精品解析：2025年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷

2025年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 1.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴看出，被笑脸覆盖的数x满足如下条件：，且更接近，解答即可． 本题考查了数轴的意义，负数的大小比较，绝对值的应用，熟练掌握负数的比较，绝对值的应用是解题的关键． 【详解】解：设被笑脸覆盖的数为x，根据题意，得，且更接近， 则A，D不符合题意，又，，且， 故更接近， 故C不符合题意， 故选：B． 2. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 《三字经》中写道“幼习业，壮致身”，意在激励人们在年少时努力学习，为将来成就一番事业打下基础，现将这六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 业 B. 壮 C. 致 D. 身 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 【详解】在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是“壮”， 故选：B 4. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除，掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项：指把多项式中所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项(即同类项)合并成一项，法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘：指底数相同的幂相乘时，底数不变，指数相加；同底数幂乘方：指幂本身再进行乘方运算时，底数不变，指数相乘；除法计算法则：指底数相同的幂相除时，底数不变，指数相减；即可得到答案． 【详解】解：A、，选项不符合题意； B、，选项符合题意； C、，选项符合题意； D、，选项不符合题意； 故选：B． 6. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了如图所示的全班同学喜爱节目情况扇形统计图．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有3名 D. “动画”对应扇形的圆心角为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了调查分类、扇形统计图等知识，根据抽样调查和全面调查的定义、扇形统计图的相关知识，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.班主任采用是全面调查，故选项A说法错误，不符合题意； B.喜爱娱乐节目的同学最多，故选项B说法错误，不符合题意； C.喜爱戏曲节目的同学有：（名），故选项C说法正确，符合题意； D.“动画”对应扇形的圆心角为，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在菱形中，，，是对角线，是上一点，过点E作，垂足为F，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据菱形的性质证明，都是等边三角形，得，，然后利用含30度角的直角三角形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， ，都是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 可能只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的图象与性质可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ， ∴方程根的判别式为， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9. 如图，中弦与相交于点E，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分弦 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，则，所以，而，，可证明≌，得，可判断A不符合题意；由，推导出，可判断B不符合题意；连接并延长EO交AD于点F，连接OA、OD，则，可证明≌，则，所以OE垂直平分弦AD，可判断C不符合题意；假设正确，则，因为，所以，则，所以，与已知条件不符，可知不正确，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ，故A不符合题意； ， ，故B不符合题意； 连接并延长交于点F，连接，则， ，， ， ， ，， 垂直平分弦，故C不符合题意； 假设正确，则， ， ， ， ，与已知条件不符， 不正确，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10. 如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接.设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（ ） A. 点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B. 线段的长度为 C. a的值为5 D. 点D的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵点E的坐标为， ∴，此时点与点重合， ∴， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止， ∴点的路程是点的2倍， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时， 的面积最大为， 故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，； 综上，只有选项D错误． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个使得二次根式有意义的x的值为________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，写出一个符合题意的x即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及所标元素能组成“一氧化氮”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： H O O N H O O N 共有12种等可能结果，其中所标元素能组成“一氧化氮”的结果有：，，，，共4种， 所标元素能组成“一氧化氮”的概率为． 故答案为：． 13. 如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形内接于，得，，由，求得，因为，所以，则是等边三角形，所以，作于点I，则，求得，由阴影＝求得阴影，于是得到问题的答案． 【详解】连接，则， 正方形内接于，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 作于点I，则，， ， ∴阴影＝， 故答案为： 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A坐标是，P为边上一点，沿折叠正方形，点B的对应点为，若，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查坐标与图形变化－对称、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、，过点作轴于点F，交于点E，因为四边形是正方形，，所以，轴，则，，由，得，则，，由折叠得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，过点作轴于点F，交于点E， 四边形是正方形，， ，轴， ，， ， ， ，， ，， 沿折叠正方形，点B的对应点为， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是__________； （2）当最小时，的长为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，由三角形的面积可求，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ， 故答案为：2； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）已知任意整数m，求证：一定是偶数． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂的性质、绝对值的性质和立方根的定义进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行证明即可． 本题主要考查了实数的和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的定义、完全平方公式和平方差公式． 【详解】解：（1）原式 ； （2）证明： ， 是2的倍数， 取任意整数，一定是偶数． 17. 某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践测试．八年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分），甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10，乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示，甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6 乙 ______ 7 （1）统计表中______，______； （2）求乙组学生比赛成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）乙组学生的比赛成绩更好；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、求众数、中位数、平均数，用样本估计总体． （1）根据众数、中位数的定义，结合题目中的数据即可求解，； （2）根据平均数的定义求加权平均数即可； （3）根据中位数、众数的意义以及方差的意义分析即可得出结论． 【小问1详解】 在甲组学生的比赛成绩中出现最多的数是， 甲组学生的比赛成绩的众数是，即； 由题意知，乙组学生的比赛成绩7分的有：， 乙组学生的比赛成绩从小到大排列为：， 乙组学生的比赛成绩的中位数为：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 乙组学生比赛成绩平均数为：； 【小问3详解】 乙组学生的比赛成绩更好，理由： 两组的平均成绩相等，而乙组的众数、中位数都大于甲组的众数和中位数，乙组的方差小于甲组的方差， 乙组学生的比赛成绩更好． 18. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； （2）若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果） （3）沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）； （2）9个 （3）沿x轴负方向平移直尺时，恰好平分 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）观察图形并结合整点的定义，即可得出答案； （3）设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接，则，，根据恰好平分，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， 双曲线经过点， ， 解得：， 双曲线的解析式为， 直尺的宽度为， ， ； 【小问2详解】 解：如图，由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数为：， 由曲线及线段、、围成封闭区域内（含边界）整点个数有9个； 【小问3详解】 解：设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接， 则，， ， 恰好平分，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 把点C的坐标代入，得， 解得：， 沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 19. （1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 【答案】【小问1】矩形 【小问2】四边形为矩形；理由见解析 【小问3】当时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形证得，再根据中位线定理证得，，同理，，，从而可得，，于是可证得四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是矩形； （2）根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据证明平行四边形EFGH为矩形； （3）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：连接、， 四边形是菱形， ， 、F分别是、上的中点， ，， 同理，，， 则，， 四边形是平行四边形， 、G分别是、的中点， ， 又，， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形； （2）四边形为矩形． 证明：点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形EFGH为矩形； （3）当时，四边形是正方形， 理由如下：由（2）得四边形是矩形， 由（2）得，， 添加， ， 矩形为正方形． 【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定定理，三角形中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20. 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平．某校为响应全民健身，增强学生体质，计划购进一批篮球．经过调研，有，两个体育用品商店的篮球标价相同，且这两个商店分别推出了自己的优惠方案如下： 商店：若购买超过个，则超过部分按每个篮球标价的八折出售； 商店：若购买超过个，则超过部分按每个篮球标价的九折出售． 若用（个）表示购买篮球的数量，（元）表示购买篮球的实付费用，关于的函数图象如图所示． （1）每个篮球的标价为_________元； （2）当时，去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为_________，当时，去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为_________； （3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义； （4）若该校购买个篮球，直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠． 【答案】（1）； （2）；； （3）；实际意义是当购买个篮球时，在、两个商店购买实付费用相同，均为元； （4）商店． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别根据两个商店的优惠方案写出对应的函数关系式，再根据一次函数图象的性质确定方案． 当不超过时，根据每个篮球的标价实付费用购买篮球的数量计算即可； 分别根据两个商店的优惠方案计算即可； 将中得到的两个函数关系式联立，建立关于和的二元一次方程组并求解，从而求得点M的坐标，再说明其表示的实际意义即可； 根据图象，当时，比较、两个商店的实付费用即可得出结论． 【小问1详解】 解：由图象可知买个篮球需要元， 每个篮球的标价为（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， 去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为： ， 当时， 去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为： ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：根据图象得：， 解得：， 点的坐标为，表示的实际意义是当购买50个篮球时，在、两个商店购买实付费用相同，均为元； 【小问4详解】 解：根据图象可知，当时，在商店购买的实付费用小于在商店购买的实付费用， 若该校购买个篮球，选择商店购买篮球更优惠． 21. 如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G处． （1）尺规作图：作出光线（不写作法，仅保留作图痕迹）； （2）通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为，请你利用同学们的测量数据求出电线杆的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，切线的性质，平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，过点F作交于点G即可； （2）设，根据，构建方程求出r，解直角三角形求出即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 连接，过点E作于点， 是切线， ， 设， ， ， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ． 22. 如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点O，，是一个斜坡，斜坡的坡比为，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误； （3）在斜坡的三等分点D处（靠近坡脚），有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台上后退几米？直接写出结果． 【答案】（1） （2）此次击球没有失误，理由见解析 （3）向后退2米正好经过点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、解直角三角形的应用、待定系数法求函数解析式，用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标，用顶点式设出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入即可； （2）取抛物线解析式中的，求得合适的x的值，过B点作于点E，求出，进而求得长，将x值与的长度比较即可判断击球是否失误； （3）过D点作于点F，判断出点D的坐标，设后退m米球正好入洞，设出相应的函数解析式，把点D的坐标代入求得合适的解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点A的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 此次击球没有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过B点作于点E， 则四边形为矩形，， ，， 的坡比为， ， ， ， 此次击球没有失误； 【小问3详解】 过D点作于点F， 则， ， ， ， ， ，， ， 点D的坐标为， 设向后退m米正好经过点D， 正好经过点D的抛物线为：， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：向后退2米正好经过点． 23. 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①；②；理由见解答过程 （3）或 【解析】 【分析】（1）由菱形可知，利用勾股定理即可得解； （2）①分别利用勾股定理分别表示出和，从而得解； ②矩形倾斜会成为平行四边形，所以我们可以把平行四边形构造成矩形，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F，易证≌，所以，，再分别用a、b、BE表示出和，消去BE即可得解； （3）由前述结论易推出，从而得到，再分类讨论点在平行四边形上方和下方，画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①四边形ABCD是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：； ②；理由如下： 如图，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ≌， ，， 在中，， 即， 在中， 在中， ， ； 【小问3详解】 的长为或，理由如下： 在中，，，． ，， 由（2）知， 解得：， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，， 当时， ， 分两种情况： ①如图，过点作的延长线于点M，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，； ②如图，过点作的延长线于点N， 同理可得四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确运用类比探究思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省南阳市邓州市中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 1.7 2. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 《三字经》中写道“幼习业，壮致身”，意在激励人们在年少时努力学习，为将来成就一番事业打下基础，现将这六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 业 B. 壮 C. 致 D. 身 4. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A B. C. D. 5. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了如图所示的全班同学喜爱节目情况扇形统计图．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有3名 D. “动画”对应扇形的圆心角为 7. 如图，在菱形中，，，是对角线，是上一点，过点E作，垂足为F，若，则的长为（ ） A B. C. 2 D. 8. 二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 无实数根 D. 可能只有一个实数根 9. 如图，中弦与相交于点E，若，则下列结论错误的是（ ） A B. C. 垂直平分弦 D. 10. 如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接.设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（ ） A. 点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B. 线段的长度为 C. a的值为5 D. 点D的坐标为 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个使得二次根式有意义的x的值为________． 12. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、O、N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“一氧化氮”的概率是___________． 13. 如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A坐标是，P为边上一点，沿折叠正方形，点B的对应点为，若，则点的坐标是___________． 15. 在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是__________； （2）当最小时，的长为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）已知任意整数m，求证：一定是偶数． 17. 某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践测试．八年级有甲、乙两组各10名学生参加比赛（比赛成绩均为整数，满分为10分），甲组学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10，乙组学生的比赛成绩条形统计图如图所示，甲、乙两组学生的比赛成绩统计表如表所示． 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 6 乙 ______ 7 （1）统计表中______，______； （2）求乙组学生比赛成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为甲、乙两组学生在比赛活动中，哪组学生的比赛成绩更好？请说明理由． 18. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； （2）若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果） （3）沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离． 19. （1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 20. 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平．某校为响应全民健身，增强学生体质，计划购进一批篮球．经过调研，有，两个体育用品商店的篮球标价相同，且这两个商店分别推出了自己的优惠方案如下： 商店：若购买超过个，则超过部分按每个篮球标价的八折出售； 商店：若购买超过个，则超过部分按每个篮球标价的九折出售． 若用（个）表示购买篮球的数量，（元）表示购买篮球的实付费用，关于的函数图象如图所示． （1）每个篮球的标价为_________元； （2）当时，去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为_________，当时，去商店购买实付费用与购买数量之间的函数关系式为_________； （3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义； （4）若该校购买个篮球，直接写出选择哪个商店购买篮球更优惠． 21. 如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G处． （1）尺规作图：作出光线（不写作法，仅保留作图痕迹）； （2）通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为，请你利用同学们的测量数据求出电线杆的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 22. 如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点O，，是一个斜坡，斜坡的坡比为，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误； （3）在斜坡的三等分点D处（靠近坡脚），有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台上后退几米？直接写出结果． 23. 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $