专题02 二次根式的运算重难点题型专训（5个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题02 二次根式的运算重难点题型专训 （5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的乘法 题型三 二次根式的除法 题型四 二次根式的加减运算 题型五 二次根式的乘除混合运算 题型六 二次根式的混合运算 题型七 分母有理化 题型八 比较二次根式的大小 题型九 已知字母的值化简求值 题型十 已知条件式化简求值 题型十一 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的混合运算 拓展训练一 二次根式的新定义运算 拓展训练二 分母有理化比较大小 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）计算所得结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式乘法，根据二次根式的乘法法则，先将根号内的数相乘，再化简为最简二次根式． 【详解】解：． 故选C． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 直接运用二次根式的乘法运算法则计算并化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：6． 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 知识点三： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：0． 知识点四： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质及运算法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. 不能合并，故原式错误，符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先去括号，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点五：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出和的值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解：， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了（即分母有理化），例如：，， 若，则将分母有理化后的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化和平方差公式．把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式化简后能与合并的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式；先化简各项，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：选项A： 化简：，被开方数为2，与不同，无法合并． 选项B： 化简：，被开方数为3，与相同，可以合并． 选项C： 化简：，结果为有理数，不含根号，无法与合并． 选项D： 化简：，被开方数为6，与不同，无法合并． 综上，只有选项B化简后能与合并． 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、； 、由； 、由 ； 、由； 通过化简比较可知，与其他三个选项不同类， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝ ． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 则a+b＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）根据同类二次根式的定义可得，直一步计算即可解答； （2）代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得， 解得； （2）解：∵， ∴． 【经典例题二 二次根式的乘法】 【例2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）估算：的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的大小估算，先进行二次根式的乘法运算，再利用夹逼法估算出结果的大小即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴的值在和之间， 故选：． 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简变形，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式乘法法则（）和二次根式的化简是解题的关键．利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘后化简求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）计算：； 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法、二次根式的化简，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【经典例题三 二次根式的除法】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的除法运算． 根据二次根式的性质化简和二次根式的除法运算法则计算逐项判定，即可得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式除法． 根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解出不等式组即可． 【详解】由题意可知：， 解得， 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则成立的条件(，) ． 4．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解： ； （7）解：． 【经典例题四 二次根式的加减运算】 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法及减法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 逐一验证各选项的二次根式运算是否正确，依据二次根式的化简及运算法则进行判断． 【详解】解：选项A：， 化简得，则左边为，右边，显然，故选项A错误，不符合题意； 选项B：， 根据二次根式乘法法则，，与右边相等，故选项B正确，符合题意； 选项C：， 合并同类项得，而右边为2，显然，故选项C错误，不符合题意； 选项D：， 化简，则左边为，右边为，显然，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）（原创题）实数在两个相邻的整数与之间，则整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先计算二次根式可得，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵实数在两个相邻的整数与之间， ∴， 故选：C． 2．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的减法运算，用作差法比较大小即可求解，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：1+= ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的加减法法则和化简绝对值进行解题，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、算术平方根、立方根、绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）先运用有理数乘方、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题五 二次根式的乘除混合运算】 【例5】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：5． 3．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）计算： ； . 【答案】 8 【分析】（1）利用平方差公式即可运算； （2）利用二次根式的乘法法则运算； 【详解】5-9=-4； 2=2×4=8 故填：-4；8. 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 【经典例题六 二次根式的混合运算】 【例6】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）估计的值应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握相关运算法则及估算无理数的方法是解题的关键． 先利用二次根式的运算法则计算后再利用夹逼法估算无理数的大小即可． 【详解】解： ∵ ∴ 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为18．那么代数式的结果为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，正方形的面积公式等知识，先根据正方形的面积求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为，面积为8， ∴， ∵正方形的边长为，面积为18， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】45 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 4．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）先化简，再求值．已知，，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，先化简分式，再根据已知得出，再代入计算，即可求解． 【详解】解： ∵，， ∴ 所以原式 【经典例题七 分母有理化】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海金山·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，根据分母有理化的方法化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化的计算，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是关键，根据分式的性质，分式的混合运算法则化简，再代入求值即可 ． 【详解】解： ， 当时，原式． 【经典例题八 比较二次根式的大小】 【例8】（2025·上海宝山·模拟预测）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 【答案】 【分析】（）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解； （）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（）设“○”表示的数为， 则，解得：， ∴“○”表示的数为， 故答案为：； （）由（）得：“○”表示的数为， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， 当“□”运算符号是“”时，， ∴， ∴“□”表示的运算符号是“”， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 【经典例题九 已知字母的值化简求值】 【例9】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．将代数式转化为，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则与乘法公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出，再代入，计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； ； ； ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知可得，，再对代数式化简后代入计算即可求解，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【经典例题十 已知条件式化简求值】 【例10】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 1．（24-25八年级·上海长宁·单元测试）已知，那么的值为(   ). A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】将等式两边同时乘以，可得要求式中的前两项，再进一步运算即可. 【详解】， ． ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过整体代入来求解. 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入原式，利用二次根式的性质化简可得答案． 【详解】解：∵ ∴，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算---化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的顺序和运算法则． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若实数，满足，则的值是 ． 【答案】3 【分析】求出()()=3，再分解因式，根据二次根式的性质得出，求出即可求解． 【详解】解：∵实数a，b满足()()=3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质和解一元二次方程等知识点，能求出是解此题的关键． 4．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简二次根式，再整体代入，求值即可． 【详解】解：由，得，， ∴ 【经典例题十一 二次根式的应用】 【例11】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，结合正方形的性质得正方形①的边长为，正方形③的边长为，故正方形②的边长为，根据阴影部分的面积等于它的长乘宽进行列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：正方形①、③的面积分别为24和3， 正方形①的边长为，正方形③的边长为， 正方形②的边长为， 阴影部分的面积为： 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式的化简、加法和乘法运算，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， ∴剩余的木板（阴影部分）的面积为：， 故答案为：12． 3．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算； 【详解】（1）由题知，，， 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ，， 长方形木板的面积． （2）若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， 则该长方形木料的长为． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4 (2) (3)严禁高空抛物 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）依据题意，根据公式，代入计算即可． （2）依据题意，先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量高度，计算能量即可； （3）依据题意，根据（2）的结果即可判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∴． （3）解：由题意，结合（2）， ∴对人构成伤害． 故严禁高空抛物． 【拓展训练一 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式计算二次根式的乘法即可得； （2）先化简二次根式、分母有理化，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则以及二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的除法运算即可求解； （2）根据二次根式的乘除法和性质化简，再合并同类二次根式即可求解； （3）根据二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式即可求解； （4）根据平方差公式和二次根式的性质，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4)0 (5) 【分析】（1）根据二次根式乘除混合运算解答即可； （2）根据二次根式的混合运算解答即可； （3）根据二次根式乘除混合运算解答即可； （4）根据二次根式的混合运算解答即可； （5）根据二次根式的乘法计算即可． 本题考查了二次根式的乘除混合，混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 【拓展训练二 二次根式的新定义运算】 1．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）对于任意的正数m、n，定义运算为：mⓧn=，计算（3ⓧ2）×（8ⓧ12）的结果. 【答案】2 【分析】先根据定义新运算的公式分别计算3ⓧ2和8ⓧ12的结果，然后再代入计算即可. 【详解】解：∵3＞2，8＜12 ∴3ⓧ2=，8ⓧ12= ∴（3ⓧ2）×（8ⓧ12）= 【点睛】此题考查的是定义新运算，根据定义新运算公式进行计算是解决此题的关键. 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：， ， 所以 ． 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）定义新运算：，其中等号右边是常规的乘法和减法运算， 例如：． (1)计算：； (2)有同学说：若，则，你是否同意他的观点，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）根据定义的新运算结合平方差公式计算即可； （2）首先根据条件可得a＝−b，再结合所给的新定义运算公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）同意； 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这位同学说的正确，同意他的观点． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，整式的运算，关键是掌握相关运算法则，理解所给运算公式． 【拓展训练三 分母有理化比较大小】 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与、与． (1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了． 例如：． (2)请仿照上述方法化简：； (3)比较与的大小． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简运算，掌握分母有理化的规则是解题的关键． （1）根据定义，写出符合题意的两个二次根式即可； （2）按照定义进行化简即可； （3）先化简两个式子，再比较大小即可． 【详解】（1）解：与互为有理化因式（答案不唯一） 与互为有理化因式 故答案为：与（答案不唯一）； （2） ； （3），，且 ． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 问题：比较与的大小 解：对两个数求倒数，得； . 与都是正数，. (1)请用上述方法比较与的大小； (2)猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． （1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【详解】（1）解：对两个数求倒数，得，  ， ∵  ， ∴， ∵与都是正数， ∴； （2） 证明：对两个数求倒数，得   ， ， ∵ ， ∴  ， ∵与（n为正整数）都是正数， ∴， 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去，也考查了二次根式有意义的条件． （1）利用分母有理化得到，，然后根据分母大的分数反而小解答即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出，，利用分母有理化得到，根据当时，分母有最小值即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵， ， ∵， ∴， 即； （2）∵，， ∴， ∵， ∴当时，分母有最小值， ∴则的最大值为：． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法，把放到根号内并变为，进行二次根式的乘法即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，能找出分母的有理化因式是解题的关键． 根据分母有理化计算法则解答即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 5．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， 先分别求出两个阴影部分的周长，再求和即可. 【详解】解：由题知，小长方形的长为 因为左下方阴影长方形的宽为：， 所以左下方阴影长方形的周长为： 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：， 所以右上方阴影长方形的周长为：， 所以图中两块阴影部分的周长之和为： 故选：B. 6．（24-25八年级上·上海金山·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，第一空直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；第二空两数平方，平方大的数大；第三空利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ，由于，则， ∴ 故答案为：；；． 8．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 5 1 【分析】本题主要考查二次根式的化简与计算，根据二次根式性质和乘法公式进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；5；；1． 9．（24-25八年级上·上海青浦顺·期末）若一个长方形的面积是，它的长与宽的比为，则它的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据面积公式列方程，根据比的关系设未知数，根据长方形面积列等式解出即可． 【详解】解：这个长方形的长为，则宽为， 则， ， 解得， ∵， ∴， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为 ． 【答案】23 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，找出最大的有理数所在的位置．根据题目中的数据可以得到这列数中最大有有理数的位置，进而得到m、n的值，从而可以求得的值． 【详解】解：，， 的位置记为， 这列数中的最大有理数是， 这列数中的最大有理数是记为， 这列数中的最大有理数的位置可记为， ， ， 故答案为：23． 11．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，然后计算二次根式的乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”，例：，则称3与5是关于4的一组“平衡数”． (1)与________是关于2的一组“平衡数”； (2)若与是关于的一组“平衡数”，其中，，求实数； (3)若，，判断是否存在整数，使与为关于的一组“平衡数”，如果存在，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，解之即可得到答案； （3）根据题意计算出的值，进而得到的值，据此可求出c的值． 【详解】（1）解：， ∴与是关于2的一组“平衡数”； （2）解：∵与是关于的一组“平衡数”， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与为关于31的一组“平衡数”． 14．（24-25八年级上·上海普陀·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的运算重难点题型专训 （5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的乘法 题型三 二次根式的除法 题型四 二次根式的加减运算 题型五 二次根式的乘除混合运算 题型六 二次根式的混合运算 题型七 分母有理化 题型八 比较二次根式的大小 题型九 已知字母的值化简求值 题型十 已知条件式化简求值 题型十一 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的混合运算 拓展训练一 二次根式的新定义运算 拓展训练二 分母有理化比较大小 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）计算所得结果是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）计算： ． 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 知识点三： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 知识点四： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： ． 知识点五：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了（即分母有理化），例如：，， 若，则将分母有理化后的值为 ． 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式化简后能与合并的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝ ． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 【经典例题二 二次根式的乘法】 【例2】（24-25八年级上·上海崇明·期中）估算：的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习） ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）计算：； 【经典例题三 二次根式的除法】 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）计算： ． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）等式成立的条件是 ． 4．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【经典例题四 二次根式的加减运算】 【例4】（24-25八年级上·上海金山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）（原创题）实数在两个相邻的整数与之间，则整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）比较大小： 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：1+= ． 4．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）计算： (1) (2) 【经典例题五 二次根式的乘除混合运算】 【例5】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算结果是 ． 3．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）计算： ； . 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【经典例题六 二次根式的混合运算】 【例6】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）估计的值应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 1．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为18．那么代数式的结果为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）计算： ． 4．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）先化简，再求值．已知，，求的值． 【经典例题七 分母有理化】 【例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海金山·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 2．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）化简： ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）先化简再求值：，其中． 【经典例题八 比较二次根式的大小】 【例8】（2025·上海宝山·模拟预测）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号． （1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；　 （2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ． 4．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【经典例题九 已知字母的值化简求值】 【例9】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知，， ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，求 的值． 【经典例题十 已知条件式化简求值】 【例10】（24-25八年级上·上海金山·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 1．（24-25八年级·上海长宁·单元测试）已知，那么的值为(   ). A．11 B．12 C．13 D．14 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若实数，满足，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）已知：，，求的值． 【经典例题十一 二次根式的应用】 【例11】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 3．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【拓展训练一 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： (1) (2) 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【拓展训练二 二次根式的新定义运算】 1．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）对于任意的正数m、n，定义运算为：mⓧn=，计算（3ⓧ2）×（8ⓧ12）的结果. 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）定义新运算：，其中等号右边是常规的乘法和减法运算， 例如：． (1)计算：； (2)有同学说：若，则，你是否同意他的观点，请说明理由． 【拓展训练三 分母有理化比较大小】 1．（24-25八年级上·上海崇明·期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与、与． (1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了． 例如：． (2)请仿照上述方法化简：； (3)比较与的大小． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 问题：比较与的大小 解：对两个数求倒数，得； . 与都是正数，. (1)请用上述方法比较与的大小； (2)猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论． 3．（24-25八年级上·上海崇明·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 6．（24-25八年级上·上海金山·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 8．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 9．（24-25八年级上·上海青浦顺·期末）若一个长方形的面积是，它的长与宽的比为，则它的长为 ． 10．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）计算： (1) (2) 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 13．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”，例：，则称3与5是关于4的一组“平衡数”． (1)与________是关于2的一组“平衡数”； (2)若与是关于的一组“平衡数”，其中，，求实数； (3)若，，判断是否存在整数，使与为关于的一组“平衡数”，如果存在，求的值． 14．（24-25八年级上·上海普陀·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 15．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 学科网（北京）股份有限公司 $$