精品解析：甘肃省酒泉市肃州区2023-2024学年上学期期中九年级数学统测试题

甘肃省酒泉市肃州区2023-2024学年上学期期中 九年级数学统测试题 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 3. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的取值可以是（　　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 4. 如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（　　　） A. B. C. D. 1 5. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 6. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A. B. C. D. 7. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 1：1 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 10. 一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 12. 如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则__. 13. 如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 __________． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 如图，已知正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为______________． 16. 如图，A、B是双曲线y=上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k=_____． 17. 已知一次函数，其中从1，-2中随机取一个值，从-1，2，3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为__________ 18. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 19. 如图，点O的矩形纸片的对称中心，E是上一点，将纸片沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为_________． 20. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 21. 计算： . 22. 解方程：． 四、解答题（本大题共7小题，共60.0分） 23. 一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率为． （1）求口袋中有几个红球？ （2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率． 24. 如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． （1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为__________； （2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子； （3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m？ 25. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 26. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点．已知A (2，n），B（，）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）请结合图像直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围． 27. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 28. 某水果店销售一种水果的成本价是元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在元/千克时，每天可以卖出千克．在此基础上，这种水果的单价每提高元/千克，该水果店每天就会少卖出千克． 若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是元，则单价应定为多少？ 在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？ 29. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数（），的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （2）点F是边上一点，若，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点P是反比例函数的图象上的一点，若的面积恰好等于矩形的面积，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省酒泉市肃州区2023-2024学年上学期期中 九年级数学统测试题 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 第I卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长． ∴左视图是： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键． 2. 与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 【答案】C 【解析】 【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题． 【详解】∵与的相似比为1：4， ∴与的周长比为1：4， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 3. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的取值可以是（　　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴2k+1＞0，解得k＞-， ∴k的值可以是0． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图像与系数的关系是解答此题的关键． 4. 如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（　　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 5. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】D 【解析】 【详解】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=135°， 又∵CE=AC， ∴∠E=22.5°． 故选D． 6. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的系数为-1，则图象的两个分支在二、四象限，且每一分支，y随x的增大而增大，作出判断；也可以依次将x的值代入计算求出对应的y值，再比较． 【详解】解：∵k=-1＜0， ∴反比例函数的两个分支在二、四象限，且每一分支，y随x的增大而增大， ∵3＞0， ∴y1＜0， ∵-2＜-1＜0， ∴0＜y2＜y3， ∴y1＜0＜y2＜y3， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，主要是它的增减性，相对其它性质，这个知识比较难理解，利用数形结合的思想更容易一些；注意反比例函数的图象，在每一分支，y随x的增大而增大或减小． 7. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 1：1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理. 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD, ∴ 故选C. 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 10. 一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置． 【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0， 满足ab<0， ∴a−b>0， ∴反比例函数y= 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确； B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0， 满足ab<0， ∴a−b<0， ∴反比例函数y=的图象过二、四象限， 所以此选项不正确； C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0， 满足ab<0， ∴a−b>0， ∴反比例函数y=的图象过一、三象限， 所以此选项正确； D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0， 满足ab>0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选C. 【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小 第II卷 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0， 整理得，n2＝1且n+1≠0， 解得n＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 12. 如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则__. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 故答案为 13. 如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 __________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为． 考点：根与系数的关系． 15. 如图，已知正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，由旋转可得，为直角，可得出，由，得到，可得出，再由，利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为的长． 【详解】解：∵逆时针旋转得到，， ∴， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，正方形的边长为3，即， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ， 解得：, 即． 故答案为：． 16. 如图，A、B是双曲线y=上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据S1+S2=4，S1=S2，得出S1，再根据S3=1，得出S1+S3得值，即可求出k=3． 【详解】解： ， ， 得． ，且S1+S2=4， ， 故答案为：3． 【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 17. 已知一次函数，其中从1，-2中随机取一个值，从-1，2，3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该一次函数的图象经过一、二、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，一次函数的图象经过一、二、三象限的有（1，2），（1，3）， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为：， 故答案为． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 【答案】2 【解析】 【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1 ∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2 19. 如图，点O的矩形纸片的对称中心，E是上一点，将纸片沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到垂直平分，得到，设，结合勾股定理和含30°角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，即，且垂直平分， ∴， 设， 则有， 在中，根据勾股定理得：， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 则． 故答案为6 20. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，由表示出三角形的边上的高，根据三角形与三角形相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即为的长． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 设，则有，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 21. 计算： . 【答案】-2. 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂的意义及特殊角的三角函数值把各项化简，然后进一步合并即可. 【详解】原式=-4-+1+3×+1=-2 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的意义及特殊角的三角函数值是解答本题的关键. 22. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先求出，再根据求根公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 所以，． 四、解答题（本大题共7小题，共60.0分） 23. 一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率为． （1）求口袋中有几个红球？ （2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率． 【答案】（1）口袋里有2个红球； （2）列表如下： 红 红 白 白 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） ﹣﹣﹣ （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球有8种可能，则P（一个白球一个红球）． 【解析】 【详解】（1）设红球有x个，根据任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于，求出x的值即可． （2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的情况数，即可求出所求的概率． 解：（1）4个小球中恰好摸到红球的概率等于． 则，解得x=2个，即口袋里有2个红球； （2）略 “点睛”此题考查的是用列表法或树状法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 24. 如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． （1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为__________； （2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子； （3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m？ 【答案】（1）变短； （2）如图所示，BE即为所求； （3）小亮的影长是米 【解析】 【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）略 （3）如图， 先设OP=x，则当OB=4.2米时，BE=1.6米， ∴，即， ∴x=5.8米； 当OD=6米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴=， ∴y=（米）． 即小亮的影长是米． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． 25. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论； （2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长. 【详解】（1）略 （2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6-x）2， 解得：x= ， ∵BD= =2， ∴OB=BD=， ∵BD⊥EF， ∴EO==， ∴EF=2EO=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 26. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点．已知A (2，n），B（，）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）请结合图像直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为：；一次函数解析式为：；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式； （2）求三角形的面积或割或补，此题采用割比法较为容易； （3）根据图象由两交点A、B，当反比例函数位于一次函数图象上时求x的取值范围． 【详解】(1)把 代入得： ， 解得m=1， 故反比例函数的解析式为： ， 把A (2,n)代入得 ， 则 ， 把,代入y2=kx+b得： ， 解之得 故一次函数的解析式为 ； (2)△AOB的面积： ； (3)由图象知：当y1⩾y2时,自变量x的取值范围为0<x⩽2 或 . 27. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 28. 某水果店销售一种水果的成本价是元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在元/千克时，每天可以卖出千克．在此基础上，这种水果的单价每提高元/千克，该水果店每天就会少卖出千克． 若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是元，则单价应定为多少？ 在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？ 【答案】（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是元，则单价应为元或元．因为让利于顾客，所以定价定为元． 【解析】 【分析】（1）根据等量关系：每千克水果的利润×每天的销售量=每天的总利润420元，可列出方程，解方程即可； （2）让定价尽量小即可让利于顾客． 【详解】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x元， 由题意得：（x-5）[160-20（x-7）]=420， 化简得，x2-20x+96=0， 解得 x1=8，x2=12． 答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元． （2）因为让利于顾客，所以定价定为8元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解. 29. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数（），的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （2）点F是边上一点，若，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点P是反比例函数的图象上的一点，若的面积恰好等于矩形的面积，求P点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可； （2）根据相似三角形的性质可得，求得，确定点F的坐标，待定系数法求直线FB的解析式即可； （3）过点P作轴于G，根据直线的解析式求得的值，再用的面积恰好等于矩形的面积，求出即可求得． 【小问1详解】 ∵轴，点B的坐标为， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 代入双曲线（）得； ∴反比例函数的表达式， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； 【小问2详解】 ∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴． 即：， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式（） 则， 解得：，， ∴直线的解析式； 【小问3详解】 如图，过点P作轴于G， 由（2）可知，， ∵矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵若的面积恰好等于矩形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵点P是反比例函数的图象上的一点， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是求出反比例函数的解析式，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $