班级总人数减去参加课外活动小组的人数，即为所求． 【详解】解： ， 在这个班级中这3个小组都未参加的有3人． 故答案为：3． 17. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是_____． 【答案】158 【解析】 【详解】解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是14， 则m=12×14﹣10=158． 故答案为158． 18. ___________． 【答案】2840 【解析】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，观察数列发现每一项均为连续整数的平方，根据平方和公式，即可求出答案． 【详解】解：观察数列，，，，，， 根据平方和公式，得 ， ， 故答案为：2840． 19. 如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是___________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了完全平方数知识；解题的关键是熟练掌握完全平方数的性质，从而完成求解． 结合题意，根据完全平方数的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴7不是广义勾股数，故①正确； ∵， ∴13是广义勾股数，故②正确； ∵，而不是广义勾股数， 即两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故③错误； ∵，，而不是广义勾股数，故④错误； 故答案为：①② 20. 观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为___________． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性． 观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列，第n行的分子分母之和是，据此规律求解即可． 【详解】解：观察表得：分数的分子是几，则必在第几列； 只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即； 每一行的分子分母之和保持不变，不难发现第n行的分子分母之和是， 分数所在的行数是：，即， ， 故答案为：2022． 21. 如图，有的砖块若干块，我打算用它们来构造一个大的积木，当我拼到如图的形体时，我已用尽了所有的砖块，那么我原来共有___________块砖块． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据长方体的体积公式：求出大立方体的体积为，再求出砖块的体积为，相除可求需要砖块的块数，这个未拼完的立方体自下而上分别缺2块、6块，4块，拼成大立方体所需要的总块数减去所缺的块数就是原有的块数． 【详解】解： （块）， 答：我原来共有60块砖块． 故答案为：60． 22. 除以的余数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算底数的前几次幂除以的余数，找到循环规律，再根据规律确定 的余数。 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴同余， ∵， ∴同余， ∵， ∴同余， 同理可得：同余， ∴的余数是1， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $