精品解析：2024年河南省南阳市邓州市中考二模数学试题

邓州市2023~2024学年中招第二次模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效、 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是， 故选：B． 2. 2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化风情图，获得业内专家的点赞．截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿．数据“130亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】“130亿”用科学记数法表示为， 故选C． 3. 下列微信表情图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式；分别计算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线性质定理：两直线平行内错角相等，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是熟练掌握平行线性质定理． 根据两直线平行，内错角相等可得，再将、的值代入即可求解． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）， ，， ． 故选：． 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 故选A． 8. 大自然中音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表： 气温（） … 13 15 17 19 · 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49 次，则该地当时的气温约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．设蟋蟀所叫次数与温度与之间的函数关系式为，由待定系数法求得函数关系式，再将就可以求出结论． 【详解】解：设蟋蟀所叫次数与温度与之间的函数关系式为，由题意，得： ， 解得， ； 当时， ， 解得， 即该地当时的气温大约为． 故选：B． 9. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故选C． 10. 如图1，已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题动点问题的函数图象．根据题意可得出，；由矩形的性质可知和是等腰三角形，且当当运动到中点时，取最小值，当运动到中点时，取最小值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，当时，点与点重合，此时， ， 当时，点与点重合， ， 当运动到中点时，取最小值，此时； 当运动到中点时，取最小值，此时； ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，需付____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式．根据题意，可以用含a的代数式表示出结果． 【详解】解：由题意可得，需付， 故答案为：． 12. 若不等式的两边同除以，得，则m的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，根据不等式的两边同除以一个负数，不等号方向改变，即可得到，求出m的取值范围即可． 【详解】解：不等式即， 两边同除以，得， ∴， ∴ 故答案为： 13. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从这四张卡片中随机抽取两张，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“造纸术”和“印刷术”的有2种， 则抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，为的切线，点E为切点，线段经过圆心O 且与相交于D，C两点，若，，则的长为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、勾股定理及三角函数的定义．连接，由题意可得，设，则，，进而可得，然后可得，最后可根据三角函数的定义进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，为的切线， ∴，分别为的切线， ∴， 由可设，则，， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为____． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理．利用等腰三角形的性质和正方形的性质分类讨论：先利用勾股定理求得，①当时，利用勾股定理求解即可；②当时，利用勾股定理求出的长；③当时，设，则，利用勾股定理列式，进行计算即可求解． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图， 由勾股定理得； ②当时， 由勾股定理得，不符合题意，舍去； ③当时，如图， 设，则， ， ， 解得：， ； 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及分式乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、负整数指数幂、正弦值、零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法化为乘法，根据分式性质化简，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 4月24 日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，78，85，80，73，90，74，75，80 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 79 79 51.4 乙班 80 a b 26.4 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生50人，乙班共有学生55人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）80；80 （2）总体乙班成绩比较好； （3）两个班获奖人数约为53人． 【解析】 【分析】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求解； （2）结合平均数，方差代表的数据信息说明； （3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 【小问1详解】 解：乙班10名学生竞赛成绩从低到高排列：73，74，75，78，80，80，80，85，85，90，故中位数，众数； 故答案为：80；80； 【小问2详解】 解：乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好； 【小问3详解】 解：获奖人数：（人）． 答：两个班获奖人数为53人． 18. 如图，点E是正方形的边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）延长交于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）以点为圆心，作弧交于两点，再分别以这两交点为圆心，大于两交点一半为半径画弧，取两弧的交点，与点连接，所得线段与的交点即为所求的点； （2）根据正方形的性质，得，，由（1）得，再根据同角的余角相等，得，然后根据全等三角形判定（角边角），得，据此求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：高如图1所示． 【小问2详解】 解：延长交于点，如图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点． （1）求双曲线对应的函数关系式． （2）将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，判断点是否在该双曲线上？说明理由；并求点A运动的路径长l． （3）连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）点在该双曲线上，理由见解析；点A运动的路径长l为； （3）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点轴于点B，过点轴于点C，则，求出，证明，则，求出点的坐标为，由勾股定理得到，由题意可得，点A运动的路径是以点O为圆心，以为半径，圆心角为的一段弧，利用弧长公式求解即可； （3）连接，并分别延长与相交于点D，由（2）可知，轴于点B，过点轴于点C，证明是等腰直角三角形，证明四边形是正方形，由即可求解答案． 小问1详解】 解：设双曲线对应的函数关系式为． 把代入得到，， ∴， ∴双曲线对应的函数关系式为． 【小问2详解】 解：过点轴于点B，过点轴于点C，则， ∵点． ∴， ∴， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点的坐标为， ∵， ∴点在该双曲线上， 由勾股定理得到 由题意可得，点A运动的路径是以点O为圆心，以为半径，圆心角为的一段弧， ∴点A运动的路径长． 【小问3详解】 连接，并分别延长与相交于点D， 由（2）可知，轴于点B，过点轴于点C， ∴， ∵点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴ 即的面积为1． 【点睛】此题考查了反比例函数综合题，考查了旋转的性质、待定系数法求反比例函数解析式、正方形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识，数形结合是解题的关键． 20. 国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A 和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表： 车型 纯电动汽车A 插电混动汽车 B 进价/（万元/辆） 25 12 新能源积分/（分/辆） 8 2 （1）4月份该“4S”店共花费620万元购进A，B 两种车型，且全部售出共获得新能源积分180分，求4月份购进A，B 型号的车分别有多少辆？ （2）因汽车供不应求，该“4S”店5月份决定购进A，B 两种车型共60辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于300分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“4S”店获得的补贴最大？并求出最大值． 【答案】（1）购进A、B型号的车分别为25辆和10辆； （2）购进A型车30辆，B型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为60万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程或不等式． （1）设购进A、B型号的车分别为x，y辆，根据A，B两种车型共花费620万元，全部售出共获得新能源积分180分，列出方程组，解方程组即可； （2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据车辆全部售出后获得新能源积分不高于300分列出不等式，求出，设5月份“”店获得的补贴为w万元，列出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设购进A、B型号的车分别为x，y辆， 依题意得：， 解得：． 答：购进A、B型号的车分别为25辆和10辆； 【小问2详解】 解：设5月购进A型车m辆，则购进B型车辆， 依题意得：， 解得：． 设5月份“”店获得的补贴为w万元， 由题意得，， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为， ∴， ∴购进A型车30辆，B型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为60万元． 21. 如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小亮站在点B处，此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E 处重合，且BE的长为2米；小明又让小亮沿着射线的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C 的仰角为45°，已知小亮的身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．（结果保留一位小数） 【答案】旗杆的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的应用．由题意可知点E，A，C在同一条直线上．连接，过点作于点F．根据矩形的性质结合题意可知，米．设米，则米，由题意可求出米．又易证，得出，代入数据，解出x的值即可． 【详解】解：∵小亮影子的顶端E与旗杆的影子C顶端重合， ∴点E，A，C在同一条直线上． 如图，过点作于点F． ∴四边形为矩形， ∴，米， ∵， ∴， 设米，则米， 由题意可知米， ∴米， ∴米． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 22 已知二次函数 ． （1）当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． （2）若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． （3）当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 【答案】（1）①；②或 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质并利用分类讨论是解题的关键． （1）①把抛物线化为顶点式，即可得到答案；②先判断函数的增减性，再求出时的自变量值，据此即可得到答案； （2）把点A坐标代入解析式求出t的值，得到函数解析式，再把顶点B的坐标代入即可求出m的值； （3）分情况利用图象的最低点到x轴的距离为1列方程进行解答即可． 【小问1详解】 ①当时．， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②当时．， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，解得， ∴当时，或； 【小问2详解】 ∵点是该函数图象上不同的两点， ∴把代入得到，，解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∵点是该函数图象上不同的两点， ∴ 【小问3详解】 由题意可得，， 将该函数图像沿y轴向上平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 将该函数图像沿y轴向下平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 综上可知，或或或 23. 王老师善于通过合适主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”主题下设计的问题，请你解答． （1）定理证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，D为的中点． 求证：①______． 证明：如图2，延长至点E，使，连结． ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 又∵②_____， ∴是矩形， ∴， ∴③_____． （将上述求证过程中①②③空格补充完整） （2）定理运用：如图3在菱形中，与相交于点O，于E，点是的中点． ①求证：点是四边形的外接圆圆心，并画出这个外接圆； ②若，，求菱形的周长． （3）拓展提升 如图4，在中，，，是边上中线，将沿翻折，点A的对称点记为，当垂直于的一边时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；③ （2）①见解析；②菱形的周长为20； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）按照题目的提示填空即可求解； （2）①连接，利用直角三角形的性质证明，即可证明结论成立； ②利用圆内接四边形的性质求得，利用菱形的性质结合圆周角定理证得，再利用余弦函数的定义即可求解； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理结合直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 已知：如图1，在中，，D为的中点． 求证：①． 证明：如图2，延长至点E，使，连结． ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 又∵②， ∴是矩形， ∴， ∴③． 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 ①证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点是四边形的外接圆圆心，如图所示； ②∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 【小问3详解】 解：当时，设， ∵是边上中线， ∴， 由折叠性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 当时，此时与重合， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邓州市2023~2024学年中招第二次模拟考试 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效、 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚，在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化风情图，获得业内专家的点赞．截至2024年2月9日12点，全网阅读量再创新高，突破130亿．数据“130亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列微信表情图案中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将一块含角直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表： 气温（） … 13 15 17 19 · 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49 次，则该地当时的气温约为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知矩形两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图2所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 14 D. 16 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，需付____元． 12. 若不等式的两边同除以，得，则m的取值范围为____． 13. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从这四张卡片中随机抽取两张，抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为____． 14. 如图，在中，，为的切线，点E为切点，线段经过圆心O 且与相交于D，C两点，若，，则的长为____． 15. 正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 4月24 日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，78，85，80，73，90，74，75，80 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 79 79 51.4 乙班 80 a b 26.4 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生50人，乙班共有学生55人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 18. 如图，点E是正方形的边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）延长交于点F，若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点． （1）求双曲线对应的函数关系式． （2）将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，判断点是否在该双曲线上？说明理由；并求点A运动的路径长l． （3）连接，请直接写出的面积． 20. 国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A 和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表： 车型 纯电动汽车A 插电混动汽车 B 进价/（万元/辆） 25 12 新能源积分/（分/辆） 8 2 （1）4月份该“4S”店共花费620万元购进A，B 两种车型，且全部售出共获得新能源积分180分，求4月份购进A，B 型号的车分别有多少辆？ （2）因汽车供不应求，该“4S”店5月份决定购进A，B 两种车型共60辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于300分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“4S”店获得的补贴最大？并求出最大值． 21. 如图，小明和小亮利用学过的知识测量操场旗杆的高度，测量时，小明让小亮站在点B处，此时，小亮影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E 处重合，且BE的长为2米；小明又让小亮沿着射线的方向走15米到达旗杆的另一侧N处，此时，小亮观测到旗杆顶端C 的仰角为45°，已知小亮的身高为1.6米，请你根据相关测量信息，计算旗杆的高度．（结果保留一位小数） 22. 已知二次函数 ． （1）当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． （2）若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． （3）当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”主题下设计的问题，请你解答． （1）定理证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，D为的中点． 求证：①______． 证明：如图2，延长至点E，使，连结． ∵D为中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 又∵②_____， ∴矩形， ∴， ∴③_____． （将上述求证过程中①②③空格补充完整） （2）定理运用：如图3在菱形中，与相交于点O，于E，点是的中点． ①求证：点是四边形的外接圆圆心，并画出这个外接圆； ②若，，求菱形的周长． （3）拓展提升 如图4，在中，，，是边上中线，将沿翻折，点A的对称点记为，当垂直于的一边时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$