对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

对数函数 课前学习任务 一、课标解读 1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 二、必备知识 1.对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　.  [教材知识深化] 对数函数解析式y=logax的三个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)真数是自变量x且x>0;(3)系数为1. 2.对数函数的图象与性质 函数 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 图象 图象 特征 在y轴右侧,过定点(1,0) 这是因为loga1=0　 当x逐渐增大时,图象是上升的 当x逐渐增大时,图象是下降的 性质 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 函数值 变化规 律 当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 [教材知识深化] 1.对数值的符号规律:logax>0⇔(a-1)(x-1)>0,logax<0⇔(a-1)(x-1)<0(其中a>0,a≠1,x>0). 2.在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.也就是说,在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.函数y=loga|x|与y=|logax|(a>0,a≠1)的性质 函数 y=loga|x| y=|logax| a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞) 值域 R [0,+∞) 奇偶性 偶函数 非奇非偶函数 单调性 在区间(0,+∞)上单调递增; 在区间(-∞,0)上单调递减 在区间(-∞,0)上单调递增; 在区间(0,+∞)上单调递减 在区间(0,1)上单调递减; 在区间(1,+∞)上单调递增 图象 3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为　　　　　,它们的定义域与值域正好互换.  [教材知识深化] 1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数. 2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 三、自主诊断 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数f(x)=log3(x-1)是对数函数. (　　) (2)若logax>1,则x>a. (　　) (3)函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)在其定义域上单调递增. (　　) (4)函数y=|lox|的单调递减区间是(1,+∞).(　　) 2.(人教A版必修第一册习题4.4第1题改编)函数y=的定义域为　　　　.  3.(人教B版必修第二册习题4-2 B第6题改编)已知0<m<n,且m≠1,n≠1,则logm7与logn7的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　.  4.(2024·天津,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 5.(2024·北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是(　　) A.log2 B.log2 C.log2>x1+x2 D.log2<x1+x2 课堂核心考点 考点一 对数函数的图象及应用 1.(1)(2024·山东潍坊模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A B C D (2)(2024·北京海淀模拟)不等式2log3x-(x-1)(x-2)>0的解集为　　　　.  [对点训练1] (1)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0,且a≠1,a,b为常数)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.a>0,b<-1 B.a>0,-1<b<0 C.0<a<1,b<-1 D.0<a<1,-1<b<0 (2)若方程4x=logax(0<a<1)在0,上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  考点二 对数函数的性质及其应用 考向1　比较对数值的大小 2.(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a=,b=log25,c=log35,则(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b (2)(多选题)若实数a,b,c满足loga2<logb2<logc2,则下列关系中可能成立的是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b [对点训练2](1)(多选题)(2024·广东惠州模拟)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则下列关系式正确的是(　　) A.a>b B.a>c C.c>a D.a+b=2 (2)(2024·安徽铜陵模拟)已知a=log75,b=log97,c=log119,则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 考向2　求单调区间或参数取值范围 3.(1)(2024·河北唐山模拟)函数f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的单调递增区间是　　　　.  (2)(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=lo(x2-ax-a)对任意两个不相等的实数x1,x2∈-∞,-,都满足不等式>0,则实数a的取值范围为　　　　.  变式探究1 本例(1)中,若函数解析式不变,则函数f(x)的最大值为　　　　.  变式探究2 本例(2)中,若函数解析式不变,则当函数f(x)=lo(x2-ax-a)的值域为R时,实数a的取值范围是　　　　　　　.  考向3　解简单的对数不等式 4.(1)(2024·广东河源模拟)定义在R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,且f(-2)=2,则不等式f(lox)>2的解集为 (　　) A.-∞,∪(4,+∞) B.0,∪(2,+∞) C.0,∪(,+∞) D.0,∪(4,+∞) (2)若loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　.  [对点训练3](1)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) (2)已知函数f(x)=-x2+4x+a+16(a∈R),则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为(　　) A.(2,+∞) B.(0,2) C.(2,6) D.(2,8) 考点三 与对数函数有关的综合问题 5.(多选题)(2024·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=log4(1+4x)-x,则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减 D.函数f(x)的值域为,+∞ [对点训练4](2024·云南昆明模拟)已知函数f(x)=ln|x-1|-ln|x+1|,若存在两个不同的实数x1,x2,使f(x1)=f(x2),则有(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.x1x2=-1 B.x1x2=1 C.x1+x2<-2 D.x1+x2>2 答案解析 [知识梳理] 1.(0,+∞) 2.微思考　提示 由于loga1=0,令mx+n=1得x=,此时y=k×0+b=b,因此该函数的图象经过定点,b. 3.反函数 [自主诊断]　1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.,1　解析 要使函数有意义,应满足log0.5(4x-3)≥0,因此0<4x-3≤1,解得<x≤1,故函数的定义域为,1. 3.当1<m<n或0<m<n<1时,logm7>logn7;当0<m<1<n时,logm7<logn7　解析 当n>m>1时,函数y=logmx和y=lognx的图象如图①所示,当x=7时,数形结合可得logm7>logn7.当0<m<n<1时,函数y=logmx和y=lognx的图象如图②所示,当x=7时,数形结合知logm7>logn7.当0<m<1<n时,函数y=logmx与y=lognx的图象如图③所示,当x=7时,显然,logn7>logm7. ① ② ③ 4.B　解析 ∵函数y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3, ∴0<4.2-0.3<4.20<4.20.3, 即0<4.2-0.3<1<4.20.3, 即0<a<1<b. ∵函数y=log4.2x在区间(0,+∞)内单调递增,且0<0.2<1, ∴log4.20.2<log4.21=0, 即c<0. ∴b>a>c. 故选B. 5.A　解析 ∵y1=,y2=,∴y1+y2=>2=2, ∴log2>log2 故选A. 研考点·精准突破 考点一 例1　(1)A　(2)(1,3)　解析 (1)由于f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=k-1-1=0,k=2,经检验k=2符合题意. 因为f(x)=ax-为减函数, 所以0<a<1,所以g(x)=loga(x+2),x>-2,g(x)为(-2,+∞)上的减函数,g(-1)=0,排除B,C,D, 故选A. (2)由2log3x-(x-1)(x-2)>0,可得log3x>(x-1)(x-2),在同一直角坐标系内作出函数f(x)=log3x,g(x)=(x-1)(x-2)的图象(如图所示),因为f(3)=g(3)=1,所以由函数的图象可知,当x∈(1,3)时,有f(x)>g(x),即不等式的解集为(1,3). 对点训练1　(1)D　(2)0,　解析 (1)因为函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0<a<1. 因为函数图象与x轴的交点在正半轴,所以1+b>0,即b>-1. 因为函数图象与y轴有交点, 所以b<0,所以-1<b<0. 故选D. (2)构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当0<a<1时,画出两个函数的大致图象,如图所示. 可知,只需两图象在0,上有交点即可,则f≥g,即2≥loga,则0<a,所以实数a的取值范围为0,. 考点二 例2　(1)D　(2)BCD　解析 (1)因为log3<0, 所以0<a<1, 又b=log25>log24=2,1=log33<c=log35<log39=2, 所以a<c<b.故选D. (2)由loga2<logb2<logc2的大小关系,可知a,b,c有如下四种可能:①1<c<b<a;②0<a<1<c<b;③0<b<a<1<c;④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示). ① ② ③ ④ 由图象可知B,C,D可能成立. 对点训练2　(1)AC　(2)A　解析 (1)a=log2e>log22=1, 即a>1,b=ln 2<ln e=1, 即b<1,c=lo=log23>log2e=a, 所以c>a>b,a+b=log2e+ln 2=+ln 2, 由基本不等式知D错误.故选AC. (2)因为log75-log97=, 又因为lg 5lg 9≤2=2<2=lg27, 所以log75-log97<0, 即a<b. 因为log97-log119=, 又因为lg 7lg 11≤2=2<2=lg29, 所以log97-log119<0,即b<c, 所以a<b<c,故选A. 例3　(1)(-1,1)　(2)-1,　解析 (1)由得-1<x<3, 则函数f(x)的定义域为(-1,3), 又f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)=lg(x+1)(3-x)=lg(-x2+2x+3), 令u=-x2+2x+3, 则u(x)在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减, 又因为y=lg u在定义域上是增函数, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1). (2)依题意知f(x)在区间-∞,-上单调递增,令u=x2-ax-a,由于y=lou在区间(0,+∞)上单调递减,而函数u(x)=x2-ax-a图象的开口向上,对称轴为直线x=, 所以 即 解得-1≤a, 故a的取值范围是-1,. 变式探究1　lg 4　解析 由于f(x)的定义域为(-1,3),又f(x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,易知,u有最大值4,因此函数f(x)的最大值为lg 4. 变式探究2　(-∞,-4]∪[0,+∞)　解析 当函数f(x)=lo(x2-ax-a)的值域为R时,u(x)=x2-ax-a应能取到所有正实数,所以Δ=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞). 例4　(1)D　(2)(2,+∞)　解析 (1)因为偶函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,且f(-2)=2,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(2)=2,因此由不等式f(lox)>2,可得|lox|>2,即lox>2或lox<-2,得log2x<-2或log2x>2,即不等式的解集为0,∪(4,+∞),故选D. (2)因为loga<loga,当0<a<1时,则有,无解;当a>1时,则有,解得a>1,所以a>1.则对数函数y=logax(a>1)在区间(0,+∞)上单调递增,又关于x的不等式loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2,所以不等式的解集为(2,+∞). 对点训练3　(1)C　(2)D　解析 (1)由题意可得或 解得a>1或-1<a<0.故选C. (2)由题意,得f(x)=-(x-2)2+a+20,则函数f(x)的图象是以直线x=2为对称轴且开口向下的抛物线,所以f(1)=f(3). 由f(log2x)>f(1),可得1<log2x<3,解得2<x<8,所以不等式f(log2x)>f(1)的解集为(2,8). 例5　BD　解析 易知f(x)的定义域为R,f(x)=log4(1+4x)-log4=log4=log4(2-x+2x),由于f(-x)=log4(2x+2-x)=f(x),因此f(x)为偶函数,故A选项错误,B选项正确;令t=2x,则y=log4t+,令s=t+,则y=log4s,当x∈[0,+∞)时,t∈[1,+∞),所以s=t+在定义域上为增函数,又y=log4s在定义域上为增函数,所以y=log4t+为增函数,又t=2x为增函数,所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故选项C错误;又f(x)为R上的偶函数,所以f(x)≥f(0)=,所以f(x)的值域为,+∞,故选项D正确.故选BD. 对点训练4　B　解析 函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),且f(x)=ln=ln1-,又f(-x)=ln=-ln=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为y=1-在区间(-∞,-1)上单调递增,且y>1;y=1-在区间(-1,0)上单调递增,且y<-1,所以y=1-在区间(-∞,-1)上单调递增,且y>1;y=1-在区间(-1,0)上单调递减,且y>1.所以当x∈(-∞,-1)时,函数f(x)单调递增,且f(x)>0;当x∈(-1,0)时,函数f(x)单调递减,且f(x)>0.作函数f(x)的图象知,由f(x1)=f(x2),则ln=ln,则=,得=-,化简得x1=x2(舍去)或x1x2=1,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$