2025年江苏省无锡外国语学校中考数学二模试卷

2025年江苏省无锡外国语学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是 A. 2025 B. C. D. 2.下列事件是必然事件的是(    ) A. 任意两个等腰三角形都相似 B. 三点确定一个圆 C. 对顶角相等 D. 同位角相等 3.下列几何体的平面展开图中不包含三角形的是(    ) A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱锥 4.点在函数的图象上，则代数式的值等于(    ) A. B. 1 C. D. 3 5.如图，▱ABCD的边CD在x轴上，沿x轴正方向将▱ABCD平移到▱的位置.点C的坐标为，点的坐标为，则点A平移的距离为(    ) A. a B. b C. D. 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若，则，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 9.已知点是双曲线上点，过Q作轴于点A，作轴于点点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，则四边形AQBP的面积的最小值为(    ) A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 10.如图，在矩形纸片ABCD中，，把沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点G，交AF于点M；E、F分别是和BD上的点，线段EF交AD于点H，把沿EF折叠，使点D落在处，点恰好与点A重合.下列选项中正确的是(    ) ①≌； ②； ③； ④AM： A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.若代数式有意义，则x的取值范围是      . 12.一组数据：12，5，3，0，，6的极差为______. 13.若，则的余角的度数是______. 14.圆柱的底面半径为4cm，圆柱的高为12cm，则圆柱的全面积为______ 15.设、是方程的两个根，且，则______. 16.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，，AP与BC相交于点测得，，，则树高______ 17.如图，在中，，，，P是AB的中点.点M从A点出发以向点C运动，点N从C点出发以向点B运动，点Q是MN的中点，连接点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动.当PQ的长取最小值时，CM的长为______ 18.在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第四象限内，A，B两点横坐标分别为a、b，且满足则P的坐标为______；连接PA，PB，当时，作，垂足为点H，PH的最大值为______. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 化简： 20.本小题8分 解方程：； 解方程： 21.本小题10分 如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，， 求证：≌； 若EG平分，求证：四边形EFGH是菱形． 22.本小题10分 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：潍坊风筝；东明粮画；青神竹编；延安剪纸. 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“青神竹编”的概率是______. 为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“潍坊风筝”和“延安剪纸”的概率. 23.本小题10分 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： 写出扇形图中______，并补全条形图； 在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是______ 个、______个． 该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上含6个得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 24.本小题10分 如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得，连接AC交圆O于点F，连接AE、DE、 求证：； 设DE交AB于点G，若，，E是弧AB的中点，求AE的值. 25.本小题10分 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管，，，试管倾斜角为 求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； 实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且点C，D，N，F在一条直线上，经测得：，，，求线段DN的长度. 参考数据：，， 26.本小题10分 如图，四边形ABCD为菱形，，点E是BC边的中点. 请在图①中用尺规作图分别在CD边上找一点G，在BD上找一点F，使最小请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹 若菱形边长为5，，在的条件下，则______. 27.本小题10分 在平面直角坐标系中，抛物线、c为常数的顶点的横坐标是1，并经过点，与y轴交点坐标为 求此抛物线的函数表达式； 点A、点B均在这个抛物线上点A在点B的左侧，点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分含A、B两点记为图象 ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为4时，求m的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线BA方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标. 28.本小题10分 已知中，，，，点D在边AB上，将一块含的直角三角板DEF绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边DE、DF始终分别与的边AC、BC相交于点M、 在三角板DEF的旋转过程中，若，，则______； 在三角板DEF的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； 如图3，连接MN，取MN的中点P，在旋转过程中，点N在从点C运动到点B的过程中，请直接写出点P运动的路径长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：的倒数是， 故选： 利用倒数的定义求解即可． 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、任意两个等腰三角形都相似，是随机事件，不符合题意； B、三点确定一个圆，是随机事件，不符合题意； C、对顶角相等，是必然事件，符合题意； D、同位角相等，是随机事件，不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.【答案】A  【解析】解：圆锥的表面展开图是圆形和扇形，不可能有三角形，因此选项A符合题意； B.三棱锥的表面展开图是三角形，因此选项B不符合题意； C.三棱柱的底面是三角形，因此选项B不符合题意； D.四棱锥的4个侧面是三角形，因此选项D不符合题意． 故选： 根据圆锥，三棱锥、三棱柱、四棱锥的表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查几何体的展开图，掌握圆锥，三棱锥、三棱柱、四棱锥的表面展开图的特征是正确判断的关键． 4.【答案】A  【解析】解：点在函数的图象上， ， 故选： 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：点C的坐标为，点的坐标为， ， 点A平移的距离为 故选： 由平移的性质，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移，关键是掌握平移的性质． 6.【答案】C  【解析】解：光线平行于主光轴， ， ， ， ， 故选： 由平行线的性质推出，求出，由对顶角的性质得到，由三角形的外角性质即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出 7.【答案】C  【解析】解：由题意可得， ， 故选： 根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 8.【答案】C  【解析】解：如图，设OC与交于点F，中点E。 ，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选： 根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形FOB，扇形EOD和的面积即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：如图所示：连接PQ， 点是双曲线上点， ， ， 设， 当且仅当时，取等号， 四边形AQBP的面积最小值为 故选： 连接PQ，先求出反比例函数解析式，再设，根据四边形AQBP的面积的面积的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解． 本题考查了反比例函数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键． 10.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，，， ，， 又， ≌，故①正确； ≌， ，设，则， 在中，， ， 解得， ，，故②正确； 由折叠可得，，， ，，， ∽， ， ≌， ， ，，， ， ∽， ， ，，故③错误； 如图，延长EF交BC于点M，延长FE交BC的延长线于点N， ， ∽， ， ， 四边形ABMH是矩形， ，，，， ， 解得， ， ， ， ∽， ，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故选： 利用矩形的性质和折叠的性质可得，，即可证明≌，即可判断①；由全等三角形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得，求出x的值，进而根据正切的定义求出即可判断②；证明∽，可得，可得，又由∽，得，即得，即可得，即可判断③；延长EF交BC于点M，延长FE交BC的延长线于点N，由∽得，可得，即得，再由∽得，即可判断④，综上即可求解，正确添加辅助线是解题的关键． 本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11.【答案】  【解析】解：代数式有意义， ， 故答案为： 根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 本题考查的分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 12.【答案】14  【解析】解：极差为： 故答案为： 根据极差的定义即可得出答案． 本题考查了极差，解题的关键是熟练掌握极差的定义． 13.【答案】  【解析】解：， 的余角 故答案为： 根据余角定义，计算即可． 本题考查了余角，度分秒的换算，掌握余角的计算，度分秒的换算是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 根据进行计算即可． 本题考查几何体的表面积，掌握圆柱体底面积、侧面积、全面积的计算方法是正确解答的关键． 15.【答案】  【解析】解：、是方程的两个根， ， ， 故答案为： 由根与系数的关系可得、，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 16.【答案】  【解析】解：和均为直角， ， ∽， ， ，，， 故答案为： 根据题意可得∽，然后由相似三角形的性质，即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17.【答案】2  【解析】解：以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为，点A的坐标为，如图所示， 点P是AB的中点， 点P的坐标为 秒，秒， 当运动时间为秒时，点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， 是AB的中点， ， ， 当时，PQ有最小值， 点M的坐标为， 故答案为： 以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为，点A的坐标为，由点P是AB的中点，可得出点P的坐标为，当运动时间为秒时，点Q的坐标为，根据，当时，PQ有最小值，于是得到结论． 本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用以及坐标与图形的性质，构造直角坐标系，利用两点间的距离公式勾股定理找出关于运动时间t的方程是解题的关键． 18.【答案】；    【解析】解：将点代入得：， 解得：舍去或， 的坐标为 故答案为：； 如图，设点A、B的坐标分别为：、， 过点P作直线轴，作于点C，作于点D， ， ， ， ， ， ∽， ， ，即， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：， 当时，， 即直线AB过恒定点， 而点， 当点H、Q不重合时，， 当PH取得最大值时，H、Q重合， 此时PH的最大值为 将点P的坐标代入函数表达式得：，即可求解； 设点A、B的坐标分别为：、，过点P作直线轴，作于点C，作于点D，证明∽，得到，得到，则直线AB过恒定点，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 19.【答案】；     【解析】 ； 先根据数的开方法则，特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可； 先算除法，再算减法即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，熟知运算法则是解题的关键． 20.【答案】；   ，  【解析】， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； ， ， ，即， ， ， 利用加减消元法，进行计算即可解答； 利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-配方法，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， 在与中，， ≌   四边形ABCD是平行四边形， ，， ，， ， ≌                  又≌， 四边形HEFG为平行四边形．             ， 平分， ， ， ， 是菱形．  【解析】根据全等三角形的判定定理SAS证得结论； 欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可． 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的． 22.【答案】；    【解析】小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“青神竹编”的概率是； 故答案为：； 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“潍坊风筝”和“延安剪纸”的结果数为2， 所以两人恰好选中“潍坊风筝”和“延安剪纸”的概率 直接利用概率公式计算； 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人恰好选中“潍坊风筝”和“延安剪纸”的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件也考查了概率公式． 23.【答案】；  补全的统计图如下： ；5；   名 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．  【解析】【分析】 本题为统计题，考查众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． 用1减去其他个数所占的百分比即可得到a的值，根据百分比求出人数再补全条形统计图即可； 根据众数与中位数的定义求解即可； 先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【解答】 解：扇形统计图中 ， 设引体向上6个的学生有x人， 由题意得，解得 条形统计图补充如下： 由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5； 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为 见答案． 24.【答案】证明见解答过程；     【解析】证明：如图，连接AD， 是的直径， ， 即， 又， 垂直平分BC， ； 解：如图，连接OE， 四边形ABDF内接于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 是弧AB的中点，AB是的直径， ， ， 负值已舍 连接AD，利用AD垂直平分BC，可得； 连接OE，利用三角函数求出，根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键在于作辅助线，利用角相等证明相似三角形，结合相似比例计算． 25.【答案】解：过点E作于点G， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为； 过点B作于点H，于点P，过点M作于点Q， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段DN的长度为  【解析】过点E作于点G，直接利用的余弦即可求出GE，从而得到CD的长度； 过点B作于点H，于点P，过点M作于点Q，先在中求出BP，EP，进而求出BQ，QM，利用即可解决问题． 本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 26.【答案】  【解析】图形如图所示： 如图，连接BG，过点C作于点H，过点C作于点 在中，，， ，， 四边形ABCD是菱形， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为： 作点E关于BD的对称点，过点作垂直AB，交BD于点F，交CD于点G，连接EF，点E，F即为所求； 如图，连接BG，过点C作于点H，过点C作于点利用面积法求出CG可得结论． 本题考查作图-复杂作图，菱形的性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 27.【答案】   ①1；②或  【解析】由于抛物线经过点和点，则，； 又抛物线顶点横坐标，即 ，解得 故抛物线的函数表达式为 根据题意，顶点D坐标为，抛物线对称轴为 点A在点B的左侧，即，，即 线段AB中点C的横坐标为， 点A距离对称轴更近，则 ①当时，抛物线对称轴位于AB两点之间，则图象G的最高点为抛物线的顶点，最低点为点 ，解得或5，不合题意，舍去． 当时，AB两点都在抛物线对称轴右侧包含对称轴，图象G的最高点为A，最低点为 ，解得，符合题意． 故 ②由得到A点坐标为，点B坐标为，则 根据平移的性质，将抛物线延射线BA方向平移个单位长度．相当于先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 则平移后的抛物线解析式为： 新抛物线对称轴为 设点M的坐标为，当A、B、M三点构成直角三角形时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是能构成矩形． ，， 当AB为矩形对角线时，，p无解； 当AM为矩形对角线时，，，则点M坐标为 根据矩形对角线互相平分，则，， 代入点A、B、M的坐标，得点N坐标为； 当BM为矩形对角线时，，，则点M坐标为 同理可求得点N坐标为 故点N坐标为或 由抛物线经过点及求出抛物线表达式中的系数c、a和b的关系式，然后结合顶点横坐标求出a和b的另一个关系式，从而求出各项系数即可得出抛物线的函数表达式． 先根据抛物线表达式求出顶点坐标，结合AB两点的位置关系以及线段AB中点的横坐标，推出则①分别讨论和时图象G的最高点和最低点情况，再结合两点纵坐标差为4建立方程求出m的值；②根据m求出AB两点的坐标，结合AB的长度得出抛物线的平移规律，进而求出平移后的函数表达式，并得出点M的横坐标，然后设点M的纵坐标为p，再由ABM三点构成直角三角形的限制条件，由勾股定理构建关于p的方程，最后利用矩形两条对角线的中点重合的性质求出点N的坐标． 本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，函数图象的平移，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 28.【答案】2；   的值为定值，理由见解析过程．    【解析】如图1， 中，，， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，， 故答案为：2； 的值为定值，理由如下： 如图2，作于G，于H， 又， 四边形DGCH是矩形， ， ， ， ， 又， ∽， ， 作于T，于S， 则，均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又， ∽， ， ， ； 连接CP，DP， ，P为MN的中点， ， 在CD的垂直平分线上， 当N与C重合时，P在线段CM的中点处，设CD的中点为T， 过点C作于K，过点D作于点 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 当点N与B重合时，连接 ，， ， ， ， ， 点P的运动路径的长 故答案为： 先判定和都是等腰直角三角形，然后根据AB和AD的长求出BD，从而得到AM和BN，即可求出结果； 先判定四边形DGCH是矩形，根据等腰直角三角形的性质求出AG，DG，BH，DH的长，推出，后判定∽，得到，作于T，于S，得到，均为等腰直角三角形，推出，，推出，，判定∽，，得到，即可求出的长． 连接CP，DP，，P为MN的中点，推出P在CD的垂直平分线上，当N与C重合时如图4中，P在线段CM的中点处，设CD的中点为T，求出此时，当点N与B重合时如图5中，连接求出PT，可得结论． 本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$