第二十章 二次根式重难点检测卷 -2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第二十章 二次根式重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第二十章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若a、b为实数，且，则的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题． 首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解． 【详解】根据题意，得 解得 ∴ ∴ 故答案为A． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）当一个长方形的窗户的宽与高的比等于时，那么看上去就比较美观，若它的高为，则它的宽为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ； 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海静安·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简： ． 【答案】2 【分析】此题考查二次根式的乘法运算，二次根式乘以二次根式等于被开方数相乘的算术平方根，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为2． 8．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）把化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如果，则 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的性质来判断即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·开学考试）规定一种新运算：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和新定义，利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； ； ； ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海崇明·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据数轴得，然后利用二次根式的性质得到，再去绝对值，合并即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 13．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：时， ， ， ， 通过观察前面计算出的项， 可以发现：当 为偶数时，， 当为奇数时，， ∵是奇数， ∴； 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）若一个长方形的面积是，它的长与宽的比为，则它的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据面积公式列方程，根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可． 【详解】解：这个长方形的长为，则宽为， 则， ， 解得， ∵， ∴， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行                        第二行                 2                  第三行                                    ...                    ... 则第八行左起第1个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数列的排列规律及通项公式的推导，关键在于准确计算前七行的总项数，并定位目标项的位置．先找出数列排列规律，并确定第八行第一个数的位置对应的数值． 【详解】解：原数列为， 观察可发现： 第1项：， 第2项： ， 第3项： ， 第4项： ， 第5项：， 第6项： ， 数列的通项公式为（n为项数）， 第1行：1项 ， 第2行：2项 ， 第3行：3项 ， … 第7行：7项， 前七行总项数为： ， 第八行的第一个数是第29项（前28项之后）， 根据通项公式，第29项为： ， 因此，第八行左起第1个数是． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·上海宝山·随堂练习）填空： （1），①②③④⑤分别填入 ， ， ， ， ； （2），①②③分别填入 ， ， ； （3）=，①②③④⑤⑥分别填入 ， ， ， ， ， ． 【答案】 3 5 5 3 54 18 3 6 8 48 48 16 4 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法运算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法运算法则求解即可； （3）首先计算分子的乘法，然后计算除法求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：3，5，5，3，； （2）， 故答案为：54，18，3； （3）， 故答案为：6，8，48，48，16，4． 17．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为： ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，又因为，所以． （1）已知：，则的值是 ； （2）计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】解：∵， 且， ∴； ∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 18．（21-22八年级上·上海虹口·期中）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出 ． 【答案】 【分析】根据题中给出的规律即可得出结论； 【详解】解：根据题意， ∵OAn2=n， ∴OA100= 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图形的变化规律进行解题． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，再计算加减即可得解； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．（2024八年级上·上海宝山·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 21．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 22．（24-25八年级上·上海宝山·期中）（1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 【答案】（1） ；（2）①1；②15 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法运算，理解相关知识是解答关键． （1）根据二次根式的被开方数不能为负数来求解； （2）根据二次根式的乘法运算法则求解；先变形为完全平方式，再代入求解． 【详解】解：（1）有意义， ， 故答案为：． （2），， ． 23．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知算式，试判断算式A的结果是有理数吗？若是，请计算出该算式的结果；若不是，请你写出一个二次根式，使它与算式A的和是有理数． 【答案】(1)； (2)算式A的结果不是有理数；写出的二次根式为（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式运算，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． （1）根据二次根式有意义的条件，先求出，然后再求出y即可； （2）代入x、y的值求出A的值，然后进行判断，再根据二次根式与A的和为有理数，写出这个二次根式即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴不是有理数， ∵， ∴这个二次根式为（答案不唯一）． 24．（24-25八年级上·上海松江·期中）求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮的解法是错误的 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． （2）解：由条件可知， 原式 ， 当时，原式． 25．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 二次根式重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第二十章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若a、b为实数，且，则的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．5 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）当一个长方形的窗户的宽与高的比等于时，那么看上去就比较美观，若它的高为，则它的宽为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海静安·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简： ． 8．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）把化成最简二次根式为 ． 9．（25-26八年级上·上海宝山·课后作业）如果，则 ． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·开学考试）规定一种新运算：，那么 ． 11．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，则的值是 ． 12．（24-25八年级上·上海崇明·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 13．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）若一个长方形的面积是，它的长与宽的比为，则它的长为 ． 15．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行                        第二行                 2                  第三行                                    ...                    ... 则第八行左起第1个数是 ． 16．（25-26八年级上·上海宝山·随堂练习）填空： （1），①②③④⑤分别填入 ， ， ， ， ； （2），①②③分别填入 ， ， ； （3）=，①②③④⑤⑥分别填入 ， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为： ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，又因为，所以． （1）已知：，则的值是 ； （2）计算： 18．（21-22八年级上·上海虹口·期中）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算： (1)． (2)． 20．（2024八年级上·上海宝山·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 21．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 22．（24-25八年级上·上海宝山·期中）（1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 23．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知算式，试判断算式A的结果是有理数吗？若是，请计算出该算式的结果；若不是，请你写出一个二次根式，使它与算式A的和是有理数． 24．（24-25八年级上·上海松江·期中）求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 25．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$