第30讲复数讲义-2026届高三数学一轮复习

第30讲　复数 一、知识梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位,a叫作复数的　　　　,b叫作复数的　　　　.  对于复数z=a+bi(a,b∈R) 特别的,当且仅当　　　　时,它是实数0.  (2)复数相等:a+bi=c+di⇔　　　　　　(a,b,c,d∈R).  (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔　　　　　(a,b,c,d∈R).  (4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作　　　　　或　　　　　,即|z|=|a+bi|=　　　　　.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.  2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b). (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量　　　　　　(O为坐标原点).  3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　;  ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　;  ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=　　　　　　　;  ④除法:===　　　　　　.  (2)复数加法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=　　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　　　.  复数加、减法几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即=　　　　　　,=　　　　　　.  (3)复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. ‌二、核心原则‌ （1）‌复数的基本概念‌ ‌定义‌： ‌分类‌：实数；纯虚数；虚数。 （2）‌相等条件‌：两复数相等当且仅当实部与虚部分别相等。 （3）‌复数的几何意义‌ ‌复平面‌： ‌向量表示‌： ‌共轭复数‌：。 （3）‌复数的运算‌ ‌四则运算‌：加减法按实虚部分别运算；乘法展开后合并ii项；除法需有理化分母。 ‌几何意义‌：加减法对应向量加减；乘法模长相乘、辐角相加。 （4）‌复数方程‌ 实系数方程的虚根成对出现（共轭复数）。 解方程时注意复数范围内根的多样性。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：复数的概念与分类‌ ‌策略‌：根据实部、虚部是否为0判断复数类型。 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. ‌题型2：共轭复数与模‌ ‌策略‌：共轭复数：实部不变，虚部取反。 模长公式： 【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，即复数的虚部为.   故选：D. ‌题型3：复数的几何意义‌ ‌策略‌：复数对应点：利用复平面分析位置（象限、轨迹）。 【例3】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. ‌题型4：复数的四则运算‌ ‌策略‌：加减法：直接合并同类项；乘法：除法：分子分母同乘分母的共轭复数。 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】因为，所以. 故选：A. ‌题型5：复数相等与参数求解‌ ‌策略‌：实部、虚部分别相等列方程。 【例5】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 则， ，即， 故选：A. ‌题型6：复数模的最值与轨迹‌ ‌策略‌：几何法：利用复平面中圆、线段等图形分析。 【例6】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【详解】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值 为.故选：B. ‌题型7：复数范围内解方程‌ ‌策略‌：实系数方程：虚根成对出现。 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【详解】是关于的实系数方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以. 故选：B. ‌题型8：复数的三角表示‌ ‌策略‌：极坐标形式。 【例8】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：D. 四、典例欣赏 【例9】(多选题)欧拉公式exi=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( ABD ) A.的虚部为 B.eπi=-1 C.|exi|=|cos x|+|sin x| D.的共轭复数为-i 【详解】对于A,=cos+isin=+i,其虚部为,故A正确; 对于B,eπi=cos π+isin π=-1,故B正确; 对于C,exi=cos x+isin x,则|exi|==1,故C错误; 对于D,=cos+isin=i,则的共轭复数为-i,故D正确. 故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第30讲　复数 一、知识梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位,a叫作复数的　　　　,b叫作复数的　　　　.  对于复数z=a+bi(a,b∈R) 特别的,当且仅当　　　　时,它是实数0.  (2)复数相等:a+bi=c+di⇔　　　　　　(a,b,c,d∈R).  (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔　　　　　(a,b,c,d∈R).  (4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作　　　　　或　　　　　,即|z|=|a+bi|=　　　　　.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.  2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b). (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量　　　　　　(O为坐标原点).  3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　;  ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　;  ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=　　　　　　　;  ④除法:===　　　　　　.  (2)复数加法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=　　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　　　.  复数加、减法几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即=　　　　　　,=　　　　　　.  (3)复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. ‌二、核心原则‌ （1）‌复数的基本概念‌ ‌定义‌： ‌分类‌：实数；纯虚数；虚数。 （2）‌相等条件‌：两复数相等当且仅当实部与虚部分别相等。 （3）‌复数的几何意义‌ ‌复平面‌： ‌向量表示‌： ‌共轭复数‌：。 （3）‌复数的运算‌ ‌四则运算‌：加减法按实虚部分别运算；乘法展开后合并ii项；除法需有理化分母。 ‌几何意义‌：加减法对应向量加减；乘法模长相乘、辐角相加。 （4）‌复数方程‌ 实系数方程的虚根成对出现（共轭复数）。 解方程时注意复数范围内根的多样性。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：复数的概念与分类‌ ‌策略‌：根据实部、虚部是否为0判断复数类型。 【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. ‌题型2：共轭复数与模‌ ‌策略‌：共轭复数：实部不变，虚部取反。 模长公式： 【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，即复数的虚部为.   故选：D. ‌题型3：复数的几何意义‌ ‌策略‌：复数对应点：利用复平面分析位置（象限、轨迹）。 【例3】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. ‌题型4：复数的四则运算‌ ‌策略‌：加减法：直接合并同类项；乘法：除法：分子分母同乘分母的共轭复数。 【例4】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】因为，所以. 故选：A. ‌题型5：复数相等与参数求解‌ ‌策略‌：实部、虚部分别相等列方程。 【例5】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 则， ，即， 故选：A. ‌题型6：复数模的最值与轨迹‌ ‌策略‌：几何法：利用复平面中圆、线段等图形分析。 【例6】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【详解】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值 为.故选：B. ‌题型7：复数范围内解方程‌ ‌策略‌：实系数方程：虚根成对出现。 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【详解】是关于的实系数方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以. 故选：B. ‌题型8：复数的三角表示‌ ‌策略‌：极坐标形式。 【例8】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：D. 四、典例欣赏 【例9】(多选题)欧拉公式exi=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( ABD ) A.的虚部为 B.eπi=-1 C.|exi|=|cos x|+|sin x| D.的共轭复数为-i 【详解】对于A,=cos+isin=+i,其虚部为,故A正确; 对于B,eπi=cos π+isin π=-1,故B正确; 对于C,exi=cos x+isin x,则|exi|==1,故C错误; 对于D,=cos+isin=i,则的共轭复数为-i,故D正确. 故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$