第24章 相似三角形 章节整合练习（14个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第24章 相似三角形 章节整合练习（14个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点2．*平面向量 平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示． 知识点3．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点4．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点5．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点6．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点7．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点8．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点9．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点10．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点11．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点12．实数与向量相乘 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算． 知识点13．平面向量定理 平面向量基本定理是数学术语．该定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．它也为向量的坐标表示提供了理论依据． 知识点14．向量的线性运算 所谓的向量的线性运算是：向量之间的加减法和数乘运算，统称为向量的线性运算．这里必须注意的是，在向量的线性运算过程之中，规定先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行运算，若有括号，先算括号内各项． 章节题型整合练习 一．三角形的重心 1．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为　　 A． B． C． D． 2．（2024•闵行区三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的重心，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点在直线的上方），为的重心，设、两点的距离为，那么在点运动过程中的取值范围是 　　． 3．（2022秋•嘉定区期中）如图，已知点是的重心，联结、、，延长交于点，设，，分别用、表示向量、． 二．*平面向量 4．（2023秋•浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•浦东新区模拟）已知向量与单位向量方向相同，且，那么　　．（用向量的式子表示） 6．（2023秋•闵行区期中）已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）设，，请直接写出和关于、的分解式： 　　；　　． 三．比例的性质 7．（2022秋•崇明区期末）如果、均不为零），那么的值是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•黄浦区期末）已知，那么　　． 9．（2022秋•上海月考）已知、、分别是的三条边的边长，且，，求的周长． 四．比例线段 10．（2024•虹口区三模）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•宝山区期末）已知线段，，如果线段是和的比例中项，那么　　． 12．（2023秋•松江区月考）已知：线段，、，且． （1）求的值； （2）如果线段、、满足，求的值． 五．黄金分割 13．（2023秋•宝山区期末）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•青羊区期中）已知点是线段的黄金分割点，，若，则　　． 15．（宝山区校级自主招生）如图，在中，，，求面积． 六．平行线分线段成比例 16．（2024•虹口区三模）已知、分别在的、的延长线上，下列给出的条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，是的中线，，交于点，则　　． 18．（2023•徐汇区模拟）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接．求证：． 七．相似图形 19．（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为　　 A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 20．（2023秋•松江区期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于．对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 21．下列图形中是　　与　 　相似的． （1）（2）（3）（4） 八．相似三角形的性质 22．（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•金山区期末）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为 　　． 24．（浦东新区校级月考）一个三角形三边长分别为，，，另一个与它相似的三角形的最长边为，求另外两边长． 九．相似三角形的判定 25．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2022秋•闵行区期末）已知、分别是的边、上的点，若要使与相似，则只需添加一个条件：　　即可（只需填写一个）． 27．（2022秋•闵行区期中）已知：如图，在中，，点、分别在边上，． （1）求证：； （2）如果点在边上，且，，求证：． 一十．相似三角形的判定与性质 28．（2022秋•虹口区期末）如图，点、分别在边、上，，且，那么的值为　　 A． B． C． D． 29．（2024•杨浦区四模）如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则　　． 30．（2023秋•静安区期末）已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，． 求证： （1）； （2）． 一十一．相似三角形的应用 31．（杨浦区校级月考）如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距墙，长，则梯子长为　　 A． B． C． D． 32．（2021秋•静安区校级期中）如图，已知零件的厚度均匀且外径为，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，去测量零件的内孔直径，如果，测量得，那么零件的厚度为 　　． 33．（2021秋•浦东新区校级月考）一块三角形的余料，底边长1.8米，高米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是的长方形，使长方形的长在上，另两个顶点在、上，求长方形的长和宽的长． 一十二．实数与向量相乘 34．（松江区二模）下列各式错误的是　　 A． B． C． D． 35．（虹口区期中）计算：　　． 36．已知非零向量和，求作 （1）； （2）（不要求写作法）． 一十三．平面向量定理 37．（浦东新区月考）如果向量与单位向量方向相同，长度为，那么向量用单位向量 表示为　　 A． B． C． D． 38．（闸北区一模）如图，已知在梯形中，，点和点分别在和上，是梯形的中位线，若，，则用表示　　． 一十四．向量的线性运算 39．（浦东新区二模）如图，平行四边形的对角线交于点，，，那么等于　　 A． B． C． D． 40．（浦东新区模拟）在四边形中，是边的中点，设，，那么用，表示为　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 相似三角形 章节整合练习（14个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点2．*平面向量 平面向量是在二维平面内既有方向（direction）又有大小（magnitude）的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）．平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示． 知识点3．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点4．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点5．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点6．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点7．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点8．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点9．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点10．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点11．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点12．实数与向量相乘 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算． 知识点13．平面向量定理 平面向量基本定理是数学术语．该定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．它也为向量的坐标表示提供了理论依据． 知识点14．向量的线性运算 所谓的向量的线性运算是：向量之间的加减法和数乘运算，统称为向量的线性运算．这里必须注意的是，在向量的线性运算过程之中，规定先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行运算，若有括号，先算括号内各项． 章节题型整合练习 一．三角形的重心 1．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得，从而得到，代入数值即可求解． 【解答】解：如图，连接并延长交于点． 点是的重心， 点为的中点，， ， ， ， ， ， ， （公共角）， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键． 2．（2024•闵行区三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的重心，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点在直线的上方），为的重心，设、两点的距离为，那么在点运动过程中的取值范围是 　　． 【分析】分别求出的最小值和最大值，即可得到的取值范围． 【解答】解：当与重合时，与重合，此时最小为0， 当与重合时，最大，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，过作于，如图： 为等腰直角三角形的重心， 为中点， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ，， 是为等腰的重心， 为中点， ，， ， ，，共线， ， ，， ， ， ，即， ，， ， ， 最大值为， 的范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质． 3．（2022秋•嘉定区期中）如图，已知点是的重心，联结、、，延长交于点，设，，分别用、表示向量、． 【分析】利用三角形法则求出，再根据，可求得，，再由重心定理得，求得，再利用三角形法则求得． 【解答】解：，， ， ， ，， 点是的重心， ， ， ． 【点评】本题考查了平面向量，三角形的重心，关键是掌握三角形的重心定理，三角形法则． 二．*平面向量 4．（2023秋•浦东新区期末）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面向量的运算法则求解即可． 【解答】解：，，且和的方向相反， ， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键． 5．（2024•浦东新区模拟）已知向量与单位向量方向相同，且，那么　　．（用向量的式子表示） 【分析】根据单位向量与向量同向的定义可得答案． 【解答】解：向量与单位向量方向相同，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解答本题的关键． 6．（2023秋•闵行区期中）已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）设，，请直接写出和关于、的分解式： 　　；　　． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，以及．推出 即可得出结论； （2）根据三角形计算法则得出，由（1）的结论得出，即可得出结果． 【解答】（1）证明：在平行四边形中，，． ， ， ， ， 又， ， 同理可得， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，数据平面向量的三角形运算法则是解题的关键． 三．比例的性质 7．（2022秋•崇明区期末）如果、均不为零），那么的值是　　 A． B． C． D． 【分析】等式两边都除以即可． 【解答】解：两边都除以得，． 故选：． 【点评】本题考查比例的基本性质，正确记忆相关内容是解题关键． 8．（2023秋•黄浦区期末）已知，那么　　． 【分析】根据题意将，用含有一个未知数的式子表示出来，化简即可． 【解答】解：设，则， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的化简，掌握分式的化简方法是关键． 9．（2022秋•上海月考）已知、、分别是的三条边的边长，且，，求的周长． 【分析】设，，，再代入等式，求出的值，从而得到、、的值，然后根据三角形周长公式进行计算，即可得解． 【解答】解：设，，， 代入得， ， 解得：， 则，，， 所以的周长是：． 【点评】本题考查了比例的性质以及代数式求值，解决此类题目时利用“设法”求解更简便． 四．比例线段 10．（2024•虹口区三模）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【解答】解：、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积． 11．（2023秋•宝山区期末）已知线段，，如果线段是和的比例中项，那么　　． 【分析】根据比例中项的定义得到，然后根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：线段是和的比例中项， ， 解得或（舍去）， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例线段：正确理解比例中项的定义是解决问题的关键． 12．（2023秋•松江区月考）已知：线段，、，且． （1）求的值； （2）如果线段、、满足，求的值． 【分析】（1）设，，，代入化简即可； （2）根据题意求出的值代入求解即可． 【解答】解：． 设，，， （1）； （2）， ， ， ． 【点评】本题考查了代数式求值，运用设法求解是解题的关键． 五．黄金分割 13．（2023秋•宝山区期末）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键． 14．（2022秋•青羊区期中）已知点是线段的黄金分割点，，若，则　　． 【分析】根据黄金分割的定义得到，再把把代入可计算出的长，然后计算即可． 【解答】解：点是线段的黄金分割点， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 15．（2014•宝山区校级自主招生）如图，在中，，，求面积． 【分析】先由是顶角为的等腰三角形，得出，则，再作出底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：在中，，， ， ． 作等腰底边上的高，则， 在中，根据勾股定理得 ， ． 【点评】本题考查了黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为，顶角为．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为，顶角为；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．同时考查了等腰三角形的性质与勾股定理． 六．平行线分线段成比例 16．（2024•虹口区三模）已知、分别在的、的延长线上，下列给出的条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据选项选出能推出，推出或的即可． 【解答】解： 、， ， ， ， ，， 即不能推出，故本选项错误； 、， ， ， ， ， ， ， ，故本选项正确； 、不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 、不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 17．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，是的中线，，交于点，则　　． 【分析】先证明是中位线，推出，，再证明是中位线，推出，进而求出结果． 【解答】解：是的中线， 点是中点， ， 点是中点， 是中位线， ，， 是中位线， ， 设，则，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用，其中三角形中位线性质的应用是解题关键． 18．（2023•徐汇区模拟）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接．求证：． 【分析】延长到，使，连接、．由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例定理1的推论得出，同理，等量代换得到，然后根据平行线分线段成比例定理2即可证明． 【解答】证明：如图，延长到，使，连接、． 是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ， 同理， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理： （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 七．相似图形 19．（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为　　 A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 【分析】分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【解答】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了图形的相似和垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 20．（2023秋•松江区期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于．对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【分析】根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：四边形和四边形是相似的图形，， 四边形和四边形是相似比为， 四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， 四边形和四边形的两条对角线的和之比等于， 则①和②都正确， 故选：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键． 21．下列图形中是　（1）　与　 　相似的． （1）（2）（3）（4） 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，得出正确结果． 【解答】解：观察图形，（1）与（4）形状相同，这两个图形中的斜线都是连接在一条直线上的三个正方形的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的公共顶点； （3）是成一条直线的三个三角形中两个正方形的相对顶点的连线； （2）是连接在一条直线上的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的不是公共顶点的连线． 图形中是（1）与（4）相似的． 【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 八．相似三角形的性质 22．（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为　　 A． B． C． D． 【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可． 【解答】解：两个相似三角形的周长比为， 它们的相似比为． 它们的对应中线的比为， 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键． 23．（2023秋•金山区期末）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为 　　． 【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案． 【解答】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的周长比等于相似比，即：． 故答案为：． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 24．（浦东新区校级月考）一个三角形三边长分别为，，，另一个与它相似的三角形的最长边为，求另外两边长． 【分析】根据两个相似三角形的最长边的值，可求出它们的相似比，由此可求出另两条边的长． 【解答】解：设另一个三角形的两边长是，，由题意，得： ， 解得，． 因此另两条边的边长为，． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，解题时候注意对应边的问题． 九．相似三角形的判定 25．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：①，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定，故①正确； ②，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定，故②正确； ③，和两边对应出比例，但两边的夹角和不一定相等，因此不能判定，故③错误； ④由，得到，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能够判定，故④正确． 因此正确的个数是3个． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 26．（2022秋•闵行区期末）已知、分别是的边、上的点，若要使与相似，则只需添加一个条件：　　即可（只需填写一个）． 【分析】根据可以求得，，即可求证，即可解题． 【解答】证明：， ，， ， 添加条件，即可证明， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线同位角相等的性质，相似三角形的证明，本题中添加条件，并证明是解题的关键． 27．（2022秋•闵行区期中）已知：如图，在中，，点、分别在边上，． （1）求证：； （2）如果点在边上，且，，求证：． 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）通过证明，可证，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得结论． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 一十．相似三角形的判定与性质 28．（2022秋•虹口区期末）如图，点、分别在边、上，，且，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，可以先设，，，，再根据题意可以得到，然后即可得到的值． 【解答】解：， 设，，，，则， ，， ， ， 即， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 29．（2024•杨浦区四模）如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则　16　． 【分析】利用两角相等证明与相似，求出，根据勾股定理分别求出和，根据勾股定理进而求出． 【解答】解：直角梯形且， ， 又， 即， ， 又， ， ， ， 是腰的中点，，， ， 在中，根据勾股定理， ， 在中，根据勾股定理， ， 在中，根据勾股定理， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查三角形相似和直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键是找到两个三角形相似． 30．（2023秋•静安区期末）已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，． 求证： （1）； （2）． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，可证，可得，即可求解． 【解答】证明：（1）， ， ，， ， ； （2）点是的中点， ， 由（1）可知：， ， ， 又， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 一十一．相似三角形的应用 31．（杨浦区校级月考）如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距墙，长，则梯子长为　　 A． B． C． D． 【分析】由可得，进而利用相似三角形的对应边成比例可得梯子的长． 【解答】解：，， ， ， ， ， 解得． 故选：． 【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应成比例且夹角相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 32．（2021秋•静安区校级期中）如图，已知零件的厚度均匀且外径为，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，去测量零件的内孔直径，如果，测量得，那么零件的厚度为 　2.5　． 【分析】要求零件的厚度，由题可知只需求出即可．因为和平行，可得，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【解答】解：两条尺长和相等，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.5． 【点评】此题考查相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出零件的内孔直径即可求得的值． 33．（2021秋•浦东新区校级月考）一块三角形的余料，底边长1.8米，高米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是的长方形，使长方形的长在上，另两个顶点在、上，求长方形的长和宽的长． 【分析】根据比例设、分别为、，然后根据和相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出值，即可得解． 【解答】解：长方形的长宽比是， 设、分别为、， ， ， ， 即， 解得， 米，米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设法”表示出边更简便． 一十二．实数与向量相乘 34．（松江区二模）下列各式错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据向量的运算法则可知：，则可选出答案． 【解答】解：、，故本选项错误； 根据向量的运算法则可知、、均正确． 故选：． 【点评】此题考查了向量的运算法则．题目比较简单，注意向量是有方向的，0与是不同的． 35．（虹口区期中）计算：　　． 【分析】先去括号，然后进行向量的加减运算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的知识，掌握向量的加减运算是关键． 36．已知非零向量和，求作 （1）； （2）（不要求写作法）． 【分析】（1）根据三角形法则作图，即可求得答案； （2）根据三角形法则作图，即可求得答案； 【解答】解：（1）如图（1）； （2）如图（2）． 【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则的应用． 一十三．平面向量定理 37．（浦东新区月考）如果向量与单位向量方向相同，长度为，那么向量用单位向量 表示为　　 A． B． C． D． 【分析】由向量与单位向量方向相同，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案． 【解答】解：向量与单位向量方向相同，且长度为， ． 故选：． 【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 38．（闸北区一模）如图，已知在梯形中，，点和点分别在和上，是梯形的中位线，若，，则用表示　　． 【分析】由在梯形中，，是梯形的中位线，可得，，则可得，继而求得答案． 【解答】解：在梯形中，，是梯形的中位线， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意能灵活应用梯形中位线的性质是解此题的关键． 一十四．向量的线性运算 39．（浦东新区二模）如图，平行四边形的对角线交于点，，，那么等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形法则，，继而即可求出等于的向量． 【解答】解：根据平行四边形法则，， ． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的知识，解答此题要熟悉平行四边形法则：两向量之和是平行四边形的对角线． 40．（浦东新区模拟）在四边形中，是边的中点，设，，那么用，表示为　　． 【分析】画出图形，根据平行四边形法则解答即可． 【解答】解：根据平行四边形法则， ， 即． 故答案为． 【点评】此题结合四边形考查了平面向量，利用平行四边形法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$