精品解析： 上海市闵行区紫竹双语学校2024-2025学年八年级下学期第二 次月考数学试卷

2024-2025学年上海市闵行区紫竹双语学校八年级（下） 第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是一次函数是（ ） A. y＝1﹣x B. y＝ C. y＝kx＋1 D. y＝x2＋1 2. 十边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，，连接， 若为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 已知一次函数的图象过点，则_____． 8. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是___________． 9. 计算：________． 10. 如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是___________． 11. 梯形中，，这个梯形的中位线的长度为_______． 12. 如图，，，，则的长为______． 13. 对于锐角，已知，则______． 14. 从“卓越”对应的英语单词“”中任意选一个字母，选出的字母为“e”的概率为______． 15. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 16. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则______． 17. 如图，一架无人机在滑雪赛道一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是___________米．（参考数据：） 18. 如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则______． 三、计算题：本大题共1小题，共5分． 19. 解方程：. 四、解答题：本题共8小题，共53分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解方程： 21. 解二元二次方程组 22. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量、、表示向量：______； （2）写出图中所有与互为相反向量的向量：______； （3）求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 23. 近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称DeepSeek）开发AI大模型在全球范围内掀起了热潮．据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2000条时需18分钟完成训练，之后每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟，且与的关系可以近似的看作一次函数． （1）求关于的函数关系式； （2）若训练总时间为69分钟，求使用的数据总量． 24. 如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，） 25. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形菱形． 26. 已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当，且轴时，求点Q的坐标； （3）当点N与点Q纵坐标之和为0时，求m的值； （4）当四边形是矩形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市闵行区紫竹双语学校八年级（下） 第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. y＝1﹣x B. y＝ C. y＝kx＋1 D. y＝x2＋1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：A、y=1-x是一次函数，故此选项符合题意； B、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意； C、当k=0时不是一次函数，故此选项不符合题意； D、y=x2+1是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2. 十边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形外角和为是解题的关键；因此此题可根据多边形的外角和进行求解即可． 【详解】解：十边形的外角和是； 故选D． 3. 在平行四边形中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选D． 4. 已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的性质，周长之比等于相似比解答即可． 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：两个相似三角形的对应边的比为， 故它们的周长之比为， 故选：B． 5. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 6. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，，连接， 若为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．先有正方形的性质和勾股定理得到，推出，延长到，使，连接，过点作的垂线，垂足为，再证明为的中位线，接着证明是等腰直角三角形，进而由勾股定理得到，则，由勾股定理得，最后由得到答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点作的垂线，垂足为 四边形是正方形 ， 在中， 为的中点，为的中点 为的中位线 四边形是正方形 是等腰直角三角形 ， 在中，由勾股定理得 故选：C． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 已知一次函数的图象过点，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】直接把点P（2，4）代入一次函数y＝−x＋b，求出b的值即可． 【详解】∵一次函数y＝−x＋b的图象过点P（2，4）， ∴−2＋b＝4，解得b＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是___________． 【答案】y2﹣y﹣2＝0 【解析】 【分析】设，则原方程化为y﹣＝1，再方程两边都乘y即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： y﹣＝1， 方程两边都乘y，得y2﹣2＝y， 即y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键． 10. 如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是___________． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定．利用平行四边形的性质得出即可证明四边形是矩形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵分别平分， ∴，即． 同理可证， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 11. 梯形中，，这个梯形的中位线的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，梯形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，过点D作于点G，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理求出，根据中位线性质求出． 【详解】解：过点D作于点G，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵为梯形的中位线， ∴． 故答案为：． 12. 如图，，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：， ，即， 解得， ， 故答案为：9． 13. 对于锐角，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【详解】解：由互余两角三角函数的关系可得，，而且， 所以．即， 故答案为：． 14. 从“卓越”对应的英语单词“”中任意选一个字母，选出的字母为“e”的概率为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 从“卓越”对应的英语单词“”中任意选一个字母共有10种等可能结果，其中选出的字母为“e”的有4种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从“卓越”对应的英语单词“”中任意选一个字母共有10种等可能结果，其中选出的字母为“e”的有4种结果， 所以选出的字母为“e”的概率为， 故答案为：． 15. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质以及解直角三角形，先求出新抛物线表达式为，即可求得，过点作轴，垂足为，即可得出． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线为，即 ， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，． 故答案为：． 17. 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是___________米．（参考数据：） 【答案】345 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G，由的坡度为且长为300米，结合勾股定理可得米，米，米，在中，，可得米，则米，根据可得出答案． 【详解】解：过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G，     ∵的坡度为， ∴， 设米，则米， 由勾股定理可得米， ∴， 解得， ∴米，米， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴（米）． ∴无人机离地面的高度的长约为345米． 故答案为：345． 18. 如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共5分． 19. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：移项得：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：，， 经检验不是原方程的解，舍去， ∴是原方程的解. 【点睛】本题考查了解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化成有理方程，注意：解无理方程一定要进行检验． 四、解答题：本题共8小题，共53分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 方程两边都乘，将原方程化为一元二次方程，再用因式分解法求解，注意检验. 试题解析： 方程两边都乘，得：， 整理得：，解得：． 经检验：是原方程的解． 点睛：本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的解法，基本方法是，将方程两边都乘以分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，求出整式方程的解后，要代入到最简公分母中检验，若最简公分母不等于0，则是原分式方程的解，否则原分式方程无解． 21. 解二元二次方程组 【答案】 【解析】 【分析】把方程①变形为y=1-x，利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解． 【详解】解： ， 把①变形y＝1﹣x，代入②得x2﹣（1﹣x）﹣2x﹣1＝0， 化简整理得x2﹣x﹣2＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 把x＝2代入①得y＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得y＝2， 所以原方程组解为：． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可． 22. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． （1）试用向量、、表示向量：______； （2）写出图中所有与互为相反向量的向量：______； （3）求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 【答案】（1） （2）和 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）由，，，，代入即可； （2）由，可知，因此图中与互为相反向量的向量有和； （3）如图，作，，则向量即为所求． 【小问1详解】 解：∵，，， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴图中与互为相反向量的向量有和， 故答案为：和； 【小问3详解】 如图， 向量即为所求 作，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量三角形法则、四边形法则，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相反向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 23. 近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称DeepSeek）开发的AI大模型在全球范围内掀起了热潮．据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2000条时需18分钟完成训练，之后每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟，且与的关系可以近似的看作一次函数． （1）求关于的函数关系式； （2）若训练总时间为69分钟，求使用的数据总量． 【答案】（1） （2）若训练的总时间为69分钟，使用的数据总量为3700条． 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据每增加100条数据，训练时间延长3分钟求出关于的函数关系式即可； （2）将代入关系式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：当时，， 解得． ∴若训练的总时间为69分钟，使用的数据总量为3700条． 24. 如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，） 【答案】、之间的距离约为141米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； 过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，， ∴， 在中，， ∴(米)， 在中，(米)， ∴、之间的距离约为141米． 25. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 26. 已知：如图，在梯形中，，点是一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，证明，得到，结合，即，推出，从而得到，结合，推出，那么，得到，即，最后结合从而得证； （2）先证明，得到，再证明，得到，那么，由四边形是平行四边形．可知．从而有，最后得证． 小问1详解】 证明： ， ，， ， ， ， ． ． 又 ，即． ， 四边形是平行四边形． 小问2详解】 证明： ，， ． ． ， ，， ， ． ． 四边形AECD是平行四边形． ． ． 即． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当，且轴时，求点Q的坐标； （3）当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； （4）当四边形是矩形时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，矩形的性质，相似的判定及性质是解题的关键； （1）根据顶点A的横坐标为1，求，再将点代入，求出c的值，即可求函数的解析式； （2）用待定系数法求直线的解析式，再求M点坐标为，由题意可得，即可求m的值； （3）根据平行四边形的性质，结合点的平移求出，再由，即可求m的值； （4）过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，证明，得到，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：如图： ∵顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， 将点代入，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵P点横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 直线的解析式为， ∴， ∵轴， ∴， 解得或（舍）； ∵点Q的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴Q点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到M点， ∴A点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∵点N与点Q的纵坐标之和为0， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$