精品解析：江苏省镇江第一中学等校2025～2026学年度高三上学期8月期初考试数学试题

高三学情调研 数学试题 命题单位：江苏省扬中高级中学 2025.08.20 注意事项：考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.484 B. 0.628 C. 0.936 D. 0.968 3. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ） A. B. C. D. 5. 从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个圆锥的体积为，圆锥内有一圆柱，圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2025 10. 在正方体中，点满足，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 与一定是异面直线 C. D. 平面 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中常数项为__________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 一个箱子里有6个球，分别以标号，若有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球的个数为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求； （2）证明：. 16. 如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）. （1）求的长； （2）记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 17. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 18. 如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，. （1）设平面平面，证明：； （2）已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，判断的零点个数并证明； （3）若对任意，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三学情调研 数学试题 命题单位：江苏省扬中高级中学 2025.08.20 注意事项：考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，然后再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】因为， 所以，故. 故选：A 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.484 B. 0.628 C. 0.936 D. 0.968 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】由正态分布的对称性可知,所以， 故选：C 3. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可. 【详解】由直线与平面内的无数条直线平行，可得或， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的不充分条件； 若“直线与平面平行”，则根据线面平行的性质定理可知“直线与平面内无数条直线平行”； 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的必要条件； 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的必要不充分条件. 故选：B 4. 某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立性检验的原理的理解辨析可判断. 【详解】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 5. 从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算求解. 【详解】设事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”， 那么在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为， 故选：B 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，将在定义域内单调递增转化为在定义域内恒成立，分离参数后，构造新函数，求得新函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】解：因为函数， 所以,即,即,解得：. 所以定义域为：. , 函数在定义域内单调递增，所以在内恒成立，所以在内恒成立,即在内恒成立. 令,则，. 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得极小值，即最小值, 最小值为. 所以恒成立,所以的取值范围是：. 故选：D. 8. 已知一个圆锥的体积为，圆锥内有一圆柱，圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，分别设圆锥和圆柱的底面圆半径为，设圆锥的高为，由题意判断圆柱的上底面与圆锥的侧面相接时，圆柱的体积最大，利用三角形相似求出圆柱的体积表示式，，通过对求导，判断的单调性，即可求得的最大值. 【详解】 如图，作出圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为，高， 则，即（*），由题意，当圆柱的上底面与圆锥的侧面相接时，圆柱的体积最大. 设圆柱的底面圆半径，由图易得，则， 于是，即，则， 则圆柱的体积为，将（*）代入化简得：， 将对求导得：，则当时，，当时，， 即在时单调递增；在时单调递减. 故当时，取得最大值，为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2025 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知数据，结合极差、方差、众数、百分位数的定义和求法依次判断各项正误. 【详解】A：由数据知，极差为，对； B：平均数为，则方差，错； C：众数为，即与平均数相等，对； D：由，则数据的第70百分位数为，对. 故选：ACD 10. 在正方体中，点满足，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 与一定是异面直线 C. D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设在线段上，应用异面直线的定义及平面的基本性质判断A、B；由线面垂直的判定、性质定理判断C；由线面、面面平行的判定、性质定理判断D. 【详解】由，即在线段上， A：当为与的交点时，由，即共面， 此时平面，则与不是异面直线，错； B：由平面，平面，平面，且， 所以与一定是异面直线，对； C：由平面，平面，则， 而，，且平面， 所以平面，平面，则， 同理可得，，且平面， 所以平面，平面，则，对； D：由且，即为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，而，平面， 所以平面平面，平面，则平面，对. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 【答案】BC 【解析】 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图象在上方的正整数解有3个的问题，求出的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可得求出的范围. 【详解】由题意， 在中，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，当时，， ∴， 当方程有三个不等的实根时， ∴，即，故B正确； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图象在上方的正整数解有3个， ∵，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， ∴当即时，的图象在上方的正整数解为，C正确； 设切点为，则切线斜率， 切线方程为， ∵切线过点， ∴， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有两个不同的非零实根， ∴且，即且， 解得或或，D选项错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中常数项为__________. 【答案】-160 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】由于的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得展开式的常数项为. 故答案为：-160. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：2． 14. 一个箱子里有6个球，分别以标号，若有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球的个数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出样本空间含有样本点个数，事件含有的样本点个数，利用古典概型求解. 【详解】从有6个球的箱子里有放回地取球三次的样本空间含有个样本点， 事件含有6个样本点，事件含有个样本点， 因此事件含有的样本点个数为， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1）集合 （2）证明：依题意，集合， ，， 令，即，，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，，即集合， 由（1）得，集合， 因此. 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法求解即可； （2）集合中是一个一元三次函数，需要利用导数求解给定范围内的值域，从而得到集合中元素的范围，再结合集合中元素的范围和子集的定义，即可求证. 【小问1详解】 ，即，，， 可得或， 解得， 故集合. 【小问2详解】 略 16. 如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）. （1）求的长； （2）记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 【答案】（1）； （2）；点与点重合 【解析】 【分析】（1）设，求得，将用表示，利用向量数量积的运算律即可求得的长； （2）依题设，将与分别用表示，求出，，利用空间向量的夹角公式求得，结合和余弦函数的单调性即可求得的最大值. 【小问1详解】 设， 依题意，， 则， 由图知：， 则， 故的长为. 【小问2详解】 因动点在线段上（含端点），设， 则， 则 ， 而，， 则， 于是， 因，则，则，故， 因，而余弦函数在单调递减，故当时， 取得最大值，此时点与点重合. 17. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【小问1详解】 （i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，. （1）设平面平面，证明：； （2）已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定性质推理得证. （2）（i）根据给定条件，确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质及面面垂直的判定推理得证；建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，，平面，平面， 因此平面，而平面平面，平面， 所以. 【小问2详解】 （i）取中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，，是外接圆圆心， 又四边形是等腰梯形，则点在外接圆上，即点与点重合， 取中点，连接，由为直角三角形，，得为外接圆圆心， 而是四棱锥外接球球心，于是平面，又平面， 所以平面平面. （ii）由（i）得，，，， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设，则， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，而，解得，则， 所以的长为. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，判断的零点个数并证明； （3）若对任意，求实数的取值范围. 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2）两个零点，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入函数，确定定义域，求导分析导数的正负，确定单调性和极值； （2）将代入函数，利用零点存在性定理，结合导数分析单调性来判断； （3）根据不等式恒成立，分析函数在区间上的最小值，确保最小值非负. 【小问1详解】 当时，函数，其定义域为， 对求导，得， 设，对求导得，所以在上单调递增； 又，  当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增；  所以在处取得极小值，，无极大值； 【小问2详解】 当时，，  ，所以是一个零点， 求导得，令， ， 当时，， 当时，， 综上 ，即在上单调递增， 又， 所以存在唯一的零点， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，又， 所以在上还有一个零点， 综上，在上有且仅有两个零点； 【小问3详解】 当时，成立， 当时，因为，所以，， 所以，所以， 当时，，令， 则， 因为，，，， 所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又， ①当时，，所以， 在上单调递增，则， 所以在上单调递增；又，所以恒成立； ②当时， ， 在上单调递增， 存在，使得当时，在上单调递减， 则，时，不恒成立； 当时，恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $