专题03 二次根式60道计算题专项训练（6大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第03讲 二次根式60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 二次根式的加减计算 题型二 二次根式的乘除计算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 复合二次根式的化简 题型六 二次根式的规律探究计算 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算：． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算：． 4．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 5．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·开学考试）计算： (1) (2) 7．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算： (1) (2) 8．（24-25八年级上·上海松江·期末）计算： (1) (2) 9．（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·上海普陀·期末）计算 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 12．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 13．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算题 (1) (2) 14．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： (1)； (2)． 16．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)． 17．（24-25八年级上·上海静安·期末）计算： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25八年级上·上海金山·期末）计算与化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 21．（24-25八年级上·上海闵行·期末）计算：． 22．（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算． 23．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算 (1)； (2)． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： (1)； (2)； 25．（24-25八年级上·四川广安·期末）计算： (1) (2)． 26．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 27．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 28．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 29．（24-25八年级上·上海崇明·开学考试）计算下列各式： (1) (2) (3) 30．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1)． (2)． (3)已知，求代数式的值． 【经典计算题四 二次根式的化简求值】 31．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若，化简． 33．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）化简：（，）． 34．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）化简： （1）；        （2）；        （3）；        （4）； （5）；            （6）；            （7）；        （8）． 36．（24-25八年级上·上海闵行·期中）当时，化简代数式． 37．（24-25八年级上·上海闵行·期末）先化简，再求值：，其中． 38．（24-25八年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：已知：，求的值． 39．（24-25八年级上·上海金山·期中）化简求值：，其中． 40．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算：． 42．（24-25八年级上·上海金山·期中）计算： （1）；（2） 43．（24-25八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)（）． 44．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算： （1） （2） 45．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 46．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）化简： （1）                   （2）（） （3）当时，求的值． 47．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）阅读下列解题过程： 2=×== ﹣3=﹣•=﹣=﹣ 利用上述解法化简下列各式 ①10；                       ②+x． 48．（24-25八年级上·上海普陀·期末）若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 49．（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）． 由上述方法化简：． 50．（24-25八年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 （n≥2） （2）利用上面所提供的解法，请化简： 【经典计算题六 二次根式的规律探究计算】 51．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）观察下列各式：，，，… 请利用你所发现的规律计算：． 52．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 53．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）观察下列各式： ， ， ， 依据以上呈现的规律，计算： 54．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）观察下面式子及其验证过程． ，验证：． (1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上面式子反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且）的等式表示出来，并验证． 55．（24-25八年级上·上海虹口·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：　；　；　；　． (2)请按找到的规律计算： ①； ②； (3)已知a，b，用含a，b的式子表示． 56．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ， ， ， …… 请利用你所发现的规律， 求的值． 57．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）【实践与探究】 （1）计算：_________；_________；__________；_________； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，用数学式子表示与的关系； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则__________； ②___________； 58．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）观察下列各式及验证过程： 验证： (1)按照上述等式及验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用，且为整数）表示的等式，并验证． 59．（24-25八年级上·上海金山·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 60．（24-25八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 二次根式的加减计算 题型二 二次根式的乘除计算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 二次根式的化简求值 题型五 复合二次根式的化简 题型六 二次根式的规律探究计算 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键． 先化成最简二次根式，再计算加减即可． 【详解】 ， ， ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 4．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．利用零指数幂，负整数指数幂，二次根式以及绝对值的性质计算，再算加减法． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，积的乘方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的化简，积的乘方公式，平方差公式是解题的关键． （1）将各项二次根式化为最简形式，然后进行合并同类二次根式的运算； （2）先利用积的乘方公式对前两项化简，再利用平方差公式进行化简，然后进行后续计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、算术平方根、立方根、绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）先运用有理数乘方、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式加减混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再代入数据进行计算即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 8．（24-25八年级上·上海松江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）利用平方差公式计算二次根式的乘法，再计算有理数的减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式乘法计算，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．（24-25八年级上·上海普陀·期末）计算 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了二次根式的加减法，完全平方公式分解因式， （1）先分别化简二次根式，再计算加减法； （2）利用完全平方公式分解因式，再代入字母的值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（24-25八年级上·上海长宁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，包括二次根式的乘除法法则以及分母有理化．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则和分母有理化的方法是解题的关键．本题可根据二次根式的乘除法运算法则以及分母有理化的方法，先将各项分别化简，再进行加减运算．具体思路为：先根据二次根式的除法法则计算，根据二次根式的乘法法则计算，对进行分母有理化，最后将化简后的结果进行加减运算． 【详解】解： 13．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2)15 【分析】本题主要考查二次根式的化简和运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用完全平方公式和平方差公式求解等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； （3）利用乘法分配律进行求解即可； （4）利用二次根式的除法法则进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和二次根式乘法法则计算，并化简即可； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，并化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的除法，分母有理化，然后合并即可； （）先通过平方差公式，二次根式的性质化简，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级上·上海静安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，再利用二次根式的性质化简； （2）先利用积的乘方与同底数幂乘法的运算法则计算，然后利用平方差公式计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、积的乘方与同底数幂的乘法是解题的关键． 18．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式性质，化简二次根式，计算乘法，最后合并同类二次根式即可求解；（2）根据二次根式的乘除运算求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用完全平方公式进行求解，解题的关键是熟练掌握二次根式各运算法则． （1）利用二次根式乘法法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用乘法对加法的分配律进行计算即可； （4）先进行二次根式的除法运算，再进行化简，加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（24-25八年级上·上海金山·期末）计算与化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2) (3)． 【分析】（1）把除法运算转化成乘法运算，再进行因式分解、约分即可． （2）结合二次根式的基本性质化简即可． （3）根据二次根式的混合运算计算即可． 本题考查二次根式的混合运算、分式的乘除法、二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 21．（24-25八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，二次根式的除法法则计算后再算乘法，最后算减法即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的除法，再计算二次根式的加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 23．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含开方运算的实数的混合运算，二次根式加减，绝对值，解题关键是注意运算的顺序． （1）先去掉绝对值，再计算加减； （2）先求算术平方根，开立方，二次根式的性质化简，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算； （2）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算． 【详解】（1）解： （2） ． 25．（24-25八年级上·四川广安·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算平方差公式，完全平方公式，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 26．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，包括根式的化简、分母有理化，以及乘法分配律、平方差公式在二次根式运算中的应用． （1）先把各项根式化简，再对分母有根号的项有理化乘，最后合并同类二次根式． （2）前半部分用乘法分配律算，后半部分用平方差公式算，再做减法． （3）先化简各项根式，再按顺序算乘除，注意保留负号，最后化简结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 27．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、零次幂、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先算乘法，再算加法，根据二次根式混合运算法则计算即可； （2）先算乘方和乘法运算，再合并即可； （3）先算算术平方根、绝对值及零指数幂，再合并即可； （4）先根据乘方、绝对值、二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 28．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式混合运算法则，计算即可； （2）根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式乘除混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式的混合运算，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 29．（24-25八年级上·上海崇明·开学考试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可； （2）先根据二次根式的乘法运算，再利用二次根式的性质可得结果； （3）利用二次根式的乘法和除法运算，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 30．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1)． (2)． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （3）将的值代入代数式，利用完全平方公式和平方差公式进行化简计算，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ； （3）解：当时， ． 【经典计算题四 二次根式的化简求值】 31．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把12写成，然后化简； （2）把75写成，然后化简； （3）将分母直接开方化简． （4）将写成，然后直接化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 32．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若，化简． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）化简：（，）． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式= = 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 34．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． （1）将化成再进行化简； （2）将化成再进行化简； （3）将数与字母分开进行化简； （4）先将根式里面的式子整理成的形式再进行化简． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 35．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）化简： （1）；        （2）；        （3）；        （4）； （5）；            （6）；            （7）；        （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】利用二次根式的性质，分别对每个小题进行化简，即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简． 36．（24-25八年级上·上海闵行·期中）当时，化简代数式． 【答案】1 【分析】 根据二次根式的性质得出绝对值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后合并即可． 【详解】 解：， 原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质解答． 37．（24-25八年级上·上海闵行·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值运算，先按照完全平方公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入求值即可. 【详解】解： 当时， 原式=． 38．（24-25八年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】 【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键． 39．（24-25八年级上·上海金山·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算，然后把代入， 即可求解． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 40．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据的大小化简是解题的关键．先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式 当时 原式 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘法计算去括号，再算加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 42．（24-25八年级上·上海金山·期中）计算： （1）；（2） 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，然后合并； （2）先进行平方差公式的计算以及二次根式的化简，然后合并． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、平方差公式等知识，掌握运算法则是解题的关键． 43．（24-25八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、化简与合并，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用分配律将原式变形为，根据二次根式的除法运算，再合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先化简得到，再去括号变形得到，计算即可得到答案. （2）先进行二次根式的除法和乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【详解】（1） = = = （2） 【点睛】本题考查二次根式的化简和二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 45．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 46．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）化简： （1）                   （2）（） （3）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把2和5看作和，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号即可． （2）根据x的范围，得出，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号，合并同类项即可． （3）首先把a的值化简，再把化简，然后把a的值代入计算即可． 【详解】（1）． （2）∵， ∴， ∴，， ∴ ． （3）∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及化简求值，关键是开放数的结果为非负数，即，当为非负数时等于它本身，当为负数时，等于它的相反数． 47．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）阅读下列解题过程： 2=×== ﹣3=﹣•=﹣=﹣ 利用上述解法化简下列各式 ①10；                       ②+x． 【答案】①；②0 【分析】①仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案； ②仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：① 10==；       ② 由题意，x﹤0，则﹣x﹥0， ∴+x =﹣ =﹣ =0． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质，注意x﹤0这一隐含条件是解答的关键． 48．（24-25八年级上·上海普陀·期末）若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据即可得出结论; （2）根据 即可得出结论; 【详解】解：(1) ； (2) . 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,根据题意把被开方数化为完全平方式的形式是解答此题的关键. 49．（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）． 由上述方法化简：． 【答案】 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法． 【详解】解： 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式． 50．（24-25八年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 （n≥2） （2）利用上面所提供的解法，请化简： 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知的等式即可发现规律进行求解； （2）根据所得的规律即可进行化简求解． 【详解】（1）∵ ∴=（n≥2） 故答案为； （2） =++++…++1 =+1 =. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律进行求解． 【经典计算题六 二次根式的规律探究计算】 51．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）观察下列各式：，，，… 请利用你所发现的规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查与实数运算有关的规律题、二次根式的加减运算，能发现等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．根据前几个等式发现的变化规律进行求解即可． 【详解】解：∵ … ∴， ∴ =++ ） ． 52．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 【答案】（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算， 对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可； 对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论； 对于（3），根据二次根式的乘法计算； 对于（4），根据规律得，即可得出答案. 【详解】解：（1），， ； ； ； 故答案为：； （2）（，）， 故答案为：（，）； （3）； （4），， 53．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）观察下列各式： ， ， ， 依据以上呈现的规律，计算： 【答案】9 【分析】先把里边的每一项分别分母有理化，再把所得结果计算出来即可求出最后答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便． 54．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）观察下面式子及其验证过程． ，验证：． (1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上面式子反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且）的等式表示出来，并验证． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（n为任意自然数，且） 【分析】本题考查了二次根式的规律计算，根据根式特点，探索规律是解题的关键 （1）仿照阅读内容提供的方法，验证解得即可； （2）根据两次验证，归纳猜想计算即可． 【详解】（1）． （2）结论：． ． 55．（24-25八年级上·上海虹口·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：　；　；　；　． (2)请按找到的规律计算： ①； ②； (3)已知a，b，用含a，b的式子表示． 【答案】(1)12；；30；30； (2)①25；②4； (3). 【分析】（1）利用二次根式的乘法的法则进行求解即可； （2）利用二次根式的乘法的法则进行求解即可； （3）利用二次根式的乘法的法则进行求解即可． 【详解】（1）， ， ， ； （2）①； ②； （3）当a，b时， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，解答本题的关键是对相应的运算法则的掌握． 56．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ， ， ， …… 请利用你所发现的规律， 求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，理解题意，正确将原式变形是解题关键．直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【详解】解：由题意可得： ． 57．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）【实践与探究】 （1）计算：_________；_________；__________；_________； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，用数学式子表示与的关系； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则__________； ②___________； 【答案】（1），，，；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据（1）的规律写出式子的关系即可求解； （3）根据（2）的结论，化简即可求解． 【详解】（1）；；；； 故答案为：，，，． （2）； （3）①∵， ∴， ， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 58．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）观察下列各式及验证过程： 验证： (1)按照上述等式及验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用，且为整数）表示的等式，并验证． 【答案】(1)；验证见详解 (2)；验证见详解 【分析】 本题考查了二次根式的性质以及数字规律探索题，根据条件式子规律猜想和证明是解题关键． （1）按照规律写猜想并利用二次根式的性质对二次根式变形进行验证即可， （2）按规律写出关于n表示的等式并利用二次根式的性质对二次根式变形进行验证即可． 【详解】（1）解： 验证： （2）． 验证： 59．（24-25八年级上·上海金山·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 60．（24-25八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果； 解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：；；； （2） ； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$