第一章勾股定理训练2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 训练 一、单选题 1．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，12，13 D．3，5，7 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A．75 B．100 C．120 D．125 4．如图，在中，，为上一点．若，的面积为90，则的长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．24 5．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 6．如图，一根长为的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时的长为．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移的距离（    ） A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不对 7．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 9．如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，若，则的面积为 ． 12．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 13．如图，在中，，为边上的高，，则的长度是 ． 14．某时刻渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图所示，经测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则渔船B位于灯塔O南偏东 °方向． 15．如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 三、解答题 16．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 17．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，以格点为顶点画，使三边长分别为 (2)如图2，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离． 18．如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)①当P在边上时，的长为______（用含t的代数式表示），t的取值范围是______； ②若点P在的角平分线上，求t的值． 19．过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股． 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方． (1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：； (2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度． 20．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 训练2025—2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D C A B D D C 1．D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义、勾股定理等知识点，掌握勾股数的定义成为解题的关键． 根据勾股数是正整数，同时满足勾股定理，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，是勾股数，不符合题意； B．，是勾股数，不符合题意； C．，是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质． 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，得到，据此利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ，即， ∴为直角三角形， 又∵，平分平分， ∴ ∴， 由勾股定理可知． 故选B． 4．D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据的面积为90，可求出，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为90，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 5．C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查正确运用勾股定理．梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 9．D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故选：D 10．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 11．30 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积．掌握勾股定理是解本题的关键． 先根据勾股定理求出的长，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ， 的面积为：， 故答案为：30． 12．合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 13．3 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意，得出，在中，根据，列出方程，解方程即可求解． 【详解】设， ∵，， ∴， ∵是边上的高， 在中，， 即， 解得， 故答案为：3． 14．66 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方位角．利用勾股定理的逆定理求出，再求出，再根据方位角求解即可． 【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里， ， 所以， 在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图： ， 则渔船B位于灯塔O的南偏东方向， 故答案为：． 15． 【分析】利用三角形三边关系，通过作对称点转化线段，再结合角度计算，求出特殊三角形的边长，进而得到的最大值．本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握轴对称转化线段与勾股定理求边长是解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、，． ∵ 点与关于对称 ∴ ，， 则 根据三角形三边关系，（当与重合时，取等号） ∵ ， ∴ 在中，，，由勾股定理得： 故的最大值为． 故答案为： 16．这辆小汽车超速行驶 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 17．(1)见解析 (2)7， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理和数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求解． 【详解】（1）解：，，， 则如图即为所求； （2）设点A到的距离为h， ， ， ， ． ∴点A到的距离为． 18．(1)4 (2)①，；②点P在的角平分线上时，t为或． 【分析】（1）根据勾股定理，得，解答即可； （2）①根据题意，得，当P在边上时，，列式解答即可； ②点P在的角平分线上，一是点P与点A重合，二是点P在上，平分，解答即可． 本题考查了勾股定理，动点问题，角的平分线，熟练掌握勾股定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：4． （2）①解：根据题意，得， 当点P在上，，此时，； 当P在边上时，，且， 故，且， 故答案为：，； ②解：点P在的角平分线上， 当点P与点A重合时，此时， 解得； 当点P在上，平分时， 过点P作于点Q， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， 故当t为或时，点P在的角平分线上． 19．(1)见解析； (2)线段的长度为5． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）连接，证明，利用勾股定理证明即可； （2）求解，利用，，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， D是的中点， ， 在中，根据勾股定理有． 同理可得，， ， ． （2）解：在中，， ． 根据直角三角形直中斜垂线性质有． 设，则， ， 解得， ． 同理可得：， ∴， 解得：， ， 线段的长度为5． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$