精品解析：湖北省黄冈市武穴市2024-2025学年下学期七年级数学期末考试卷

武穴市2025年春季期末教学质量监测试题 七年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（ ） A. B. C. D. 3. 与的和的一半是负数，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四项调查中，采用的调查方式正确的是（ ） A. 调查某市植树节活动中所栽树苗的成活率，采用全面调查的方式． B. 调查游乐园中一辆过山车座位稳固情况，采用抽样调查的方式． C. 调查某市市民知晓“礼让行人”的情况，采用抽样调查的方式． D. 了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用全面调查的方式． 5. 如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（ ） A. 20cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm 6. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B 若，则 C 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线在同一平面内，，则 7. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，古诗《登飞来峰》．若建立直角坐标系，“云”所处位置为，“千”所处位置为，那么“升”所处位置为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则__________． 12. 在平面直角坐标系中，点 P(6－2x，x－5)在第二象限，则 x 的取值范围是_____． 13. 某种服装的进价为240元，出售时标价360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则最多能打____折． 14. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C，D分别折叠至点，，若的度数为，则的度数为______． 15. 有一块矩形的牧场如图1，它的周长为560米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是__________米． 三、解答题（本题共9题，共72分） 16. 计算： （1）计算； （2）解下列不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 17. 已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 18. “高铁列车”“移动支付”“网购”和“共享单车”给我们的生活带来了很多便利．七年级某数学兴趣小组在校内对“你最认可的新生事物”进行调查，随机调查了名学生，每名学生从上面四种中必选一种且只能选择一种，将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图． （1）根据图中的信息填空：__________，__________； （2）请把条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查的结果，请估计在全校1800名学生中，最认可“高铁列车”和“移动支付”这两种新生事物的学生总人数． 19. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，由“其”字抽象出的几何图形如图所示，其中，点、、、、在同一直线上，点、、、、在同一直线上，且．求证：．请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 证明：∵（已知）， ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴________________________（等式的基本事实）． ∴（ ）． ∴____________（ ）． ∵（已知）， ∴____________（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（ ）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点分别与点对应． （1）画出平移后的； （2）直接写出三个点的坐标； （3）已知点，，直接写出的取值范围． 21. 若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为____________． （2）已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； （3）关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元． （1）每套甲、乙型号“文房四宝”价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？ 23. 甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 24. 如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足．其中m是3m＋2＞24的最小整数解． （1）求A点，C点的坐标； （2）如图1，坐标轴上有两动点P、Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使得三角形△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且OA平分，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武穴市2025年春季期末教学质量监测试题 七年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分） 1. 在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：，所以A选项不符合题意； ，所以是符合“面”的描述的数，B选项符合题意； ，所以C选项不符合题意； ，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了算术平方根，无理数，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2. 如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据点的坐标特点判定其所在象限等知识，根据题意得到直尺不经过第二象限，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意得，直尺经过一、三、四象限，不经过第二象限， A. 在第一象限，不合题意； B. 在第二象限，符合题意； C. 在第三象限，不合题意； D. 在第四象限，不合题意． 故选：B 3. 与的和的一半是负数，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】与的和的一半即为，负数即小于，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 4. 下列四项调查中，采用的调查方式正确的是（ ） A. 调查某市植树节活动中所栽树苗的成活率，采用全面调查的方式． B. 调查游乐园中一辆过山车座位的稳固情况，采用抽样调查的方式． C. 调查某市市民知晓“礼让行人”的情况，采用抽样调查的方式． D. 了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用全面调查的方式． 【答案】C 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 【详解】解：A、调查某市植树节活动中所栽树苗的成活率，采用抽样调查的方式，故本选项错误，不符合题意； B、调查娱乐园中一辆过山车座位的稳固情况，应采用全面调查的方式，故本选项错误，不符合题意； C、调查某市市民知晓“礼让行人”的情况，采用抽样调查的方式，故本选项正确，符合题意； D、了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（ ） A. 20cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可． 【详解】根据题意，得A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为， ∴BC=，=， 则四边形的周长=CA+AB+++=△ABC的周长+2=20+4=24cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，主要运用的知识点是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． 6. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线在同一平面内，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角的定义，平行线的判定以及性质等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定以及性质判断即可． 【详解】解：．相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．若，则或，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．直线，，在同一平面内，，，则是真命题，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： 故选：A． 8. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 9. 如图，是古诗《登飞来峰》．若建立直角坐标系，“云”所处位置为，“千”所处位置为，那么“升”所处位置为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置．根据点的坐标确定坐标系的位置，是解题的关键．根据“云”和“千”的坐标，可建立平面直角坐标系，即可解答． 【详解】解：∵“云”用表示，“千”用表示， ∴可建立如图所示的平面直角坐标系， ∴“升”可以表示为． 故选：B． 10. 如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定长方形的边长，分析滚动过程中坐标的变化规律，找出循环周期，再根据周期计算第次滚动后点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形滚动的坐标变化规律，熟练掌握找循环周期及根据周期计算坐标的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，． 第一次滚动后，的坐标为； 第二次滚动后，的坐标为； 第三次滚动后，的坐标为； 第四次滚动后，的坐标为 ． 观察可得滚动周期为，每滚动次，横坐标增加，纵坐标按循环． ，即经过个完整周期后，再滚动次． 一个周期横坐标增加，个周期横坐标增加 ． 初始，经过个周期后对应点横坐标为 ，再滚动次（第一次滚动规律），横坐标变为，纵坐标为 ． 所以的坐标为． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了求一个数算术平方根，求一个数的立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的性质可求出x的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0 12. 在平面直角坐标系中，点 P(6－2x，x－5)在第二象限，则 x 的取值范围是_____． 【答案】x>5； 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组： ，再解不等式组，找出公共解集即可． 【详解】由题意得 解得x>5， 则x 的取值范围是x>5. 【点睛】本题考查点的坐标和解一元二次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键. 13. 某种服装的进价为240元，出售时标价360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则最多能打____折． 【答案】八 【解析】 【分析】设打了x折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解． 【详解】解：设打了x折， 由题意得360×0.1x﹣240≥240×20%， 解得：x≥8． 答：最多打八折． 故答案为：八． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解． 14. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C，D分别折叠至点，，若的度数为，则的度数为______． 【答案】##54度 【解析】 【分析】根据折叠性质得出，，根据平行线的性质，进而得到答案． 【详解】解：由翻折的性质得：，， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 15. 有一块矩形的牧场如图1，它的周长为560米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是__________米． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意列出二元一次方程组求解即可； 【详解】设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米， 依题意可得：， 解得：， ∴（米）； 故答案：240． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和代数式求值，准确计算是解题的关键． 三、解答题（本题共9题，共72分） 16. 计算： （1）计算； （2）解下列不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）；数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组： （1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 由不等式①得， 由不等式②得， 所以，原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 17. 已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 18. “高铁列车”“移动支付”“网购”和“共享单车”给我们的生活带来了很多便利．七年级某数学兴趣小组在校内对“你最认可的新生事物”进行调查，随机调查了名学生，每名学生从上面四种中必选一种且只能选择一种，将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图． （1）根据图中的信息填空：__________，__________； （2）请把条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查的结果，请估计在全校1800名学生中，最认可“高铁列车”和“移动支付”这两种新生事物的学生总人数． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）估计在全校1800名学生中，最认可“高铁列车”和“移动支付”这两种新生事物的学生总人数为1350人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提． （1）样本中，认可“共享单车”的有10人，占被调查人数的，可求出被调查人数，即的值，进而求出“网购”的人数，“移动支付”的人数和所占的百分比，确定n的值； （2）由（1）知“移动支付”“网购”人数即可补全条形统计图； （3）样本中，“高铁列车”和“移动支付”占被调查人数的，因此估计总体1800人中“高铁列车”和“移动支付”也占，根据样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人），即， “网购”人数：（人）， “移动支付”人数：（人），， 因此， 故答案为：100，35； 【小问2详解】 解：由（1）知“移动支付”“网购”人数分别为人和人， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人） 答：估计在全校1800名学生中，最认可“高铁列车”和“移动支付”这两种新生事物的学生总人数为1350人． 19. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，由“其”字抽象出的几何图形如图所示，其中，点、、、、在同一直线上，点、、、、在同一直线上，且．求证：．请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 证明：∵（已知）， ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴________________________（等式的基本事实）． ∴（ ）． ∴____________（ ）． ∵（已知）， ∴____________（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（ ）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，进而得，即可得，得到，再由得，即得，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（同角的补角相等）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点分别与点对应． （1）画出平移后的； （2）直接写出三个点的坐标； （3）已知点，，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2），， （3），或 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，坐标与图形的性质， （1）根据要求将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度画出即可； （2）根据（1）画出的图写出、、三个点的坐标即可； （3）根据面积为，得出的长，从而结合图形得出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求； 小问2详解】 根据图形可知，，； 【小问3详解】 以、、为顶点的三角形面积为，，， 三角形以、为底，高是到轴的距离， ， ， 当在的左侧时， 当在的右侧时， ∵， ∴或 21. 若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为____________． （2）已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； （3）关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案：； 【小问2详解】 解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元． （1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 （2）两种购买方案，最低费用为8440元，购买甲31套，乙89套 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，正确地列出二元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为元，每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据“每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元．”得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”套，则购甲型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为元，每套乙型号“文房四宝”的价格为元，则： ， 解之得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． 【小问2详解】 解：设需购乙型号“文房四宝”套，则购甲型号“文房四宝”套，则： ， 解之得：． ∵为正整数， ∴88，89； 当时，；当时，． 故有两种购买方案：甲32套，乙88套或甲31套，乙89套． 当购买甲32套，乙88套时，所需费用为元， 当购买甲31套，乙89套时，所需费用为元， ∵， 故最低费用为8440元，购买甲31套，乙89套． 23. 甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据解题得出，进而根据，即可求解； （2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质得出设，进而根据平行线的性质得出，，即可得出结论； （3）根据（2）的结论可得，，根据已知，，可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∵． ∴； 【小问2详解】 解：如图所示， 过点分别作的平行线， ∴， ∴， 设， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 ∵，，， 即， ∴， 由（2）可得， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 24. 如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足．其中m是3m＋2＞24的最小整数解． （1）求A点，C点的坐标； （2）如图1，坐标轴上有两动点P、Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使得三角形△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且OA平分，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）A（0，6），C（8，0）； （2）存在，； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b，再解出不等式3m＋2＞24最小整数解，即可得出结论； （2）先表示出OQ，OP，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出∠OAC=∠AOD，进而判断出OG∥AC，即可判断出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠DOG，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵， ∴a-b+2=0，b-m=0， ∴b=m， 3m＋2＞24， 解得：， ∵m是3m＋2＞24的最小整数解． ∴m=8， ∴b=8， ∴a-8+2=0，得：a=6， ∴A（0，6），C（8，0）， 【小问2详解】 由（1）知，，， ，， 由运动知，，， ， ， ， ， 与的面积相等， ， ， 存在时，使得与的面积相等； 【小问3详解】 猜想：， 理由如下： 轴轴， ， ， 又， ， 轴平分， ， ， ， 如图，过点作交轴于， ， ， 同理， ， ， ， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$